安徽省芜湖市安师大附中高二数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

安徽省芜湖市安师大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（3分）把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）a对立事件b互斥但不对立事件c不可能事件d必然事件2（3分）在下列四个命题中，其中正确命题的是（）a有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱b有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥c有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台d用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台3（3分）如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）ai8bi9ci10di114（3分）从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率为（）a不全相等b均不相等c都相等，且为d都相等，且为5（3分）如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，a、b、c为其上的三个点，则在正方体盒子中，abc等于（）a45b60c90d1206（3分）从某高中随机选取5名2015届高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x（cm）160165170175180体重y（kg）6366707274根据上表可得回归直线方程=0.56x+，据此模型预报身高为172cm的2015届高三男生的体重为（）a70.09kgb70.12kgc70.55kgd71.05kg7（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是直角三角形，则此几何体的体积为（）abcd8（3分）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（）abcd9（3分）甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成，其空间构型为一个各条棱都相等的四面体，四个氢原子分别位于该四面体的四个顶点上，碳原子位于该四面体的中心，它与每个氢原子的距离都是a，若将碳原子和氢原子均视为一个点，则任意两个氢原子之间的距离为（）abcd10（3分）三棱柱abca1b1c1的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，所有棱长都是6，则四面体a1abc，b1abc，c1abc的公共部分的体积等于（）abcd二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11（4分）117，182的最大公约数是12（4分）若空间某条直线与某长方体的十二条棱所在直线成角均为，则cos=13（4分）在某次综合素质测试中，共设有40个考室，每个考室30名考生在考试结束后，统计了他们的成绩，得到如图所示的频率分布直方图这40个考生成绩的众数，中位数14（4分）已知正三棱锥pabc，点p，a，b，c都在半径为4的球面上，若pa，pb，pc两两互相垂直，则球心到截面abc的距离为15（4分）如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，p，q，r分别是棱bc，cd，dd1的中点下列命题：过a1c1且与cd1平行的平面有且只有一个；平面pqr截正方体所得截面图形是等腰梯形；ac1与qr所成的角为60；线段ef与gh分别在棱a1b1和cc1上运动，且ef+gh=1，则三棱锥efgh体积的最大值是；线段mn是该正方体内切球的一条直径，点o在正方体表面上运动，则的取值范围是0，2其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16（6分）如图，在四边形abcd中，dab=90，adc=135，ab=5，cd=，ad=2，求四边形绕ad旋转一周所围成几何体的表面积及体积17（6分）斜三棱柱abca1b1c1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱aa1与底面相邻两边ab、ac都成45角，求这个三棱柱的侧面积18（7分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82，81，79，78，95，88，93，84乙：92，95，80，75，83，80，90，85（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由19（9分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元每小时（不足1小时的部分按1小时计算）有人独立来该租车点租车骑游各租一车一次设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时（）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；（）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率20（11分）如图，棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，点e，f，g分别为棱cc1，c1d1，ab的中点（）求异面直线ac与fg所成角的大小；（）求证：ac平面efg21（11分）如图所示，四棱锥pabcd中，底面abcd为正方形，pd平面abcd，pd=ab=2，点e，f，g分别为pc，pd，bc的中点（）求证：pa平面efg；（）求三棱锥pefg的体积；（）求四棱锥pabcd被平面efg所截得到的两部分体积之比安徽省芜湖市安师大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（3分）把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）a对立事件b互斥但不对立事件c不可能事件d必然事件考点：互斥事件与对立事件专题：阅读型分析：根据题意，分析可得“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，但除了这2个事件外，还有事件“丙分得红牌”，由对立事件与互斥事件的概念，可得答案解答：解：根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，则两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，则两者不是对立事件，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件；故选b点评：本题考查对立事件与互斥事件的概念，要注意对立一定互斥，但互斥不一定对立2（3分）在下列四个命题中，其中正确命题的是（）a有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱b有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥c有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台d用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台考点：命题的真假判断与应用专题：简易逻辑分析：直接利用棱柱、棱锥、棱台的结构特征逐一核对四个选项得答案解答：解：选项a不符合棱柱的结构特征，可取一个简单的组合体说明错误，如下面是一个正三棱柱，上面是一个以正三棱柱上底面为底面的斜三棱柱；选项b不符合棱锥的结构特征，应该是有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形；选项c不符合棱台的结构特征，棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，则应保证各侧棱延长后相交于一点；用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台，正确故选：d点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了棱柱、棱锥、棱台的结构特征，是基础题3（3分）如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）ai8bi9ci10di11考点：循环结构专题：规律型分析：写出前三次循环得到的结果，找出规律，得到要输出的s在第十次循环中结果中，此时的i满足判断框中的条件，得到判断框中的条件解答：解：经过第一次循环得到，此时的i应该不满足判断框中的条件经过第二次循环得到，此时的i应该不满足判断框中的条件经过第三次循环得到，此时的i应该不满足判断框中的条件经过第十次循环得到，此时的i应该满足判断框中的条件，执行输出故判断框中的条件是i10故选c点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，从中找出规律4（3分）从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率为（）a不全相等b均不相等c都相等，且为d都相等，且为考点：系统抽样方法；简单随机抽样专题：计算题分析：本题是一个系统抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率是样本容量除以总体个数，从2004名学生中选取50名组成参观团，因为不能整除，要剔除一部分个体，在剔除过程中每个个体被抽到的概率相等解答：解：由题意知本题是一个系统抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率是样本容量除以总体个数，从2004名学生中选取50名组成参观团，因为不能整除，要剔除一部分个体，在剔除过程中每个个体被抽到的概率相等得到每个个体被抽到的概率是故选c点评：本题考查系统抽样和简单随机抽样，不管用什么方法抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等，本题是一个基础题5（3分）如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，a、b、c为其上的三个点，则在正方体盒子中，abc等于（）a45b60c90d120考点：棱柱的结构特征专题：图表型分析：根据展开图还原为正方体后，确定a、b、c构成以面对角线为边的正三角形，即求出所求角的度数解答：解：将展开图还原为正方体后，a、b、c是三个面上的相对顶点，即构成以面对角线为边的正三角形，故abc=60，故选b点评：本题考查了正方体的结构特征，关键是根据展开图还原为正方体后，确定a、b、c的具体位置，考查了空间想象能力6（3分）从某高中随机选取5名2015届高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x（cm）160165170175180体重y（kg）6366707274根据上表可得回归直线方程=0.56x+，据此模型预报身高为172cm的2015届高三男生的体重为（）a70.09kgb70.12kgc70.55kgd71.05kg考点：回归分析的初步应用专题：应用题；概率与统计分析：根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出 的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报身高为172cm的2015届高三男生的体重解答：解：由表中数据可得=170，=69（ ，）一定在回归直线方程=0.56x+上故69=0.56170+解得 =26.2故 =0.56x26.2当x=172时，=0.5617226.2=70.12 故选b点评：本题主要考查线性回归方程的求解与运用，解题的关键是线性回归方程 经过样本点的中心 同时注意理解线性回归方程中相关系数的意义7（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是直角三角形，则此几何体的体积为（）abcd考点：棱柱、棱锥、棱台的体积专题：空间位置关系与距离分析：首先把三视图转化为立体图，然后根据三视图中的线段长和线面的关系，求出锥体的体积解答：解：首先把几何体的三视图复原成立体图形根据三视图中的线段长，得知：ad=3，ce=5，ac=2由于俯视图是边长为2的正三角形，进一步求得：ab=2，af=1 利用勾股定理得：bf=根据三视图的特点得知：bf底面dace，=，故选：d点评：本题考查的知识要点：三视图与立体图的相互转化，求立体图的体积，锥体的体积公式的应用，属于基础题型8（3分）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（）abcd考点：等可能事件的概率专题：压轴题分析：由题意知本题是一个古典概型，本题所包含的总事件数正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件4组邻边和对角线中两条直线相互垂直的情况有5种包括10个基本事件，根据古典概型公式得到结果解答：解：正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件4组邻边和对角线中两条直线相互垂直的情况有5种包括10个基本事件，所以概率p=，故选c点评：对于几何中的概率问题，关键是正确理解几何图形，分类得出基本事件数，然后得所求事件的基本事件数，进而利用概率公式求概率9（3分）甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成，其空间构型为一个各条棱都相等的四面体，四个氢原子分别位于该四面体的四个顶点上，碳原子位于该四面体的中心，它与每个氢原子的距离都是a，若将碳原子和氢原子均视为一个点，则任意两个氢原子之间的距离为（）abcd考点：点、线、面间的距离计算专题：空间位置关系与距离分析：由题意立即联想到正四面体的外接球，而正四面体又可以看作是正方体的六条面对角线围成的图形，因此，将正四面体补成一个正方体，从而建立相关量之间的关系解答：解：显然，四面体的四个顶点在以中心（碳原子）为球心，中心到各顶点（氢原子）的距离为半径的球面上，如图，将此正四面体abcd补成正方体bd，其中a、b、d也在球面上，设任意两个氢原子之间的距离为x，则2a=bd bd、ab（x）、aa之间的关系是x=ab=aa，2a=bd=aa， 因此x=a，x=a，即碳原子到各个氢原子的距离a故选：b点评：在立体几何中，我们常常将四面体补成正四面体或平行六面体、正四面体补成正方体、过同一个顶点的三条棱两两垂直的四面体补成长方体、四棱锥补成平行六面体等等，掌握这些补形规律，有助于提高解题能力10（3分）三棱柱abca1b1c1的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，所有棱长都是6，则四面体a1abc，b1abc，c1abc的公共部分的体积等于（）abcd考点：点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积专题：计算题；空间位置关系与距离分析：可得四面体a1abc，b1abc，c1abc的公共部分为四面体gabc，由已知数据结合三棱锥的体积公式可得答案解答：解：由题意三棱柱abca1b1c1为正三棱柱，如图：连接ab1与a1b交于m，ac1与a1c交于n，连接cm，bn交与g，由已知数据可得a1m=mb=a1n=nc=3，gb=gc=cm=4，所以g到平面abc的距离h=2四面体a1abc，b1abc的公共部分为四面体nabc，四面体b1abc，c1abc的公共部分为四面体mabc可知四面体a1abc，b1abc，c1abc的公共部分为四面体gabc，可得其体积为：v=sabch=92=6故选d点评：本题考查三棱锥（四面体）的体积，得出公共部分为四面体gabc是解决问题的关键，属中档题二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11（4分）117，182的最大公约数是13考点：用辗转相除计算最大公约数专题：算法和程序框图分析：本题考查的知识点是辗转相除法，根据辗转相除法的步骤，将117和182代入易得到答案解答：解：182=1117+65，117=165+52，65=152+13，52=413，故117，182的最大公约数是13，故答案为：13点评：对任意整数a，b，b0，存在唯一的整数q，r，使a=bq+r，其中0rb，这个事实称为带余除法定理，若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数若d是a，b的公因数，且d可被a，b的任意公因数整除则称d是a，b的最大公因数当d0时，d是a，b公因数中最大者若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法12（4分）若空间某条直线与某长方体的十二条棱所在直线成角均为，则cos=考点：异面直线及其所成的角专题：计算题；空间角分析：由异面直线所成的角的定义，过一个顶点与从该顶点出发的三条棱所成的角相等，就与所有棱所成的角相等，再根据正方体的体对角线ac1与过a点的三条共点的棱所成的角相等来求解即可解答：解：长方体的十二条棱是三组平行的直线，过一个顶点与从该顶点出发的三条棱所成的角相等，就与所有棱所成的角相等，不妨在长方体的角上截取一个棱长都为1的小正方体，如图：正方体的对角线ac1与过a点的三条棱所成的角相等，且cos=故答案是点评：本题主要考查异面直线所成的角的定义、长方体的结构特征及空间想象能力，想象在长方体的角上截取小正方体来研究相关问题是关键13（4分）在某次综合素质测试中，共设有40个考室，每个考室30名考生在考试结束后，统计了他们的成绩，得到如图所示的频率分布直方图这40个考生成绩的众数77.5，中位数77.5考点：众数、中位数、平均数；频率分布直方图专题：概率与统计分析：根据频率分布直方图，结合众数与中位数的概念，求出答案即可解答：解：根据频率分布直方图，得；考生成绩的众数在小组75，80）内，是=77.5；又0.0105+0.0205+0.0405=0.350.5，0.0105+0.0205+0.0405+0.0605=0.650.5，考生成绩的中位数在小组75，80）内；设x满足（0.35+0.060x）=0.50，则x=2.5，中位数为75+x=75+2.5=77.5故答案为：77.5，77.5点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图以及众数、中位数的概念，进行解答，是基础题14（4分）已知正三棱锥pabc，点p，a，b，c都在半径为4的球面上，若pa，pb，pc两两互相垂直，则球心到截面abc的距离为考点：点、线、面间的距离计算专题：综合题；空间位置关系与距离分析：先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算解答：解：正三棱锥pabc，pa，pb，pc两两垂直，此正三棱锥的外接球即以pa，pb，pc为三边的正方体的外接球o，球o的半径为4，正方体的边长为，即pa=pb=pc=，球心到截面abc的距离即正方体中心到截面abc的距离，设p到截面abc的距离为h，则正三棱锥pabc的体积v=sabch=spabpc=，abc为边长为的正三角形，sabc=（）2=，h=，球心（即正方体中心）o到截面abc的距离为故答案为：点评：本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题15（4分）如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，p，q，r分别是棱bc，cd，dd1的中点下列命题：过a1c1且与cd1平行的平面有且只有一个；平面pqr截正方体所得截面图形是等腰梯形；ac1与qr所成的角为60；线段ef与gh分别在棱a1b1和cc1上运动，且ef+gh=1，则三棱锥efgh体积的最大值是；线段mn是该正方体内切球的一条直径，点o在正方体表面上运动，则的取值范围是0，2其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）考点：命题的真假判断与应用专题：空间位置关系与距离分析：转化为a1b，a1c1相交，确定一个平面处理，可利用补形法，在右侧补充一个正方体，延长或平移，可得截面，利用三垂线定理可证两线垂直，利用转化法求解相应体积，可得v三棱锥efgh=v三棱锥gefc1v三棱锥hefc1，建立空间直角坐标系，利用向量求解解答：解：cd1a1b，a1ba1c1=a1，则过a1b，a1c1有且只有一个平面，所以过a1c1且与cd1平行的平面有且只有一个，正确，做rm平行pq，交bb1于m；做pn平行于qr，交a1d1于npqrmn这五点所构成的五边形即为截面，错误；连结ac1，dc1，则，dc1为ac1在平面dc1，内的射影，dc1rq，由三垂线定理可知ac1qr，所成的角为90，错误；设g在h上方，则v三棱锥efgh=v三棱锥gefc1v三棱锥hefc1=efgc1efhc1=efgh，而ef+gh=1，则efgh的最大值=，正确；以d1为坐标原点，以d1a1，d1c1，d1d所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体内切球球心为s，mn是该内切球的任意一条直径，则=（+）（+）=（+）（）=210，2，正确故答案为：点评：本题以正方体为载体，综合考查线面、面面位置关系，考查线面角、面面角，解题时需要一一进行验证，很容易出错三、解答题：本大题共6小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16（6分）如图，在四边形abcd中，dab=90，adc=135，ab=5，cd=，ad=2，求四边形绕ad旋转一周所围成几何体的表面积及体积考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）专题：计算题分析：旋转后的几何体是圆台除去一个倒放的圆锥，根据题目所给数据，求出圆台的侧面积、圆锥的侧面积、圆台的底面积，即可求出几何体的表面积求出圆台体积减去圆锥体积，即可得到几何体的体积解答：解：四边形abcd绕ad旋转一周所成的几何体，如右图：s表面=s圆台下底面+s圆台侧面+s圆锥侧面=r22+（r1+r2）l2+r1l1=体积v=v圆台v圆锥=25+44222=3948=所求表面积为：，体积为：点评：本题是基础题，考查旋转体的表面积与体积，转化思想的应用，计算能力的考查，都是为本题设置的障碍，仔细分析旋转体的结构特征，为顺利解题创造依据17（6分）斜三棱柱abca1b1c1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱aa1与底面相邻两边ab、ac都成45角，求这个三棱柱的侧面积考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积专题：空间位置关系与距离分析：过点b作bmaa1于m，连结cm，在abm和acm中，证明abmacm，推出aa1面bhc，求出bmc周长，然后求解s侧解答：解：过点b作bmaa1于m，连结cm，在abm和acm中，ab=ac，mab=mac=45，ma为公用边，abmacm，amc=amb=90，aa1面bhc，即平面bmc为直截面，又bm=cm=absin45=a，bmc周长为2xa+a=（1+）a，且棱长为b，s侧=（1+）ab点评：本题考查棱柱的结构特征，侧面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力18（7分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82，81，79，78，95，88，93，84乙：92，95，80，75，83，80，90，85（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由考点：极差、方差与标准差；茎叶图；众数、中位数、平均数专题：计算题；作图题分析：（1）根据所给的数据，以十位做茎，个位做叶，做出茎叶图，注意图形要做到美观，不要丢失数据（2）根据所给的数据做出两个人的平均数和方差，把平均数和方差进行比较，得到两个人的平均数相等，但是乙的方差大于甲的方差，得到要派甲参加解答：解：（2）根据所给的数据得到（9085）2+（9285）2+（9585）2=41=，s甲2s乙2，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适点评：对于两组数据，通常要求的是这组数据的方差和平均数，用这两个特征数来表示分别表示两组数据的特征，即平均水平和稳定程度19（9分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元每小时（不足1小时的部分按1小时计算）有人独立来该租车点租车骑游各租一车一次设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时（）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；（）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率考点：几何概型专题：计算题分析：（）根据题意，由全部基本事件的概率之和为1求解即可（）先列出甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的所有情况，可按照甲的付费分类，因为各类为互斥事件，分别求概率再取和即可解答：解：（）甲在三小时以上且不超过四小时还车的概率为1乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率为（）甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的情况有：甲不超过两小时、甲两小时