德州市乐陵市2015届中考数学模拟试卷（一）含答案解析

第 1 页（共 30 页） 2015 年山东省德州市乐陵市中考数学模拟试卷（一） 一、选择题（ 共 12小题， 每题 3分，共 36分） 1下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A B C D 2如图，一个几何体由 5 个大小相同、棱长为 1 的小正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的是（ ） A主视图的面积为 5 B左视图的面积为 3 C俯视图的面积为 3 D三种视图的面积都是 4 3一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧面积为（ ） A 2 4 8 16第 2 页（共 30 页） 4三角尺在灯泡 O 的照射下在墙上形成的影子如图所示若 050这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（ ） A 5： 2 B 2： 5 C 4： 25 D 25： 4 5如图， O 是 外接圆，若 0，则 度数为（ ） A 20 B 40 C 60 D 80 6若反比例函数 y= （ k 0）的图象上有两点 2， 3， 那么（ ） A 0 B 0 C 0 D 0 7下列命题中，正确的是（ ） A平 分弦的直径垂直于弦 B对角线相等的平行四边形是正方形 C对角线互相垂直的四边形是菱形 D三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分 8关于反比例函数 y= 的图象，下列说法正确的是（ ） A必经过点（ 1， 1） B两个分支分布在第二、四象限 C两个分支关于 x 轴成轴对称 第 3 页（共 30 页） D两个分支关于原点成中心对称 9某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（ ） A B C D 10有一个质地均匀的骰子， 6 个面上分别写有 1， 1， 2， 2， 3， 3 这 6 个数字连续投掷两次，第一次向上一面的数字作为十位数字，第二次向上一面的数字作为个位数字，这个两位数是奇数的概率为（ ） A B C D 11如图，二次函数 y=bx+c（ a0）的图象与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，且对称轴为 x=1，点 A 坐标为（ 1， 0）则下面的四个结论： 2a+b=0； 4a+2b+c 0； B 点坐标为（ 4， 0）； 当 x 1 时， y 0 其中正确的是（ ） A B C D 12如图，已知小正方形 面积为 1，把它的各边延长一倍得到新正方形 正方形 2此进行下去 ，则正方形 面积为（ ） 第 4 页（共 30 页） A（ ） n B 5n C 5n 1 D 5n+1 二、填空题：本大题共 5小题，共 20分，只要求填写最后结果，每小题 4分 13 +2值为 14设 x 3=0 的两个根，则 15新定义： a， b， c为函数 y=bx+c （ a， b， c 为实数）的 “关联数 ”若 “关联数 ”为 m 2， m，1的函数为一次函数，则 m 的值为 16如图，在 ， ， ， A=30，以点 A 为圆心， 长为半径画弧交 点 E，连接 阴影部分的面积是 （结果保留 ） 17如图，在等腰直角 ， 0， O 是斜边 中点，点 D、 E 分别在直角边 C 上，且 0， 点 P有下列结论： 5； S 四边形 S P 其中正确的结论序号为 （把你认为正确的都写上） 第 5 页（共 30 页） 三、解答题： 本大题共 7小题，共 64分解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 18计算： 4 19有形状、大小和质地都相同的四张卡片，正面分别写有 A、 B、 C、 D 和一个等式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张 （ 1）用画树状图或列表的方法表示抽取两张卡片可能出现的所有情况（结果用 A、 B、 C、 D 表示 ）； （ 2）小明和小强按下面规则做游戏：抽取的两张卡片上若等式都不成立，则小明胜，若至少有一个等式成立，则小强胜你认为这个游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，则这个规则对谁有利，为什么？ 20如图 1，反比例函数 y= （ x 0）的图象经过点 A（ 2 ， 1），射线 反比例函数图象交于另一点 B（ 1， a），射线 y 轴交于点 C， 5， y 轴，垂足为 D （ 1）求 k 的值； （ 2）求 值及直线 解析式； （ 3）如图 2， M 是线段 方反比例函数图象上一动点，过 M 作直线 l x 轴，与 交于点 N，连接 积的最大值 第 6 页（共 30 页） 21如图， ， C，作以 直径的 O 与边 于点 D，过点 D 作 O 的切线，分别交 延长线于点 E、 F （ 1）求证： （ 2）若 ， O 的半径 22某宾 馆有 30 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 120 元时，房间会全部住满当每个房间每天的房价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲宾馆需对游客居住的每个房间每天支出 20元的各种费用根据规定，每个房间每天的房价不得高于 210 元设每个房间的房价增加 x 元（ 0 的正整数倍） （ 1）设一天订住的房间数为 y，直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围； （ 2）设宾馆一天的利润为 w 元，求 w 与 x 的函数关系式； （ 3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 23已知，正方形 ， 5， 点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 它们的延长线）于点 M、 N， 点 H （ 1）如图 ，当 旋转到 你直接写出 ； （ 2）如图 ，当 点 A 旋转到 N 时，（ 1）中发现的 数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明； （ 3）如图 ，已知 5， 点 H，且 ， ，求 长（可利用（ 2）得到的结论） 第 7 页（共 30 页） 24如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（ 1， 0）、 B（ 4， 5）两点，过点 B 作 x 轴，垂足为 C （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）求 值； （ 3）点 M 是抛物线上的一个点，直线 行于 y 轴交直线 N，如果以 M、 N、 B、 C 为顶点的四边形是平行四边形，求出点 M 的横坐标 第 8 页（共 30 页） 2015年山东省德州市乐陵市中考数学模拟试卷（一） 参考答案与试题解析 一、选择题（ 共 12小题， 每题 3分，共 36分） 1 下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A B C D 【考点】 中心对称图形；轴对称图形 【分析】 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解 【解答】 解： A、不是轴对称图形，是中心对称图形故本选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形故本选项错误； C、不 是轴对称图形，是中心对称图形故本选项错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形故本选项正确 故选 D 【点评】 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转 180，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形 2如图，一个几何体由 5 个大小相同、棱长为 1 的小正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的是（ ） A主视图的面积为 5 B左视图的面积为 3 C俯视图的面积为 3 D三种视图的面积都是 4 【考点】 简单组合体的三视图 第 9 页（共 30 页） 【专题】 几何图形问题 【分析】 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，看分别得到几个面，比较即可 【解答】 解： A、从正面看，可以看到 4 个正方形，面积为 4，故 A 选项错误； B、从左面看，可以看到 3 个正方形，面积为 3，故 B 选项正确； C、从上面看，可以看到 4 个正方形，面积为 4，故 C 选项错误； D、三种视图的面积不相同，故 D 选项错误 故 选： B 【点评】 本题主要考查了几何体的三种视图面积的求法及比较，关键是掌握三视图的画法 3一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧面积为（ ） A 2 4 8 16考点】 圆锥的计算；由三视图判断几何体 【专题】 几何图形问题 【分析】 俯视图为圆的只有圆锥，圆柱，球，根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥，那么侧面积 =底面周长 母线长 2 【解答】 解：此几何体为圆锥； 半径为 1，圆锥母线长为 4， 侧面积 =2=2142=4； 故选： B 第 10 页（共 30 页） 【点评】 本题考查了圆锥的计算，该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和高是解本题的关键；本题体现了数形结合的数学思想，注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角 形 4三角尺在灯泡 O 的照射下在墙上形成的影子如图所示若 050这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（ ） A 5： 2 B 2： 5 C 4： 25 D 25： 4 【考点】 相似三角形的应用 【分析】 先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可 【解答】 解：如图， 050 = = = ， 三角尺与影子是相似三角形， 三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比 = =2： 5 故选： B 【点评】 本题考查了相似三角形的应用，注意利用了相似三角形对应边成比例的性质，周长的比等于相似比的性质 5如 图， O 是 外接圆，若 0，则 度数为（ ） 第 11 页（共 30 页） A 20 B 40 C 60 D 80 【考点】 圆周角定理 【分析】 由 O 是 外接圆，若 0，根据圆周角定理，即可求得答案 【解答】 解： O 是 外接圆， 0， 0 故选： D 【点评】 此题考查了圆周角定理此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用 6若反比例函数 y= （ k 0）的图象上有两点 2， 3， 那么（ ） A 0 B 0 C 0 D 0 【考点】 反比例函数图象上点的坐标特征 【专题】 计算题 【分析】 根据反比例函数图象上点的坐标特征得到 2y1=k， 3y2=k，然后利用 k 0 得到 0 【解答】 解：根据题意得 2y1=k， 3y2=k，即 k， k， k 0， 0 故选 A 【点评】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：比例函数 y= （ k 为常数， k0）的图象是双曲线，图象上的点（ x， y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xy=k 7下列命题中，正确的是（ ） A平分弦的直径垂直于弦 B对角线相等的平行四边形是正方形 C对角线互相垂直的四边形是菱形 D三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分 第 12 页（共 30 页） 【考点】 命题与定理 【分析】 根据垂径定理的推理对 A 进行判断；根据正方形的判定方法对 B 进行判断；根据菱形的判定方法对 C 进行判断；根据三角形的中线定义和三角形面积公式对 D 进行判断 【解答】 解： A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以 A 选项错误； B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，所以 B 选项错误； C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以 C 选项错误； D、三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分，所以 D 选项正确 故选 D 【点评】 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已 知事项推出的事项，一个命题可以写成 “如果 那么 ”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理 8关于反比例函数 y= 的图象，下列说法正确的是（ ） A必经过点（ 1， 1） B两个分支分布在第二、四象限 C两个分支关于 x 轴成轴对称 D两个分支关于原点成中心对称 【考点】 反比例函数的性质；轴对称图形；中心对称图形 【分析】 把（ 1， 1）代入得到左边 右边； k=4 0，图象在第一、三象限；根据轴对称的定义沿 据中 心对称的定义得到两曲线关于原点对称；根据以上结论判断即可 【解答】 解： A、把（ 1， 1）代入得：左边 右边，故 A 选项错误； B、 k=4 0，图象在第一、三象限，故 B 选项错误； C、沿 x 轴对折不重合，故 C 选项错误； D、两曲线关于原点对称，故 D 选项正确； 故选： D 【点评】 本题主要考查对反比例函数的性质，轴对称图形，中心对称图形等知识点的理解和掌握，能根据反比例函数的性质进行判断是解此题的关键 第 13 页（共 30 页） 9某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是 （ ） A B C D 【考点】 列表法与树状图法 【分析】 列举出所有情况，看恰为一男一女的情况占总情况的多少即可 【解答】 解： 男 1 男 2 男 3 女 1 女 2 男 1 一 一 男 2 一 一 男 3 一 一 女 1 一 女 2 一 共有 20 种等可能的结果， P（一男一女） = 故选 B 【点评】 如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（ A） = 10有一个质地均匀的骰子， 6 个面上分别写有 1， 1， 2， 2， 3， 3 这 6 个数字连续投掷两次，第一次向上一面的数字作为十位数字，第二次向上一面的数字作为个位数字，这个两位数是奇数的概率为（ ） A B C D 【考点】 列表法与树状图法 【分析】 根据是否为奇数与十位数的数没有关系可以确定组成的两位数为奇数的概率 【解答】 解： 是否为奇数与十位数的数没有关系， 这个两位数为奇数的概率为： ， 故选 C 【点评】 本题考查了列表法和树 状图法求概率，解题的关键是确定两位数是否为奇数与十位数字无关 第 14 页（共 30 页） 11如图，二次函数 y=bx+c（ a0）的图象与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，且对称轴为 x=1，点 A 坐标为（ 1， 0）则下面的四个结论： 2a+b=0； 4a+2b+c 0； B 点坐标为（ 4， 0）； 当 x 1 时， y 0 其中正确的是（ ） A B C D 【考点】 二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质 【分析】 根据对称轴为 x=1 可 判断出 2a+b=0 正确；当 x=2 时， 4a+2b+c 0；根据抛物线的对称轴和 A 点坐标得到 B 点坐标为（ 3， 0）；由图象可知当 x 1 时， y 0 【解答】 解： 对称轴为 x=1， x= =1， b=2a， 2a+b=0，故 正确； 抛物线与 y 轴交于负半轴，即 x=0 时， y 0， 又对称轴为 x=1， x=2 时， y 0， 4a+2b+c 0，故 错误； 点 A 坐标为（ 1， 0），对称轴为 x=1， 点 B 坐标为（ 3， 0），故 错误； 由图象可知当 x 1 时， y 0故 正确 故选： C 【点评】 此题主要考查了二次函数与图象的关系，关键掌握二次函数 y=bx+c（ a0） 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小 第 15 页（共 30 页） 当 a 0 时，抛物线向上开口；当 a 0 时，抛物线向下开口； |a|还可以决定开口大小， |a|越大开口就越小 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置 当 a 与 b 同号时（即 0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 0），对称轴在 y 轴右（简称：左同右异） 常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 抛物线与 y 轴交于（ 0， c） 抛物线与 x 轴交点个数 =40 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点； =4 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； =40 时，抛物线与 x 轴没有交点 12如图，已知小正方形 面积为 1，把它的各边延长一倍得到新正方形 正方形 2此进行下去 ，则正方形 面积为（ ） A（ ） n B 5n C 5n 1 D 5n+1 【考点】 正方形的性质 【专题】 规律型 【分析】 根据三角形的面积公式，可知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的 5 倍，从而解答 【解答】 解：如图，已知小正方形 面积为 1，则把它的各边延长一倍后， 面积= 2B=， 新正方形 面积是 41+1=5， 从而正方形 5=25， 第 16 页（共 30 页） 以此进行下去 ， 则正方形 面积为 5n 故选： 5n 【点评】 此题考查了正方形的性质和三角形的面积公式，能够从图形中发现规律，利用规律解决问题 二、填空题：本大题共 5小题，共 20分，只要求填写最后结果，每小题 4分 13 +2值为 2 【考点】 实数的运算；特殊角的三角函数值 【专题】 计算题 【分析】 原式第二项利用特殊 角的三角函数值计算，即可得到结果 【解答】 解：原式 = +2 = + =2 故答案为： 2 【点评】 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 14设 x 3=0 的两个根，则 7 【考点】 根与系数的关系 【专题】 计算题 【分析】 根据根与系数的关系得 x1+ 2， ，再根据完全平方公式变形得到 x1+ 2后利用整体代入的方法计算 【解答】 解：根据题意得 x1+ 2， ， 所以 x1+2 2 2） 2 2（ ） =7 故答案为 7 【点评】 本题考查了根与系数的关系：若 bx+c=0（ a0）的两根时，x1+， 第 17 页（共 30 页） 15新定义： a， b， c为函数 y=bx+c （ a， b， c 为实数）的 “关联数 ”若 “关联数 ”为 m 2， m，1的函数为一次函数，则 m 的值为 2 【考点】 一次函数的定义 【专题】 新定义 【分析】 根据题意可得函数 y=bx+c 要变为一次函数必须 a=0，且 b0，因此 m 2=0，且 m0，再解即可 【解答】 解：根据题意可得： m 2=0，且 m0， 解得： m=2， 故答案为： 2 【点评】 此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握一次函数的一般形式，形如 y=kx+b（ k0， k、b 是常数）的函数，叫做一次函数 16如图，在 ， ， ， A=30，以点 A 为圆心， 长为半径画弧交 点 E，连接 阴影部分的面积是 12 （结果保留 ） 【考点】 平行四边形的性质；扇形面积的计算 【分析】 过 D 点作 点 F可求 高，观察图形可知阴影部分的面积=面积扇形 面积 面积，计算即可求解 【解答】 解：过 D 点作 点 F ， ， A=30， D2， B ， 阴影部分的面积： 82 42 =16 4 =12 故答案为： 12 第 18 页（共 30 页） 【点评】 考查了平行四边形的性质，扇形面积的计算，本题的关键是理解阴影部分的面积 =形 面积 面积 17如图，在等腰直角 ， 0， O 是斜边 中点，点 D、 E 分别在直角边 C 上，且 0， 点 P有下列结论： 5； S 四边形 S P 其中正确的结论序号为 （把你认为正确的都写上） 【考点】 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质 【分析】 证 出 E，即可判断 ；根据全等得出两三角洲的面积相等，即可推出 面积 =四边形 面积的 2 倍，即可判断 ；证 得出比例式，即可判断 【解答】 解： 在等腰直角 ， 0， O 是斜边 中点， A= B= ， C= 0= 0 在 ， E， 0， 5， S 第 19 页（共 30 页） S 四边形 S 等腰直角三角形， 5 5， = ，即 C= 即 都正确； 故答案为： 【点评】 本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要几何知识点难点在于结论（ 4）的判断，其中对于 “C”线段乘积的形式，可以寻求相似三角形解决问题 三、解答题：本大题共 7小题，共 64分解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 18计算： 4 【考点】 特殊角的三角函数值 【分析】 将 特殊角的三角函数值代入，然后合并运算即可 【解答】 解：原式 = 4（ ） 2+ = 3+ = 【点评】 本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，一些特殊角的三角函数值是要求同学们熟练记忆的内容 19有形状、大小和质地都相同的四张卡片，正面分别写有 A、 B、 C、 D 和一个等式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张 （ 1）用画树状图或列表的方法表示抽取两张卡片可能出现的所有情况（结果用 A、 B、 C、 D 表示）； 第 20 页（共 30 页） （ 2）小明和小强按下面规则做游戏：抽取的两张卡片上若等式都不成立 ，则小明胜，若至少有一个等式成立，则小强胜你认为这个游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，则这个规则对谁有利，为什么？ 【考点】 游戏公平性；列表法与树状图法 【分析】 这是一个由两步完成，无放回的实验，游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有 50%赢的机会，本题中即小明胜或小强胜的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论 【解答】 解：（ 1）列表得： （ A， D） （ B， D） （ C， D） （ A， D） （ B， C） （ D， C） （ A， B） （ C， B） （ D， B） （ B， C） （ C， A） （ D， A） 一共有 12 种情况； （ 2）不公平 A、 B、不成立， C、 D 成立 p（小明胜） = = ， p（小强胜） = = ， 这个游戏不公平，对小强有利 【点评】 本题考查的是游戏公平性的判断判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平用到的知识点为：概率 =所求 情况数与总情况数之比 20如图 1，反比例函数 y= （ x 0）的图象经过点 A（ 2 ， 1），射线 反比例函数图象交于另一点 B（ 1， a），射线 y 轴交于点 C， 5， y 轴，垂足为 D （ 1）求 k 的值； （ 2）求 值及直线 解析式； （ 3）如图 2， M 是线段 方反比例函数图象上一动点，过 M 作直线 l x 轴，与 交于点 N，连接 积的最大值 第 21 页（共 30 页） 【考点】 反比例函数综合题；一次函数的性质；二次函数的最值 【专题】 代数几何综合题 【分析】 （ 1）根据反比例函数图象上点的坐标特征易得 k=2 ； （ 2）作 H，如图 1，根据反比例函数图象上点的坐标特征确定 B 点坐标为（ 1， 2 ），则 1， 1，可判断 等腰直角三角形，所以 5，得到 0，根据特殊角的三角函数值得 ；由于 ， ，然后在 利用正切的定义可计算出 ，易得 C 点坐标为（ 0， 1），于是可根据待定系数法求出直线 解析式为 y= x 1； （ 3）利用 M 点在反比例函数图象上，可设 M 点坐标为（ t， ）（ 0 t 2 ），由于直线 l 交于点 N，得到 N 点的横坐标为 t，利用一次函数图象上点的坐标特征得到 N 点坐标为（ t， t 1），则 t+1，根据三角形面积公式 得到 S t（ t+1），再进行配方得到 S= （ t ） 2+ （ 0 t 2 ），最后根据二次函数的最值问题求解 【 解答】 解：（ 1）把 A（ 2 ， 1）代入 y= 得 k=2 1=2 ； （ 2）作 H，如图 1， 把 B（ 1， a）代入反比例函数解析式 y= 得 a=2 ， B 点坐标为（ 1， 2 ）， 1， 1， 等腰直角三角形， 5， 第 22 页（共 30 页） 5， 0， ； y 轴， ， ， = ， ， ， C 点坐标为（ 0， 1）， 设直线 解析式为 y=kx+b， 把 A（ 2 ， 1）、 C（ 0， 1）代入 得 ， 解 ， 直线 解析式为 y= x 1； （ 3）设 M 点坐标为（ t， ）（ 0 t 2 ）， 直线 l x 轴，与 交于点 N， N 点的横坐标为 t， N 点坐标为（ t， t 1）， （ t 1） = t+1， S t（ t+1） = t+ = （ t ） 2+ （ 0 t 2 ）， a= 0， 第 23 页（共 30 页） 当 t= 时， S 有最大值，最大值为 【点评】 本题考查了反比例函数的综合题：掌 握反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形的性质；会利用二次函数的性质解决最值问题 21如图， ， C，作以 直径的 O 与边 于点 D，过点 D 作 O 的切线，分别交 延长线于点 E、 F （ 1）求证： （ 2）若 ， O 的半径 【考点】 切线的性质；相似三角形的判定与性质 【分析】 （ 1）连接 切线的性质可得 利用圆周角定理证明 据等腰三角形的性质可证明 平行线的性质即可得到 （ 2）设 O 的半径为 x，由 O 得： 据相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于 x 的比例式，求出 x 的值即可 【解答】 （ 1）证明：连接 O 的切线， 又 O 的直径， 0，即 又 C， 第 24 页（共 30 页） C （ 2）解：设 O 的半径为 x ，即 = 解得： x=3 O 的半径为 3 【点评】 本题主要考查了切线的性质定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度不大 22某宾馆有 30 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 120 元时，房间会全部住满 当每个房间每天的房价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲宾馆需对游客居住的每个房间每天支出 20元的各种费用根据规定，每个房间每天的房价不得高于 210 元设每个房间的房价增加 x 元（ 0 的正整数倍） （ 1）设一天订住的房间数为 y，直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围； （ 2）设宾馆一天的利润为 w 元，求 w 与 x 的函数关系式； （ 3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 【考点】 二次函数的应用 【分析】 （ 1）理解每个房间的房价每增加 x 元，则减少房间 间，则可以得到 y 与 x 之间的关系； （ 2）每个房间订住后每间的利润是房价减去 20 元，每间的利润与所订的房间数的积就是利润； （ 3）求出二次函数的对称轴，根据二次函数的增减性以及 x 的范围即可求解 【解答】 解：（ 1）由题意得： 第 25 页（共 30 页） y=30 ，且 0 x90，且 x 为 10 的正整数倍； （ 2） w=（ 120 20+x）（ 30 间）， 整理，得 w= 0x+3000 （ 3） w= 0x+3000 = （ x 100） 2+4000 a= ， 抛物线的开口向下，当 x 100 时， w 随 x 的增大而增大，又 0 x90，因而当 x=90 时，利润最大，此时一天订住的房间数是： 30 =21 间，最大利润是 3990 元 答：一天订住 21 个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润为 3990 元 【点评】 此题考查二次函数的实际应用，特别容易出现的错误是在求最值时不考虑 x 的范围，直接求顶点坐标 23已知，正方形 ， 5， 点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 它们的延长线）于点 M、 N， 点 H （ 1）如图 ，当 A 旋转到 N 时，请你直接写出 数量关系： B ； （ 2）如图 ，当 点 A 旋转到 N 时，（ 1）中发现的 数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明； （ 3）如图 ，已知 5， 点 H，且 ， ，求 长（可利用（ 2）得到的结论） 【考点】 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理 【专题】 证明题；压轴题；探究型 【分析】 （ 1）由三角形全等可以证明 B， 第 26 页（共 30 页） （ 2）延长