北师大版选修45 一般形式的柯西不等式 课件（30张）.pptx

1 2一般形式的柯西不等式 第二章 1柯西不等式 学习目标1 理解并掌握三维形式的柯西不等式 2 了解柯西不等式的一般形式 体会从特殊到一般的思维过程 3 会用三维形式及一般形式的柯西不等式解决一些特殊形式的问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一三维形式的柯西不等式 思考1类比平面向量 在空间向量中 如何用 推导三维形式的柯西不等式 答案设 a1 a2 a3 b1 b2 b3 思考2三维形式的柯西不等式中 等号成立的条件是什么 答案当且仅当 共线时 即 0或存在实数k 使a1 kb1 a2 kb2 a3 kb3时 等号成立 梳理三维形式的柯西不等式 a1b1 a2b2 a3b3 2 知识点二一般形式的柯西不等式 1 一般形式的柯西不等式 a1b1 a2b2 anbn 2 2 柯西不等式等号成立的条件当且仅当bi 0 i 1 2 n 或存在一个实数k 使得 i 1 2 n 时等号成立 当向量 a1 a2 an 与向量 b1 b2 bn 共线时 等号成立 ai kbi 题型探究 类型一利用柯西不等式证明不等式 命题角度1三维形式的柯西不等式的应用例1设a b c为正数 且不全相等 证明 因为题设中a b c不全相等 故 中等号不成立 反思与感悟有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件 可以通过 1 构造符合柯西不等式的形式及条件 可以巧拆常数 2 构造符合柯西不等式的形式及条件 可以重新安排各项的次序 3 构造符合柯西不等式的形式及条件 可以改变式子的结构 从而达到使用柯西不等式的目的 4 构造符合柯西不等式的形式及条件 可以添项 证明由柯西不等式知 证明 原不等式成立 命题角度2一般形式的柯西不等式的应用 证明 反思与感悟一般形式的柯西不等式看着往往感觉比较复杂 这时一定要注意式子的结构特征 一边一定要出现 方 和 积 的形式 跟踪训练2已知a1 a2 an r 且a1 a2 an 1 求证 证明 a1 a2 an 2 1 类型二利用柯西不等式求函数的最值 例3 1 若实数x y z满足x 2y 3z a a为常数 则x2 y2 z2的最小值为 答案 解析 即14 x2 y2 z2 a2 解 x y z 1 解答 1 2 3 2 36 反思与感悟利用柯西不等式求最值时 关键是对原目标函数进行配凑 以保证出现常数结果 同时 要注意等号成立的条件 跟踪训练3已知a 0 b 0 c 0 函数f x x a x b c的最小值为4 1 求a b c的值 解答 解因为f x x a x b c x a x b c a b c 当且仅当 a x b时 等号成立 又a 0 b 0 所以 a b a b 所以f x 的最小值为a b c 又已知f x 的最小值为4 所以a b c 4 解由 1 知a b c 4 由柯西不等式 得 解答 达标检测 1 2 4 3 答案 解析 1 2 4 3 a 2b 3c的最小值为9 答案 解析 1 2 4 3 答案 解析 16 当且仅当a b c d时取等号 1 2 4 3 证明 规律与方法 2 要求ax by z的最大值 利用柯西不等式 ax by z 2 a2 b2 12 x2 y2 z2 的形式 再结合已知条件进行