高等数学课后习题答案3_上海交大版.pdf

第三章第三章导数与微分导数与微分 t1 设物体绕定轴旋转 在时间间隔 0 t内转过角度是 从而转角 是t的函数 t 如果旋转是匀速的 那么称w t 为该物体旋转的角速度 如果旋转是非匀速的 应怎样确 定该物体在时刻 0 t的角速度 解答 0 d d t t t 所属章节 第三章第一节所属章节 第三章第一节 难度 一级难度 一级 2 一个圆锥体因受热而膨胀 在膨胀过程中 其高与地面的直径相等 问 1 体积关于半径的变化率如何 2 半径为 5cm 时 体积关于半径的变化率是多少 解答 1 23 12 2 33 Vrrr 2 d 2 d V r r 2 d 50 d r s V r 所属章节 第三章第一节所属章节 第三章第一节 难度 一级难度 一级 3 设 NN x 表示x个劳动力所生产的某产品的数量 若每个劳动力生产的产品数量相同 则 N x 是常数 称为劳动生产率 实际上 产品的产量N并不是随劳动力x的增加而均匀增长 的 试求劳动力数量为 0 x时的劳动生产率 边际劳动生产率 解答 0 N x 所属章节 第三章第一节所属章节 第三章第一节 难度 一级难度 一级 4 假定 f x可导 观察下列极限 指出A表示什么 1 0 0 0 lim xx xx A f xf x 2 00 0 2 lim x f xxf x A x 3 0 3 3 lim h ffh A h 4 0 lim x f x A x 且 0 0f 解答 1 0 0 0 0 00 0 11 lim lim xx xx xx A f xf x f xf xfx xx 2 00 2 2xxxx 00 0 2 lim x f xxf x A x 0 2 fx 3 3 3 hh 0 3 3 lim h ffh A h 3 f 4 0 0f 00 0 limlim 0 xx f xf xf Af xx 所属章节 第三章第一节所属章节 第三章第一节 难度 一级难度 一级 5 指出下列极限是什么函数在哪一点的导数 1 0 1 lim x x a x 2 0 1 1 lim m x x x 3 4 arctanarctan 4 lim 4 x x x 解答 1 0 x ax 在处的导数 2 1 0 m xx 在处的导数 3 arctan 4 xx 在处的导数 所属章节 第三章第一节所属章节 第三章第一节 难度 一级难度 一级 6 按定义证明 cos sinxx 解答 因为 00 2 2sinsin cos cos 22 limlimsin xx xxx xxx x xx 所以由导数定义 cos sinxx 所属章节 第三章第一节所属章节 第三章第一节 难度 一级难度 一级 7 按定义求下列函数的导数 1 2 31yxx 2 eaxy 3 cos yaxb 4 sinyxx 解答 1 由于 22 00 3 1 31 limlim xx f xxf xxxxxxx xx 2 0 23 lim23 x xxxx x x 故23yx 2 由于 000 1 limlimlim a xxaxaxa x ax xxx f xxf xeeee ae xxx 故eaxya 3 由于 00 cos cos limlimsin xx f xxf xa xxbaxb aaxb xx 故sin yaaxb 4 由于 00 sin sin limlim xx f xxf xxxxxxx xx 0 sin sin sin lim x xxxxxxx x sincosxxx 故sincosyxxx 所属章节 第三章第二节所属章节 第三章第二节 难度 二级难度 二级 8 若函数 F x在点xa 处连续 且 0F x 问函数 1 f xxa F x 2 f xxa F x 在点xa 处是否可导 为什么 解答 1 对函数 f xxa F x 由于 00 limlim xx f axf ax F ax F a xx 00 limlim xx f axf ax F ax F a xx 故函数在点xa 处不可导 因为左 右 导数不相等 2 对 函 数 f xxa F x 00 limlim xx f axf ax F ax F a xx 00 limlim xx f axf ax F ax F a xx 故函数在点xa 处可导 因为左 右导数 相等 所属章节 第三章第二节所属章节 第三章第二节 难度 二级难度 二级 9 按定义证明 1 可导的偶函数的导数是奇函数 2 可导的奇函数的导数是偶函数 3 可导的周期函数的导数仍是周期导数 且周期不变 解答 1 设 f x为可导的偶函数 则 00 limlim xx fxxfxf xxf x fxfx xx 即它的导数是奇函数 2 设 f x为可导的奇函数 则 00 limlim xx fxxfxf xxf x fxfx xx 即它的导数是偶函数 3 设 f x为可导的周期函数 且周期为T 则 00 limlim xx f xTxf xTf xxf x fxTfx xx 即它的导数是周期函数 且周期不变 所属章节 第三章第二节所属章节 第三章第二节 难度 二级难度 二级 10 设函数 f x和 x 在0 x 处可导 0 0 且 0 0 0f 则 0 0 lim 0 x f xf x 解答 0 00 0 0 0 lim 0 limlim 0 0 0 lim x xx x f xff xf f xf xx xx x xx 所属章节 第三章第二节所属章节 第三章第二节 难度 二级难度 二级 11 设 fx 存在 试证 对常数 有 0 lim h f xhf xh fx h 解答 00 limlim hh f xhf xhf xhf xf xhf x fx hh 所属章节 第三章第二节所属章节 第三章第二节 难度 一级难度 一级 12 1 设函数 f x对任意实数x y均有 f xyf xf y 且 0 1f 试求 fx 2 设函数 f x对任意实数x y均有 2f xyf xf yxy 且 0 f 存在 试求 fx 解答 1 由于对任意实数x y均有 f xyf xf y 令0 xy 得 0 1f 或 0 0f 令0y 得 0 f xf x f 如果 0 0f 则 0f x 从而 0fx 如果 0 1f 则由 0 1f 000 1 limlimlim 0 xxx f xxf xf x fxf xf xfx f x ff x xxx 故 fxf x 综合知 fxf x 2 由于对任意实数x y均有 2f xyf xf yxy 令0y 得 0 0f 000 2 0 2 limlimlim 0 2 xxx f xxf xf xfxx xf xfxfx x fx xxx 故 2 0 fxxf 所属章节 第三章第二节所属章节 第三章第二节 难度 三级难度 三级 13 设函数 f x对任意x有 1 fxaf x 且 0 fb 试求 1 f 解答 由于对任意x有 1 fxaf x 故 1 0 1 faffxafx 00 1 1 0 limlim 0 xx fxfafxaf afab xx 所以由导数定义 1 fab 所属章节 第三章第二节所属章节 第三章第二节 难度 三级难度 三级 14 在抛物线 2 yx 上哪一点的切线 1 平行于直线45yx 2 垂直于直线2650 xy 3 与直线310 xy 构成 45 角 解答 2yx 1 要使切线平行于直线45yx 则 4y 故切点为 2 4 2 要使切线垂直于直线2650 xy 则 3y 故切点为 3 9 2 4 3 要使切线与直线310 xy 构成 45 角 则 1 2 2 y 故切点为 11 1 1 4 16 及 所属章节 第三章第二节所属章节 第三章第二节 难度 一级难度 一级 15 求曲线cosyx 上点 1 3 2 处的切线方程和法线方程 解答 sinyx 故切线斜率为 3 sin 332 y 法线斜率为 2 3 3 从而由点斜式方 程得到切线方程为 313 1 0 223 xy 法线方程为 2 312 3 329 xy 0 所属章节 第三章第二节所属章节 第三章第二节 难度 一级难度 一级 16 求下列曲线在指定点处的切线方程和法线方程 1 1 f x x 在对应于1x 的点处 2 1 f x x 在对应于9x 的点处 解答 1 1 f x x 2 1 fx x 令1x 得到切线斜率 1 切点 1 1 从而切线方程为 20 xy 法线方程为0 xy 2 1 2 1 f xx x 3 2 1 2 fxx 令9x 得到切线斜率 1 54 切点 1 9 3 从而 切线方程为54270 xy 法线方程为162314570 xy 所属章节 第三章第二节所属章节 第三章第二节 难度 一级难度 一级 17 证明 双曲线 2 xya 上任一点的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数 解答 由xy a2得 x a y 2 2 2 x a yk 设 00 x y为曲线上任一点 则过该点的切线方程为 2 00 2 0 a yyxx x 令y 0 并注意x0y0 a2 解得 2 00 00 2 2 y x xxx a 为切线在x轴上的截距 令x 0 并注意x0y0 a2 解得 2 00 0 2 a yyy x 为切线在y轴上的截距 此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为 2 0000 1 2 2 2 2 2 Sxyx ya 所属章节 第三章第二节所属章节 第三章第二节 难度 二级难度 二级 18 求下列函数在点 0 x处的左右导数 并指出在该点的可导性 1 0 sin 0 0 0 x x f xx x x 3 1 0 0 0 1 0 x x x f xx e 解答 1 因为 00 0 0 sin 0 limlim1 xx fxfx xx 故右导数 0 1f 因为 00 0 0 0 limlim1 xx fxfx xx 故左导数 0 1f 从而 0f xx 在处可导 2 因为 00 1 1 2 1 1 limlim1 xx fxfx xx 故右导数 0 1f 因为 2 00 1 1 1 1 limlim2 xx fxfx xx 故左导数 0 2f 从而 1f xx 在处不可导 3 因为 1 00 0 0 0 1 limlim0 x xx x fxf e xx 故右导数 0 0f 因为 1 00 0 0 0 1 limlim1 x xx x fxf e xx 故左导数 0 1f 从而 0f xx 在处不可导 所属章节 第三章第二节所属章节 第三章第二节 难度 二级难度 二级 19 分别讨论下列函数在0 x 处的连续性和可导性 1 sinyx 2 1 sin 0 0 0 xx yx x 3 2 1 sin 0 0 0 xx yx x 解答 1 由于 00 limlim sin0 0 xx yxy 00 sin 0 0 limlim1 xx xyxy xx 00 sin 0 0 limlim1 xx xyxy xx 所以函数sinyx 在0 x 处连续 不可导 2 由于 00 1 limlimsin0 0 xx yxy x 000 1 sin 0 0 1 limlimlimsin xxx x yxy x xxx 不存在 所以函数 1 sin 0 0 0 xx yx x 在0 x 处连续 不可导 3 由于 2 00 1 limlimsin0 0 xx yxy x 2 000 1 sin 0 0 1 limlimlimsin0 xxx x yxy x x xxx 所以函数 2 1 sin 0 0 0 xx yx x 在0 x 处连续 可导 所属章节 第三章第二节所属章节 第三章第二节 难度 二级难度 二级 20 设函数 2 0 0 xxx f x axb xx 在 0 x处连续且可导 试求 a b 参考答案 2 00 2 ax bx 解答 由于函数 2 0 0 xxx f x axb xx 在 0 x处连续且可导 故 00 lim lim xxxx f xf x 0000 00 limlim xx f xxf xf xxf x xx 即 2 00 axbx 0 2ax 解得 2 00 2 ax bx 所属章节 第三章第二节所属章节 第三章第二节 难度 二级难度 二级 在下列2130 题中 求函数的导数 其中xy t 均为变量 a为常数 21 xa ya x 解答 11 ln axxa yx aaax 所属章节 第三章第二节所属章节 第三章第二节 难度 一级难度 一级 22 sinlnyxxx 解答 sin lncos lnsinyxxxxxx 所属章节 第三章第二节所属章节 第三章第二节 难度 一级难度 一级 23 222 1 4 9 yxxx 解答 22222222242 1 4 9 1 4 9 1 4 9 2 32849 yxxxxxxxxxxxx 所属章节 第三章第二节所属章节 第三章第二节 难度 一级难度 一级 24 2 sincos x yxxx 解答 2ln2 sincos cos x yxxxxx 所属章节 第三章第二节所属章节 第三章第二节 难度 一级难度 一级 25 sin sin xa y xa 解答 2 sincossin 0 xxxx y xx 所属章节 第三章第二节所属章节 第三章第二节 难度 一级难度 一级 26 3 2 x xx y e 解答 332 2322 xx xxxxx y ee 所属章节 第三章第二节所属章节 第三章第二节 难度 一级难度 一级 27 11 11 y tt 解答 2 1121 111 1 tt y ttttt 所属章节 第三章第二节所属章节 第三章第二节 难度 一级难度 一级 28 xx xx ee y ee 解答 22 4 xxxxxxxxxx xxxxxx eeeeeeeeee y eeeeee 所属章节 第三章第二节所属章节 第三章第二节 难度 一级难度 一级 29 1 ln 1 ln x y x 解答 22 11 1 ln 1 ln 1 ln2 1ln 1ln 1 ln xx x xx y xxxx 所属章节 第三章第二节所属章节 第三章第二节 难度 一级难度 一级 30 3 2 xx y xx 解答 3 6 2 33 141 233 2 2 xx xx x y xxxx 所属章节 第三章第二节所属章节 第三章第二节 难度 一级难度 一级 31 求下列函数在给定点处的导数 1 sec2cosyxx 在 3 x 处 2 2ex yx 在1x 处 3 2 1 x yexx 在1x 处 4 1 1 x y x 在9x 处 5 sincos cossin y 在 2 处 解答 1 对函数sec2cosyxx 求导得 sec tan2sinyxxx 代入 3 x 得导数等于3 3 2 对函数 2ex yx 求导得 2 2 xx yxex e 代入1x 得导数等于 1 e 3 对函数 2 1 x yexx 求导得 2 x yexx 代入1x 得导数等于2e 4 对函数 1 1 x y x 求导得 22 11 1 1 11 22 1 1 1 xx x xx y xxxx 代入9x 得导数等于 1 48 5 对函数 sincos cossin y 求导得 2 2 sincos cossin cossin y 代入 2 得 导数等于 1 所属章节 第三章第二节所属章节 第三章第二节 难度 一级难度 一级 32 求下列各函数的反函数的导数 1 lnyxx 2 coshyx 3 arcsin e x y 4 11 ln 21 x y x 5 arctanrr 参考答案 1 d d1 yy xy 2 2 d1 1 d 1 y x x x 3 dcos ln d yx xx 4 2 22 d4e d 1e x x y x 5 2 2 d1 d1 1 arctan rr rr 答案 5 有误 解答 1 对函数lnyxx 导函数为 11 1 dyx dxxx 反函数的导数为 d d1 yy xy 2 对函数coshyx 反函数为 2 ln 1 yxx 导数为 2 d1 1 d 1 y x x x 3 对函数 arcsin e x y 反函数为sin ln yx 导数为 cos ln dyx dxx 4 对函数 11 ln 21 x y x 反函数为 2 2 1 1 x x e y e 导数为 2 22 d4e d 1 e x x y x 5 对 函 数arctanrr 导 函 数 为 2 1 arctan 1 d rr drr 反 函 数 的 导 数 为 2 2 d1 d 1 arctan rr rrr 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 二级难度 二级 在下列3385 题中 求函数的导数 33 36 yxx 解答 252 6 1 31 yxx 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 34 22 3 2 yxx 解答 32 2 21 32 x y xx 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 35 3 2 1 1 y x 解答 322 2 3 1 1 x y xx 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 36 323 1 23yxxx 解答 5432 23 2 3 324836 2 3 xxxxx y xx 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 37 1 1 x y x 解答 3 2 1 1 x y xx 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 38 3 3 121 121 x y x 解答 223 3 4 3 121 21 y xx 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 39 2 sin2cos yxx 解答 2 2cos22 sinyxxx 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 40 2 2 sin sin x y x 解答 22 22 2sin cos sinsin cos sin xxxxxx y x 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 41 2 sincot 32 xx y 解答 22 121 sincotsincsc 332232 xxxx y 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 42 sincos n yxnx 参考答案 1 sincos 1 n nxnx 解答 1 sincos 1 n ynxnx 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 43 tan 2 x y 解答 2 1 cotsec 422 xx y 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 44 21 cos 1 x y x 参考答案 2 2 1 sin 1 1 x x xx 本题答案有误 解答 2 2 1 sin 111 1 2cos sin 111 1 x xxx x y xxxxx 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 45 sin sin sin2 yx 解答 2cos sin sin2 cos sin2 cos2yxxx 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 46 sin2xy 解答 2 ln2cos2 xx y 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 47 22 sin cos cos sin yxx 参考答案 sin2 cos cos2 xx 解答 222222 cos cos cos cos sin sin cos sin sin sin sin2 cos cos2 yxxxxxxxx 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 48 1 2 tan 2 x y 解答 函数由 2 1 2 tan u yuv v x 复合而成 2 1 tan1 2 32 ln21 2sec x y xx 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 49 2 22 sinex x y 若题目中是 2 22xx 原答案则有误 解答 函数由 2 sin 22 v yu ue vxx 复合而成 22 2222 22 ecose xxxx yx 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 50 cosh21 e xx y 解答 cosh21 1 2sinh2 2 1 xx yex x 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 51 32 lnyx 解答 22 6 lnyx x 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 52 ln ln ln yx 解答 1 ln ln ln y xxx 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 53 5 log 1 x y x 解答 5 lnln 1 log 1ln5 xxx y x 1 1 ln5 y xx 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 54 lntan 24 x y 解答 2 1111 sec sec 242 tan 2sin cos sin 2424242 x yx xxx x 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 55 2 1 ln 1 y xx 参考答案 2 1 1x 解答 2 2 1 lnln 1 1 yxx xx 2 2 1 ln 1 1 yxx x 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 56 1 sin 1 sin x y x 参考答案 1 cosx 答案有误 解答 1 sin1 sin sectan 1 sincos xx yxx xx 2 sec tansecyxxx 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 57 3 sec ln yx 解答 3 3 sec ln tan ln yxx x 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 58 2 2222 ln 22 xa yxaxxa 解答 2 2222 2222 11 222 xxa yxaxa xaxa 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 59 1 arccos 2 x y 解答 2 2 111 12 12 1 2 y x xx 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 60 2 arctan 2 x y 参考答案 2 4 4 x x 答案有误 解答 24 2 124 24 1 2 xx y xx 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 61 12 arccot 2 y x 参考答案 2 1 2x 解答 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 62 2 arcsin yx 解答 2 2arcsin 1 x y x 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 63 arctanyxx 解答 111 12 1 22 x y xxxx 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 64 2 1arcsinyxxx 解答 2 222 1arcsin 1arcsin12 111 xxx yxx xxx 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 65 arccos ln yx 解答 2 1 1 ln y xx 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 66 ln arccos2 yx 解答 2 2 arccos21 4 y xx 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 67 arcsin 2 sin yx 解答 cos sin 14sin x y xx 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 68 arctan e x y 解答 arctan 2 1 x e y xx 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 69 1 cos arccos y x 解答 11 cos arccos y xx 3 1 2 y x 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 70 cosh sinh yx 解答 sinh sinh coshyxx 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 71 e ee eee x x x y 解答 x xex xexeex yeeeeee 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 72 aax axa yxaa 解答 112 lnln ax aaaax ya xaxaax 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 73 2 1 ln sin x y x 解答 2 2ln22ln sin xx y xx 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 74 cosh esinh x yx 解答 cosh2 sinhcosh x yexx 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 75 arcsin ln yxx 解答 2 1 arcsin ln 1 ln yx x 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 76 yx x x 参考答案 8 7 8x 解答 1 1 17 2 4 88 yx x xxx 1 8 8 77 88 yx x 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 77 tan2 10 x x y 解答 tan2 10ln10 tan22 sec xx yxxx 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 78 3 e cosln x yxx 解答 2 cos cos cos ln3sin ln x x yexxxxx x 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 79 2 22 arcsin 22 xax yax a 解答 2 22 2222 2 1111 222 1 xxa yax ax axax a 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 一级难度 一级 80 2 arcsin11 ln 21 1 xx y x x 解答 22 arcsin11arcsin1 ln ln 1 ln 1 212 11 xxx yxx x xx 2 3 arcsin 1 xx y x 所属章节 第三章第三节所属章节 第三章第三节 难度 二级难度 二级 81 2 3 2 3 1 32 3 xx y x 解答 用对数求导法 对 2 3 2 3 1 32 3 xx y x 有 12 ln2ln 1 ln 32 ln 3 33 yxxx 两 边求导得 2 1212157431 1323 3 3 1 32 3 xx y yxxxxxx 解得 2 52 3 157431 1 3 3 32 xxx y xx 所属章节 第三章第四节所属章节 第三章第四节 难度 二级难度 二级 82 sin1 exyxx 参考答案 1 1e cotsin1 e 22 e1 x x x xxx x 解答 用对数求导法 对sin1 exyxx 两边取对数有 11 ln lnlnsinln 1 22 x yxxe 两边求导得 11 1 cot 22 1 x x e yx yxe 解得 1 1e cotsin1 e 22 e1 x x x yxxx x 所属章节 第三章第四节所属章节 第三章第四节 难度 二级难度 二级 83 1 x yx 解答 用对数求导法 对 1 x yx 两边取对数有 1 lnlnyx x 两边求导得 2 111 1 lnyx yxx x 解得 1 2 1 ln x yxx 所属章节 第三章第四节所属章节 第三章第四节 难度 二级难度 二级 84 1 x x y x 参考答案 1 ln 111 x xx xxx 解答 用对数求导法 对 1 x x y x 两边取对数有 ln lnln 1 yxxx 两边求导得 11 ln 11 x y yxx 解得 1 ln 111 x xx y xxx 所属章节 第三章第四节所属章节 第三章第四节 难度 一级难度 一级 85 cossin sin cos xx yxx 解答 cossin sin cos cotsin ln sin cos cos ln cos sintan xx yxxxxxxxxxx 所属章节 第三章第四节所属章节 第三章第四节 难度 一级难度 一级 86 求下列函数的导数 1 yx x 2 23 1 1 yxx 3 1 arccosy x 解答 1 2 2 0 0 xx y xx 用定义求得在0 x 处导数等于零 2 0 2 2 0 xx yyx x x 即 2 23 23 1 1 0 1 1 0 xxx y xxx 所属章节 第三章第四节所属章节 第三章第四节 难度 二级难度 二级 87 设 f x可导 求下列函数的导数 dy dx 1 2 yf x 2 e e xf x yf 3 22 sin cos yfxfx 4 yfff x 解答 1 2 2 yxfx 2 f xxxx yee f ef efx 3 22 sin2 sin cos yx fxfx 4 yfff xff xfx 所属章节 第三章第四节所属章节 第三章第四节 难度 一级难度 一级 88 设 xx 可导 求下列函数的导数 dy dx 1 arctan x y x 2 22 yxx 解答 1 22 2 1 1 xxxxx y x xxx x 2 22 xxxx y xx 所属章节 第三章第四节所属章节 第三章第四节 难度 一级难度 一级 89 验证 1 函数 1 ln 1 y x 满足关系式1ey dy x dx 2 函数 2 22 1ln1 22 xx yxxx 满足关系式2lnyxyy 解答 1 对函数 1 lnln 1 1 yx x 有 1 1 dy dxx 所以 1 1 1 y dy xe dxx 2 对 函 数 2 22 1ln1 22 xx yxxx 有 2 1yxx 容 易 验 证 2lnyxyy 成立 所属章节 第三章第四节所属章节 第三章第四节 难度 一级难度 一级 90 求下列方程所确定的隐函数 yy x 的导数 dy dx 1 2 260yxy 2 22 cossin3yxax 3 cos xyx 4 1eyyx 5 yx xy 6 sincos 0yxxy 参考答案 1 y yx 2 22 sin3cos3 2 cos yxax yy 此答案有误 3 1sin sin yxy xxy 4 e 2e y y 此答案正确 5 2 2 ln ln yxyy xxyx 6 cossin sin sin yxxy xyx 解答 1 方程 2 260yxy 两边对x求导 有2220 dydy yyx dxdx 解得 dyy dxyx 2 方程 22 cossin3yxax 两边对x求导 有 22 2cossin3cos3 dy yxyxax dx 解得 22 sin3cos3 2 cos dyyxax dxyx 3 方程cos xyx 两边对x求导 有sin 1 dy xyyx dx 解得 1sin sin dyyxy dxxxy 4 方程1eyyx 两边对x求导 有 yy dydy exe dxdx 解得 1 y y dye dxxe 或写成 2 y dye dxy 5 方 程 yx xy 两 边 取 对 数 得lnlnyxxy 再 两 边 对x求 导 有 11 lnln dydy xyyx dxxy dx 解得 2 2 ln ln dyyxyy dxxxyx 6 方程sincos 0yxxy 两边对x求导 有sincossin 1 0 dydy xyxxy dxdx 解得 cossin sin sin dyyxxy dxxyx 所属章节 第三章第四节所属章节 第三章第四节 难度 一级难度 一级 91 求下列方程所确定的隐函数 yy x 在点0 x 处的导数 1 sin ln xyyxx 2 eln0 1 xy y x 3 2 ecos e 1 x y xy 解 答 1 由 方 程 知0 x 时1y 方 程 sin ln xyyxx 两 边 对x求 导 有 1 cos 1 y xyyxy yx 将0 x 1y 代入解得 1y 2 由 方 程 知0 x 时 1 y e 方 程 eln0 1 xy y x 两 边 对x求 导 有 11 0 1 xy eyxyy yx 将0 x 1 y e 代入解得 11 1 y ee 3 由 方 程 知0 x 时1y 方 程 2 ecos e 1 x y xy 两 边 对x求 导 有 2 2 sin 0 x y eyxyyxy 将0 x 1y 代入解得 2y 所属章节 第三章第四节所属章节 第三章第四节 难度 一级难度 一级 92 验证 由方程ln1xyy 所确定的隐函数 yy x 满足关系式 2 1 0 dy yxy dx 解答 方程ln1xyy 两边对x求导 有 1 0 dydy yx dxy dx 解得 2 1 dyy dxxy 所以 2 1 0 dy yxy dx 所属章节 第三章第四节所属章节 第三章第四节 难度 二级难度 二级 93 求曲线 222 333 xya 在点 22 44 aa处的切线和法线方程 解答 方程 222 333 xya 两边对x求导 有 11 33 22 0 33 dy xy dx 将 22 44 x yaa 代入可 得切线斜率1 dy k dx 所以切线方程为 2 0 2 xya 法线方程为0 xy 所属章节 第三章第四节所属章节 第三章第四节 难度 二级难度 二级 94 求下列参数方程所确定的函数的导数 dy dx 和 dx dy 1 2 3 1 xt ytt 2 2 2 2 3 1 3 1 at x t at y t 解答 1 3 2 22 312 1 231 d tt dytdxt dt dtdxtdy dt 2 12 31 dxt dy dy dx 2 2 2 2 2 3 2 1 3 1 1 at dyt t at dxt t 2 11 2 dxt dy dyt dx 所属章节 第三章第四节所属章节 第三章第四节 难度 一级难度 一级 95 求下列参数方程所确定的函数在指定点处的导数 dy dx 1 2 ln 1 1 arctan xt yt 当1t 时 2 e sin e cos t t xt yt 当 3 t 时 解答 1 由方程 2 ln 1 1 arctan xt yt 求得 2 1 arctan 1 ln 1 2 dyt dxtt 当1t 时 1 2 dy dx 2 由方程 e sin e cos t t xt yt 求得 cos cossin sin sincos t t dyettt dxettt 当 3 t 时 13 22 32 13 22 dy dx 所属章节 第三章第四节所属章节 第三章第四节 难度 一级难度 一级 96 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线和法线方程 1 2e e t t x y 在0t 处 2 sin cos2 xt yt 在 6 t 处 解答 1 由方程 2e e t t x y 求得 2 1 2 22 tt t tt dyee e dxee 在0t 处 切点 2 1 切线斜率 1 2 dy dx 所以切线方程为240 xy 法线方程为230 xy 2 由方程 sin cos2 xt yt 求得 cos2 2sin2 4sin sin cos dytt t dxtt 在 6 t 处 切点 1 1 2 2 切线斜率2 dy dx 所以切线方程为4230 xy 法线方程为2410 xy 所属章节 第三章第四节所属章节 第三章第四节 难度 二级难度 二级 97 设 1 1 xt yt 求证 dyx dxy 解答 由方程 1 1 xt yt 即得 1 1 1 1 dyttx dxytt 得证 所属章节 第三章第四节所属章节 第三章第四节 难度 一级难度 一级 98 试证 由参数方程 2 1ln 32ln t x t t y t 所确定的函数满足关系式 2 21yyxy 解 答 由参 数方 程 2 1ln 32ln t x t t y t 可 求得 2 2 32ln 1ln t dy t yt t dx t 代入即可验证等式 2 21yyxy 成立 所属章节 第三章第四节所属章节 第三章第四节 难度 一级难度 一级 99 求极坐标方程cossinr 表示的曲线在相应于 4 的点处的切线斜率 解答 由cossinr 化为参数方程 2 2 cossincos sinsincos x y 求得 222 222 sinsincos sincos2sincos cossincos cossin2sincos dy dx 把 4 代入即得切线斜率为 1 注 本题也可化作直角坐标方程 22 xyxy 用隐函数求导来求解 所属章节 第三章第四节所属章节 第三章第四节 难度 二级难度 二级 100 设甲车以 70km h 的速度从东向西行驶 乙车以 80km h 的速度从北向南行驶 均驶向两 条路的交叉处 求当甲车和乙车分别距交叉口 0 3km 和 0 4km 时两车靠近的速率 参考答案 解答 再过t时刻 两车距离 22 0 370 0 480 stt 求导得 0t ds dt 106 km h 所属章节 第三章第四节所属章节 第三章第四节 难度 二级难度 二级 101 高为 18cm 底圆半径为 6cm 的正圆锥形漏斗 其内盛满了水 下面接一只半径为 5cm 的圆柱形水桶 水从漏斗中流入桶内 问当漏斗水深为 12cm 且它的水面下降速率为 1cm s 时 桶内水面上升的速率是多少 解答 设在t时刻漏斗在的水深为y 圆柱形筒中水深为h 于是有 222 11 6185 33 r yh 由 618 ry 得 3 y r 代入上式得 222 11 618 5 333 y yh 即 232 3 11 6185 33 yh 两边对t求导得 22 2 1 5 3 t y yh 当12y 时 1 t y 代入上式得 2 2 2 1 12 1 16 3 525 t h cm s 所属章节 第三章第四节所属章节 第三章第四节 难度 二级难度 二级 102 半径为R的半球形状的雪堆 其体积融化的速率与半球面面积S成正比 比例常数 0k 假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状 已知雪堆在开始融化的 3h 内融化了其体积的 1 8 问雪堆全部融化需多少小时 参考答案 6h 解答 设在t时刻雪堆半径为 rr t 则体积 3 2 3 V tr 表面积 2 2Sr 由条件知 dV kS dt 即 dr k dt 所以rRkt 又3t 时 33 212 383 V trR 故 6 R k 于 是令0rRkt 解得6t 小时 所属章节 第三章第四节所属章节 第三章第四节 难度 三级难度 三级 103 设 3 yxx 计算在2x 处当x 分别等于10 10 01 时的增量y 及微分dy 解答 223 33 yy xxy xxxxxxx 22 31 31 dyxdxxx 现 在2x 所 以 当118d11xyy 时 0 11 161d1 1xyy 当时 0 010 110601d0 11xyy 当时 所属章节 第三章第五节所属章节 第三章第五节 难度 一级难度 一级 104 将适当的函数填入下列括号内 使等式成立 1 d 2dx 2 d cos dt t 3 d sindwx x 4 1 d d 1 x x 5 2 d ed x x 6 2 d sec 3 dx x 解答 1 2xC 2 sintC 3 1 coswtC w 4 ln 1xC 5 2 1 e 2 x C 6 1 tan3 3 xC 此处参考解答有误 所属章节 第三章第五节所属章节 第三章第五节 难度 一级难度 一级 105 求下列函数的微分 1 arctanyxx 2 2 1 x y x 3 lntan 2 x y 4 yxxx 5 1 2 cosln x yxe 6 1 ln 2 xa y axa 解答 1 darctan d 2 1 x yxx x 2 22 d d 1 1 x y xx 3 2 11 dseccsc d 2 2 tan 2 x yx x x 4 111 d1 1 d 2 2 2 yx x xx xxx 5 1 13 2 1 22 2e dsinln e d e x x x x yxx xx 6 22 1 ddyx xa 所属章节 第三章第五节所属章节 第三章第五节 难度 一级难度 一级 106 设uv 为自变量x的可微函数 将dy表示为函数 dduvuv 的函数 1 22 lnyuv 2 arctan u y v 解答 1 22 dd d dydyu uv v ydudv dudvuv 2 22 dd d u vv u y uv 所属章节 第三章第五节所属章节 第三章第五节 难度 一级难度 一级 107 试求 1 369 3 d 2 d xxx x 2 darcsin darccos x x 解答 1 令 3 xt 则 36923 22xxxttt 所以 36923236 3 d 2 2 143143 d d xxxtttttxx xdt 2 令arccosxt 则arcsinarccos 22 xxt 所以 arcsin 2 1 arccos dt dx dxt 所属章节 第三章第五节所属章节 第三章第五节 难度 二级难度 二级 108 如图所示的电缆AOB的长为L 跨度为 2l 电缆的最低点O与杆顶连线AB的距离为f 则电缆长可按下面公式计算 2 2 2 2 1 3 f Ll l 当f变化了f 时 电缆长的变化约为多少 参考答案 8 3 f Sf l 答案有误 解答 2 2 28 2 1 33 ff LdLldff ll 所属章节 第三章第五节所属章节 第三章第五节 难度 二级难度 二级 109 设扇形的圆心角60 半径R 100cm 如果 R 不变 减少30 问扇形面积大约 改变了多少 又如果 不变 R增加 1cm 问扇形面积大约改变了多少 参考答案 22 3043 63cm1cm104 72cmRR 不变 减少 面积减少 不变 增加 面积增加 解答 1 扇形面积 2 1 2 SR 22 11 22 SdSRdR 将60 3 100R 30 360 代入上式得 2 1 100 43 63 2360 S cm 2 2 2 1 2 R SdSRdRR R 将60 3 100R 1R 代入上式得 100 1104 72 3 S cm 2 所属章节 第三章第五节所属章节 第三章第五节 难度 二级难度 二级 110 已知单摆的周期2 l T g