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点到平面的距离 复习 1 过已知平面 外一点P有几条直线和 垂直 2 什么是点P在平面 内的正射影 连结平面 外一点P与 内一点所得线段中 垂线段PA最短 点到这个平面的距离 一点到它在一个平面内的正射影的距离 新知 例1 如图 AB是 O的直径 PA 平面 O C为圆周上一点 若AB 5 AC 2 求B到平面PAC的距离 例2如图 已知正三角形的边长为6cm 点到各顶点的距离都是4cm 求点到这个三角形所在平面的距离 解 设H为点O在平面ABC内的射影 延长AH 交BC于E 则 即H是 ABC的外心 在Rt ABC中 即点O到这个三角形所在平面的距离为2cm 一作二证三计算 思考 已知三棱锥P ABC的三条侧棱PA PB PC试判断点P在底面ABC的射影的位置 P A B C O PA PB PC O为三角形ABC的外心 思考 已知三棱锥P ABC的三条侧棱PA PB PC两两垂直 试判断点P在底面ABC的射影的位置 P A B C O为三角形ABC的垂心 D O 思考 已知三棱锥P ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等 试判断点P在底面ABC的射影的位置 P A B C O为三角形ABC的内心 O E F BPcosBPA AP 例3 如图 PA是平面 的垂线 A为垂足 B是 上一点 是 的一个法向量 而 cos cos 即d PA 练习1 S B C D A 直接法 归纳总结 向量法 利用法向量与点到面的距离关系 把几何问题转化为代数问题 还有等体积法 转移法待续 间接法 一作 二证 三计算 2 直线到它平行平面的距离 定义 直线上任一点到与它平行的平面的距离 叫做这条直线到平面的距离 由定义可知 求直线到它平行平面的距离的问题可由点到平面距离的知识来解决 3 两个平行平面的距离 和两个平行平面同时垂直的直线 叫做这两个平面的公垂线 公垂线夹在平行平面间的部分 叫做这两个平面的公垂线段 两个平行平面的公垂线段都相等 公垂线段长小于或等于任一条夹在这两平行平面间的线段长 两个平行平面的公垂线段的长度 叫做两个平行平面的距离 求两平行平面的距离 只要求一个平面上一点到另一个平面的距离 也就是求点到平面的距离 练习2 如图 直三棱柱ABC A1B1C1中 底面是等腰直角三角形 ACB 90 侧棱AA1 2 D是CC1的中点 求点A1到平面ABD的距离 如图 BAC在平面 内 PA是 斜线 PAB PAC BAC PA AB AC a 求点P到 的距离 练习3 1 已知四面体ABCD AB AC AD 6 BC 3 CD 4 BD 5 求点A到平面BCD的距离 练习 O 3 如图 已知D为 ABC外一点 DA DB DC两两垂直 且DA DB DC 3 求D点到平面ABC
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