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1602314 易拉罐尺寸的最优设计方案 1 销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同 这是为什么呢 2 问题 1 假设易拉罐是一个正圆柱体且底面和侧面的厚度相同 什么是它的最优设计 2 如果易拉罐是一个正圆柱体 但底面和侧面厚度不同 例如底面厚度是侧面厚度的3倍 如何设计最优 3 一 摘要 对问题一 我们通过实际测量得出 355ml 易拉罐各部分的数据 对问题二 在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3 1的条件下 建立易拉罐用料模型 由微积分方法求最优解 结论 易拉罐高与直径之比2 1 用料最省 在假定易拉罐高与直径2 1的条件下 将易拉罐材料设想为外体积减内体积 得用料模型 4 二 模型建立 问题二 正圆柱形易拉罐尺寸的最优设计模型 1 易拉罐各点罐壁厚度相同的情形由图1可知 容积为 表面积为 模型一 图1各点罐壁厚度相同的圆柱形易拉罐 模型一 5 2 易拉罐有不同罐壁厚度的情形易拉罐各面厚度不同 用料量也不相同 根据材料的用量与其体积成正比 容积一定时 所用材料的体积最小时的尺寸即易拉罐的最优尺寸 所需要的材料为 图2有不同罐壁厚度的圆柱形易拉罐 模型二 应使Y取最小值 模型二 6 3 易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度 4 的情形在模型二的基础上 考虑工作量 焊缝长度 的不同工作量有影响 使得易拉罐的材料用量最省的同时 焊缝长度也尽量取到最小 根据模型分析 可得焊缝长度 将焊缝的长度为Z时的工作量转化为同等的材料体积 从而可以将二者直接相加 模型三 此模型即为求解问题二的完善模型 7 1 问题一的求解表110种355ml易拉罐饮料的相关测量数据 三 模型求解 8 表2GB T9106 2001中规定的罐体主要尺寸 单位 毫米 5 9 2 易拉罐有不同罐壁厚度的情形 根据模型二 用拉格朗日乘数法求解新的函数 然后分别对 解得 即圆柱体的高与半径之比为6时为最优尺寸 10 1 易拉罐各点罐壁厚度相同的情形根据模型一知 取最小值时 必定有 图7体积一定时 随 变化的曲线 即易拉罐的高度为半径的二倍 等边圆柱形 时 所需材料最少 11 根据问题一中测得的实际数据可以得到表3检验数据表 由表3可知 所有 均在此范围内 在1与3之间必有一个最优值符合实际条件 从结果可大致得出此最优值应该在1 5附近 因此 实际值是合理的 而 的比例关系式也符合实际情况 12
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