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7 4直线与平面平行平面与平面平行 1 直线和平面的位置关系2 线面平行3 面面平行 例1 如右图所示 在空间四边形ABCD中 截面EFGH为平行四边形 试证 BD 平面EFGH AC 平面EFGH 变式1 1 如右图 已知平面 l 直线m m 试用向量法证明 m l 2 若a b为异面直线 求证 有且只有一个平面经过a且与b平行 平面平行的判定定理 是利用了线面平行来推证的 即需要找到或证出两条相交直线平行于另一平面 这是判定两平面平行的主要方法 还可以通过一些垂直关系来判定 例2 正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直 M N分别是对角线AC和BF上的点 且AM FN 1 求证 MN 平面BEC 2 设正方形的边长为a AM FN b 求MN的长 3 若 和 分别表示直线MN和AC及MN和BF所成的锐角 当线段MN的长度最短时 计算 和 的度数 例3 如右图 正三棱柱ABC A1B1C1中 D是BC的中点 AB a 1 求证 A1D B1C1 2 求点D到平面ACC1的距离 3 判断A1B与平面ADC1的位置关系 并证明你的结论 面面平行需要由线面平行判定 而直线与平面平行问题可以转化为面面平行问题 变式3 如图ABC A1B1C1是各棱长均为a的正三棱柱 D是侧棱CC1的中点 1 求证 平面AB1D 平面ABB1A1 2 若O为 ABC的中心 P为BB1上一点 当OP 平面AB1D时 试确定点P的位置 方法规律 1 在解决直线与平面 平面与平面平行问题的过程中 要特别注意判定定理和性质定理的联合交替使用 2 可利用共面向量定理证明直线与平面平行和四点共面等问题3 利用直线和平面平行可进行点到平面距离的转化 4 直线与平面平行的判定定理及平面与平面平行的性质定理都是极为重要的作图的理论和依据 本题满分12分 如右图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 E P分别是BC A1D1的中点 M N分别是AE CD1的中点 AD
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