高中数学2009年4月真题详解

高等数学 一 试题 第 1 页 共 10 页 全国 2009 年 4 月高等教育自学考试 高等数学 一 试题 课程代码 00020 一 单项选择题 本大题共 5 小题 每小题 2 分 共 10 分 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的 请将其代码填写在题后的括 号内 错选 多选或未选均无分 1 函数 f x 的定义域为 2 2 1 1 x A 1 1 B 3 1 C 1 1 D 1 3 知识点 函数的定义域 答案 B 2 1 1013 2 x x 解 依题意可得 2 设函数 f x 在 x 0 点连续 则 k 023 0 2sin 2 xkxx x x x A 0 B 1 C 2 D 3 知识点 函数的连续性 答案 C 高等数学 一 试题 第 2 页 共 10 页 00 0 0 sin22 limlim2 sin2 lim 0 2 xx x fk xx xx x f x k 解 又 3 设函数 则其弹性函数 2 1502yx Ex Ey A 2 2150 4 x B 2 2150 4 x x C 1502 4 2 x x D 1502 4 2 2 x x 知识点 弹性函数 答案 D 2 2 4 4 2150 Eyxxx fxx Exyyx 解 4 曲线 y 的渐近线的条数为 2 1 4 x x A 1 B 2 C 3 D 4 知识点 曲线渐近线 答案 B 2 2 1 4 lim 0 1 4 lim 1 x x x x x x 解 曲线有水平渐近线y 0 曲线有垂直渐近线x 1 高等数学 一 试题 第 3 页 共 10 页 5 设 sin x 是 f x 的一个原函数 则 xxfd A sin x C B cos x C C cos x C D sin x C 知识点 不定积分 答案 A 解 不定积分的概念 如果 F x 是 f x 的一个原函数 则 d f xx F xC 二 填空题 本大题共 10 小题 每小题 3 分 共 30 分 请在每小题的空格中填上正确答案 错填 不填均无分 6 函数的反函数是 2 x 1 y 10 知识点 函数的反函数 答案 x 2 lg21yx 2 2 1lg2 lg21 lg21 y xy xy yx x 1 x 1 解 y 10 10 7 极限 0 lim x xx 3 3 1 知识点 函数极限 答案 1 e 1 33 1 00 lim 1lim1 33 xx xx xx e 解 高等数学 一 试题 第 4 页 共 10 页 8 当 x0 时 与是等价无穷小 则 a 2 sin 2x 2 ax 知识点 等价无穷小量 答案 2 2 2 22 00 sin 2 22 limlim1 2 xx x x axaxa a 解 9 极限 2 sin lim 1 x xx x 知识点 函数极限 答案 0 2 2 2 1sin sin lim lim 0 1 1 1 xx x xx xx x x 解 10 设函数 f x 则 0 00 0 1ln 2 x x x x f 知识点 函数的导数 答案 1 2 00 22 22 00 ln 1 0 0 0 limlim 00 ln 1 limlim1 xx xx x f xf x f xx xx xx 解 11 设 y x sin x 则 y 知识点 函数的高阶导数 答案 2cossinxxx sincos coscossin2cossin yxxx yxxxxxxx 解 12 曲线的拐点为 32 31yxx 知识点 曲线的拐点 高等数学 一 试题 第 5 页 共 10 页 答案 1 1 2 36 66 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 yxx yx yx xy xy xy 解 令得 当时 当时 当时 曲线的拐点为 13 微分方程 x 的通解是 y y 知识点 可分离变量微分方程 答案 22 yxC 22 22 222 dy yx dx ydyxdx ydyxdx yxC yxC 解 两边同时积分得 则 14 设 y 则 1 t te dt x x y d d 知识点 变限积分函数的导数 答案 x xe x d xe d y x 解 注 2006 年 1 月真题 15 设 z 则全微分 dz x ycos 知识点 全微分 高等数学 一 试题 第 6 页 共 10 页 2 1 cossinydxxydy x 2 2 zz cossin 1 cossin dzdxdy xy yy dxdy xx ydxxydy x 解 三 计算题 一 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 16 设 求 lntan 5 x y y 知识点 函数的导数 答案 lntan 2ln5 5 sin2 x x lntan 2 lntan 2 lntan 5ln5 lntan 1 5ln5sec tan cos1 5ln5 sincos 2ln5 5 sin2 x u x x yx x x x xx x 解 注 教材习题 3 5 第 2 题第 8 小题 17 求极限 0 lim x 1ln 1sine 2 x x x 知识点 函数的极限 答案 1 2 高等数学 一 试题 第 7 页 共 10 页 22 00 00 2 000 2 0 esin1esin1 lim lim ln 1 ecosesin1 lim lim 222 esin1ecosecos lim lim lim 2 ln 1 2 1 x esin1 lim 22 xx xx xx xx xxx xxx x x xx xx xx x xxx x xx x 解 法一 法二 18 求不定积分 d ln x x x 知识点 不定积分 答案 2ln4xxxC ln1 2 ln2ln22ln4 x dxxdxxxdxCxxxC xx 解 注 教材习题 5 4 第 1 题第 7 小题 08 年 1 月考过的真题 19 某公司生产的某种产品的价格为 155 元 件 生产 q 件该种产品的总成本是 C q 9 5q 0 15q2元 假设该种产品能全部售出 问产量为多少时 该公司可获最大利润 知识点 函数的最值应用 答案 500 22 0 500 0 0 155950 1515090 15 1500 3 0500 0 30 500 q L qR qC qqqqqq L qq L qqL q Lq qL qL q 解 解得 是的唯一驻点 为的极大值点 也为的最大值点 20 设 z z x y 是由方程所确定的隐函数 求 sin 1 xyz ezxy x z y z 知识点 隐函数求导 高等数学 一 试题 第 8 页 共 10 页 答案 cos 1 xyz xyz yxyyze xye cos 1 xyz xyz xxyxze xye sin 1 cos cos 1 cos cos 11 cos 1 xyz xyz xyz xyz xyzxyz xyzxyz xyz xyz ezxy F yzeyxy x F xzexxy y F xye z F zyzeyxyyxyyze x F xxyexye z F zxzexxyy F yxye z 解 设F x y z cos 1 xyz xyz xxyxze xye 四 计算题 二 本大题共 3 小题 每小题 7 分 共 21 分 21 设 y arctan ln x 求 1 2 x x 1 1 2 x y 知识点 函数的导数 答案 2 2 1 ln 1 xx x 222 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 1111 1 ln 1 1 1 1 1 1 11 1 ln 1 11 111 ln 1 111 1 ln 1 yxxxxx xx xx x x x x xx xx xx xx xx xx x x xx xxx xx x 解 高等数学 一 试题 第 9 页 共 10 页 22 计算定积分dx 2 2 1 0 2 1 x x 知识点 定积分 答案 3 128 2 22 2 2 6 0 sin 1cos cos 1 sin cossin662 cos 1 000 1 cos2113 sin2 6 222128 0 xtxt dxtdt xt dxtdttdt t x t dttt 解 令则 注 070118 求不定积分 2 22 x dx ax 23 计算二重积分 I 其中 D 是由直线 x 1 y x 及 x 轴所围成的平面区域 D yxxyxdd cos 2 知识点 二重积分 答案 1 cos1 2 11 2 0 000 11 1 2222 0 00 cos d dcossin 111 cos1 sinsincos 222 x x D xxyx yxdxxy d xyxxydx xx dxx dxx 解 五 应用题 本大题 9 分 24 设曲线 xy 1 与直线 y 2 x 3 所围成的平面区域为 D 如图所示 求 1 D 的面积 2 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 高等数学 一 试题 第 10 页 共 10 页 知识点 平面图形的面积和旋转体的体积 答案 25 5ln6 3 3 3 1 2 1 2 2 3 3 2 1 1 2 2 1 22ln5ln6 51125 2 2 10 23 dxxx x dx xx D v 解 1 S