高考数学一轮总复习 第五章 平面向量、解三角形 5.2 平面向量的数量积及其应用课件 理 新人教B版.ppt

5 2平面向量的数量积及其应用 高考理数 一 向量数量积的有关概念 4个 1 向量a与b的夹角 已知两个非零向量a b 过o点作 a b 则 aob 叫做向量a与b的夹角 记作 向量a与b夹角的范围 0 180 当 90 时 a与b垂直 记作a b 当 0 时 a与b同向 当 180 时 a与b反向 2 向量a与b的数量积 已知两个非零向量a与b 它们的夹角为 则把 a b cos 叫做a与b的数量积 或内积 记作a b a b cos 3 向量的投影 b cos 叫做b在a的方向上的投影 它是一个实数 而不是向量 当0 90 时 它是正值 当90 180 时 它是负值 当 90 时 它是0 4 a b的几何意义 a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影 b cos 的乘积 二 向量的两个充要条件若a x1 y1 b x2 y2 均为非零向量 1 a b a b x1y2 x2y1 0 知识清单 当a与b同向时 0 a b a b 当a与b反向时 180 a b a b 2 a b 90 a b 0 x1x2 y1y2 0 三 向量的数量积的运算律及常用公式1 运算律 1 a b b a 2 a b a b a b r 3 a b c a c b c 2 常用公式 1 若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 2 若a x y 则a a a2 a 2 x2 y2 a 3 若a x1 y1 b x2 y2 则 平面内两点间的距离公式 4 若a x1 y1 b x2 y2 则cos 5 向量中的不等式若a x1 y1 b x2 y2 则 a b a b a b x1x2 y1y2 由此可得 x1x2 y1y2 柯西不等式 1 向量的数量积与实数乘法的比较 2 几个常用结论在 abc中 a b c所对的边分别为a b c 1 若 则存在 使得i为 abc的内心 a b c 0 p为 abc的内心 2 p为 abc的外心 知识拓展 3 0 g为 abc的重心 4 p为 abc的垂心 5 设o 0 0 a x1 y1 b x2 y2 则s oab x1y2 x2y1 6 向量 中三终点a b c共线 存在实数 使得 且 1 1 求平面向量夹角的方法 例1 2015广西柳州模拟 10 设非零向量a b c满足 a b c a b c 则向量a b的夹角是 突破方法 方法1平面向量的夹角 模 a b c d 解析由 a b c 得 a b 2 c 2 即a2 b2 2a b c2 又因为 a b c 所以a b a b cos 所以cos 故 答案c1 1 2016贵州贵阳一中联考 14 5分 若平面向量 满足 1 1 且以向量 为邻边的平行四边形的面积为 则 与 的夹角 的取值范围是 答案解析依题意有 sin sin 由 1 得sin 又0 故有 2 利用向量数量积求长度问题是数量积的重要应用 要掌握此类问题的处理方法 1 a 2 a2 a a 2 a b 2 a b 2 a2 2a b b2 3 若a x y 则 a 例2 2015云南昆明质量检测 10 在 abc中 bc边上的垂直平分线与bc ac分别交于点d m 若 6 且 2 则 a b c 4d 2解析如图 设 x y md垂直平分bc 则 6 6 6 又 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 4 2 12 2 2 0 16 2 2 2 0 16 2x x y x2 y2 0 16 x y 2 x y 4 答案c2 1 2016安徽安庆一模 9 5分 已知在 abc中 d为bc的中点 若a 120 1 则 的最小值为 a b c d 答案b解析显然有 因为 1 a 120 所以 2 可得 2 2 2 2 2 2 所以 min 2 2 2015四川绵阳二诊 11 5分 设向量a b c满足 a b 1 a b 60 则 c 的最大值等于 a 2b c d 1答案a解析由a b 得 120 设 a b c 则 aob 120 a c b c 60 acb 60 o a c b四点共圆 c 的最大值应为圆的直径2r 因为在 aob中 oa ob 1 aob 120 所以ab 由正弦定理得2r 2 故选a 平面几何经常涉及距离 夹角问题 而平面向量的运算 特别是数量积主要涉及向量的模及向量的夹角 因此 我们可以用向量方法解答部分几何问题 用向量方法解决平面几何问题可分三步 例3 2012上海 12 4分 在平行四边形abcd中 a 边ab ad的长分别为2 1 若m n分别是边bc cd上的点 且满足 则 的取值范围是 解题思路建立平面直角坐标系 令 方法2用向量解决平面几何问题的方法 写出相应点的坐标 将 的坐标表示转化为关于 的二次函数 求 的取值范围解析建立平面直角坐标系 如图 则b 2 0 c d 令 则m n 2 2 5 1 2 6 0 1 2 5 答案 2 5 3 1 2016贵州盟校联考 11 5分 已知点g是 abc的重心 点p是 gbc内一点 若 则 的取值范围是 a b c d 1 2 答案b解析 点p是 gbc内一点 1 当且仅当点p在线段bc上时 最大 等于1 当p和g重合时 最小 此时 1 故选b 向量不能比较大小 向量的模可以比较大小 公式依据 a 2 a a a2 0 a b a b a b a b a b 例4 2013湖南 6 5分 已知a b是单位向量 a b 0 若向量c满足 c a b 1 则 c 的取值范围是 a 1 1 b 1 2 c 1 1 d 1 2 解析由公式 a b a b 得 c a b c a b 1 1 a b c 1 a b 又 a b是单位向量 a b 0 a b 1 c 1 答案a4 1 2016河南师大附中3月月考 10 5分 若a b c均为单位向量 且a b 0 a c b c 0 则 a b c 的最大值为 a 1b 1c d 2 方法3不等式 最值问题 答案b解析设a 1 0 b 0 1 c x y 则x2 y2 1 a c 1 x y b c x 1 y 则 a c b c 1 x x y 1 y x2 y2 x y 1 x y 0 即x y 1 又a b c 1 x 1 y a b c 解法一 如图 c x y 对应点在上 而 式的几何意义为p点到上点的距离 其最大值为1 解法二 a b c x y 1 a b c 1 最大值为1 4 2 2012安徽 14 5分 若平面向量a b满足 2a