高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦学案 新人教B版必修4.doc

3.1.2两角和与差的正弦 学习目标1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.能利用辅助角公式研究形如f(x)asin xbcos x的性质知识链接1cos()与cos cos 相等吗？答一般情况下不相等，但在特殊情况下也有相等的时候例如，当60，60时，cos(6060)cos 60cos(60)2你能结合三角函数诱导公式，由公式c或c推导出公式s吗？答sin()coscoscoscos sinsin sin cos cos sin .预习导引1两角和与差的余弦公式c：cos()cos_cos_sin_sin_.c：cos()cos_cos_sin_sin_.2两角和与差的正弦公式s：sin()sin_cos_cos_sin_.s：sin()sin_cos_cos_sin_.3辅助角公式使asin xbcos xsin(x)cos(x)成立时，cos ，sin ，sin ，cos ，其中、称为辅助角，它的终边所在象限由点(a，b)决定.要点一利用和(差)角公式化简例1化简下列各式：(1)sin2sincos；(2)2cos()解(1)原式sin xcos cos xsin 2sin xcos 2cos xsin coscos xsinsin xsin xcos xsin xcos xcos xsin xsin xcos x0.(2)原式.规律方法化简三角函数式的标准和要求：(1)能求出值的应求出值(2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少(3)使三角函数式的次数尽可能低(4)使分母中尽量不含三角函数式和根式跟踪演练1化简：(tan 10).解原式(tan 10tan 60)2.要点二利用和(差)角公式求值例2若sin，cos，且0，求cos()的值解0，0.又sin，cos，cos，sin，cos()sinsinsincoscossin.规律方法在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角跟踪演练2已知，cos()，sin()，求cos 2与cos 2的值解，0，0，所以0.所以sin ，cos().cos(2)cos()cos cos()sin sin().(2)cos cos()cos cos()sin sin()，又因为，所以.例4化简下列各式：(1)3sin x3cos x；(2)sincos.解(1)3sin x3cos x666sin.(2) sincossinsin.规律方法辅助角公式asin xbcos xsin(x)可以把含sin x、cos x的一次式化为asin(x)的形式，其中所在象限由点(a，b)决定，大小由tan 确定研究形如f(x)asin xbcos x的性质都要用到该公式跟踪演练4已知函数f(x)cos 2xsin 2x，xr.(1)求f(x)的最小正周期与值域；(2)求f(x)的单调递增区间解(1)f(x)sin 2xcos 2x222sin，xr.t，函数的值域为2,2(2)由2k2x2k，kz，得kxk，kz.函数的单调递增区间为k，k(kz).1sin 7cos 37sin 83cos 53的值是()a b.c. d答案a解析原式sin 7cos 37cos 7sin 37sin(30).2在abc中 ，a，cos b，则sin c等于()a. bc. d答案a解析sin csin(ab)sin(ab)sin acos bcos asin b(cos b).3函数f(x)sin xcos x(xr)的值域是_答案2,2解析f(x)22sin，f(x)2,24试用一个角的正弦(或余弦)形式表示下列各式：(1)sin cos ；(2)sin cos ；(3)cos 15sin 15；(4)3sin 4cos .解(1)sin cos (sin cos )(sin coscos sin)sin()(2)sin cos 2(sin cos )2(sin coscos sin)2sin()(3)方法一原式sin 30cos 15cos 30sin 15sin(3015)sin 45.方法二原式cos 60cos 15sin 60sin 15cos(6015)cos 45.(4)3sin 4cos 5(sin cos )5sin()(或5cos()其中cos ，sin (或sin ，cos )1.公式c与s的联系、结构特征和符号规律四个公式c、s虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为cos()cos()sin()sin()，这样我们只要牢固掌握“中心”公式cos()的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式对于公式c与c，可记为“同名相乘，符号反”对于公式s与s，可记为“异名相乘，符号同”2使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin cos()cos sin()时，不要将cos()和sin()展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin cos()cos sin()sin()sin()sin .3运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解一、基础达标1函数f(x)sin(2x)cos(2x)的最小正周期和最大值分别为()a，1 b，c2，1 d2，答案a解析f(x)sin 2xcoscos 2xsin cos 2xcossin 2xsincos 2x，最小正周期t，f(x)max1.2已知0，又sin ，cos()，则sin 等于()a0 b0或c. d0或答案c解析0，sin ，cos()，cos ，sin()或.sin sin()sin()cos cos()sin 或0.，sin .3已知cos cos sin sin 0，那么sin cos cos sin 的值为()a1 b0 c1 d1答案d解析cos cos sin sin cos()0.k，kz，sin cos cos sin sin()1.4若函数f(x)(1tan x)cos x,0x，则f(x)的最大值为()a1 b2c1 d2答案b解析f(x)(1tan x)cos xcos xsin x2(cos xsin x)2sin(x)，0x，x.f(x)max2.5在三角形abc中，三内角分别是a、b、c，若sin c2cos asin b，则三角形abc一定是()a直角三角形 b正三角形c等腰三角形 d等腰直角三角形答案c解析sin csin(ab)sin acos bcos asin b2cos asin b，sin acos bcos asin b0.即sin(ab)0，ab.6化简sincos的结果是_答案cos 解析原式sin cos cos sin cos cos sin sin cos .7化简求值：(1)sin(3x)cos(3x)sin(3x)sin(3x)；(2)sin()cos cos()sin ；(3).解(1)原式cos(3x)cos(3x)sin(3x)sin(3x)cos(3x)cos(3x)sin(3x)sin(3x)cos(3x)(3x)cos()coscossinsin.(2)sin()cos cos()sin sin()sin .(3)sin 27sin(4518)，cos 27cos(4518)，原式tan 451.二、能力提升8在abc中，cos a，cos b，则cos c等于()a b. c d.答案b解析由cos a知a为锐角，sin a.同理sin b.cos ccos(ab)cos(ab)sin asin bcos acos b.9函数f(x)sin(x2)2sin cos(x)的最大值为_答案1解析f(x)sin(x2)2sin cos(x)sin(x)2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin 2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin sin(x)sin x，f(x)的最大值为1.10已知sin()，sin()，则的值是_答案解析，.11已知，cos()，sin()，求sin 2的值解因为，所以0，0，cos ，且，为相邻象限的角，为第一象限角且为第二象限角；或为第二象限角且为第三象限角(1)当为第一象限角且为第二象限角时，cos ，sin ，sin()sin cos cos sin .sin()sin cos cos sin .(2)当为第二象限角且为第三象限角时，sin ，cos ，cos ，sin ，sin()sin cos cos sin .sin()sin cos cos sin ，综上可知：