5-2-1数的整数,题库学生版

题库 学生 版 本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于 “定性分析与定量计算之间 ”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。 本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。另 外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性 上，这个对于 学生的代数思维是一个良好的训练也是一个不小的挑战。 一、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被 2或 5整除，这个数就能被 2或 5整除； 一个数的末两位能被 4或 25整除，这个数就能被 4或 25整除； 一个数的末三位能被 8或 125整除，这个数就能被 8或 125整除； 2. 一个 位数数字和能被 3整除，这个数就能被 3整除； 一个数各位数数字和能被 9整除，这个数就能被 9整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被 11 整除，那么这个数能被 11整除 . 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7、 11 或 13 整除，那么这个数能被 7、11 或 13整除 . 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立 .） 二、整除性质 性质 1 如果数 么它们的和或差也能被 如果 c a， c b，那么 c (ab) 性质 2 如果数 么 如果 b a， c b，那么 c a 用同样的方法，我们还可以得出： 性质 3 如果数 么 b和 如果 a，那 么 b a， c a 性质 4 如果数 能被数 数 么 b 与 如果 b a， c a，且 (b， c)=1，那么 a 例如：如果 3 12， 4 12，且 (3， 4)=1，那么 (34) 12 性质 5 如果数 么 果 b a，那么 整数）； 性质 6 如果数 数 么 果 b a ，且 d c ，那么 知识点拨 教学目标 5的整除 题库 学生 版 模块一、 常见数的整除 判定 特征 【例 1】 已知道六位数 20279 是 13 的倍数，求 中的数字是几？ 【 巩巩 固固 】 六位数 20 08被 99 整除， 多少？ 【 巩巩 固固 】 六位数 2008 能被 49 整除， 中的数是多少？ 【例 2】 173是个四位数字。数学老师说： “我在这个 中先后填人 3 个数字，所得到的 3 个四位数，依次可被 9、 11、 6 整除。 ”问：数学老师先后填入的 3 个数字的和是多少？ 【 巩巩 固固 】 某个七位数 1993能够同时被 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 整除，那么它的最后三位数字依次是多少？ 【 巩巩 固固 】 如果六位数 1992能被 105 整除，那么它的最后两位数是多少？ 【例 3】 在六位数 1111 中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被 17 和 19 整除，那么方框中的两位数是多少 ? 【 巩巩 固固 】 已知四十一位数 555999 （其中 5 和 9 各有 20 个）能被 7 整除，那么中间方格内的数字是多少？ 【例 4】 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使 432是 9 的倍数 . 请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； 一共有多少种满足条件的填法？ 【例 5】 (2008“数学解题能力展示 ”初赛 )已知九位数 2007 12 2 既是 9 的倍数，又是 11 的倍数；那么，这个九位数是多少？ 【例 6】 一位后勤人员买了 72 本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这笔帐的总数烧去两个数字 72 本笔记本，共 元 (为被烧掉的数字 )，请把 处数 字补上，并求笔记本的单价 . 例题精讲 题库 学生 版 【例 7】 由 1， 3， 4， 5， 7， 8 这六个数字所组成的六位数中，能被 11 整除的最大的数是多少？ 模块二、 数的整除性质 应用 【例 8】 各位数码是 0、 1 或 2，且能被 225 整除的最小自然数是多少？ 【例 9】 张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组 12 棵，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过 10 棵 共有多少学生？每人种了几棵树？ 【 巩巩 固固 】 某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人种树一样多，共种了 1073 棵，那么平均每人种了 棵树？ 【例 10】 在 865 后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被 3、 4、 5 整除，且使这个数值尽可能的小。 【 巩巩 固固 】 在 523 后面写出三个数字，使所得的六位数被 7、 8、 9 整除那么这三个数字的和是多少 ? 【 巩巩 固固 】 要使 15 6被 36 整除，而且所得的商最小，那么 , 【例 11】 从 0、 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9 这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被 3、 5、 7、 13 整除，这个数最大是多少 ？ 【 巩巩 固固 】 请求出最大的七位数，使得它能被 3、 5、 7、 11、 13 整除，且各位数字互不相同，这个七位数是多少？ 【例 12】 修改 31743 的某一个数字，可以得到 823 的倍数。问修改后的这个数是几？ 【例 13】 某个自然数既能写成 9 个连续自然数的和，还同时可以写成 10 个连续自然数的和，也能写成11 个连续自然数的和，那么这样的自然数最小可以是几？ 题库 学生 版 【 巩巩 固固 】 a 是一个三位数 ， 9a 能被 7 整除， 7a 能被 9 整除，问 a 是多少？ 【 巩巩 固固 】 有些数既能表示成 3 个连续自然数的和，又能表示成 4 个连续自然数的和；还能表示成 5 个连续自然数的和请你找出 700 至 1000 之间，所有满足上述要求的数，并简述理由 . 【例 14】 用数字 6， 7， 8 各两个，组成一个六位数，使它能被 168 整除。这个六位数是多少？ 【 解解 析析 】 因为 168=837，所以组成的六位数可以被 8、 3、 7整除 能够被 8整除的数的特征是末三位组成的数一定是 8的倍数，末两位组成的数一定是 4的倍数，末位为偶数在题中条件下，验证只有 688、 768是 8的倍数，所以末三位只能是 688或 768，而又要求是 7 的倍数，由例 8 知 式的数一定是 7、 11、 13 的倍数，所以 768768 一定是 7的倍数， 688的 不管怎么填都得不到 7的倍数 至于能否被 3整除可以不验证，因为整除 3的数的规律是数字和为 3的倍数，在题中给定的条件下，不管怎么填数字和都是定值。 所以 768768能被 168整除，且验证没有其他满足条件的六位数 【例 15】 将数字 4， 5， 6， 7， 8， 9 各使用一次，组成一个被 667 整除的 6 位数，那么，这个 6 位数除以667 的结果是多少？ 【例 16】 一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为 “ 十全数 ” ，例如， 3785942160 就是一个十全数现已知一个十全数能被 1， 2， 3， ， 18 整除，并且它的前四位数是 4876，那么这个十全数是多少？ 【例 17】 把若干个自然数 1、 2、 3、 连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？ 【 巩巩 固固 】 从 50 到 100 的这 51 个自然数的乘积的末尾有多少个连续的 0？ 【 巩巩 固固 】 9 7 5 9 3 5 9 7 2 W，要使这个连乘积的最后 4 个数字都是 0，那么在方框内最小应填什么数？ 【 巩巩 固固 】 11 个连续两位数的乘积能被 343 整除，且乘积的末 4 位都是 0，那么这 11 个数的平均数是多少？ 【 巩巩 固固 】 把若干个自然数 1、 2、 3、 连乘到一起，如果已知这个乘积的最末 53 位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？ 【例 18】 从左向右编号为 1 至 1991 号的 1991 名同学排成一行从左向右 1 至 11 报数，报数为 11 的同 题库 学生 版 学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右 1 至 11 报数，报数为 11 的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右 1 至 1l 报数，报到 11 的同学留下，其余同学出列那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是 _ 【例 19】 在 1、 2、 3、 42007 这 2007 个数中有多少个自然数 a 能使 2008+a 能被 2007除。 【例 20】 以多位数 142857 为例，说明被 11 整除的另一规律就是看奇数位数字之 和与偶数位数字之和的差能否被 11 整除 . 【 巩巩 固固 】 以多位数 142857314275 为例，说明被 7、 11、 13 整除的规律 . 【例 21】 已知两个三位数 和 能被 37 整除，试说明：六位数 能被 37 整除 【 巩巩 固固 】 如果 被 6 整 除，那么 2 ( )a b c d e 也能被 6 整除 【 巩巩 固固 】 若 4 2 32b c d ，试问 否被 8 整除 ?请说明理由 【例 22】 两个四位数 275A 和 275B 相乘，要使它们的乘积能被 72 整除，求 A 和 B . 【 巩巩 固固 】 若四位数 985 整除，则 a 代表的数字是多少 ？ 【例 23】 为了打开银箱，需要先输入密码，密码由 7 个数字组成，它们不是 1、 2 就是 3在密码中 1 的数目比 2 多， 2 的数目比 3 多，而且密码能被 3 和 16 所整除试问密码是多少？ 【 巩巩 固固 】 为了打开银箱，需要先输入密码，密码由 7 个数字组成，它们不是 2 就是 3在密码中 2 的数目比 3 多，而且密码能被 3 和 4 所整除试求出这个密码 【例 24】 一个 19 位数997 7 7 7 4 4 4 4 4O 1 2 4314 2 43 个个能被 13 整除，求 内的数字 题库 学生 版 【 巩巩 固固 】 应当在如下的问号 “ ？ ” 的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数50 5066 6 ? 55 5 3 1 2 3个 6 个 5可被 7 整除？ 【例 25】 多位数200920092009 2009 736n 44 2 4 4 43个，能被 11 整除， n 最小值为多少？ 【 巩巩 固固 】 200920092009 2009 09n 44 2 4 4 43个能被 11 整除，那么， n 的最小值为多少？ 【例 26】 三 位数的百位、十位和个位的数字分别是 5， a和 b，将它连续重复写 2008次成为：2 0 0 9 55 5 5ab 4 2 4 4 1 整除，那么这个三位数 5多少？ 【例 27】 试说明一个 4 位数，原序数与反序数的和一定是 11 的倍数 (如： 1236 为原序数，那么它对应的反序数为 6321，它们的和 7557 是 11 的倍数 ) 【 巩巩 固固 】 试说明一个两位数，如果将个位数字和十位数字对调后得到一个新的两位数，则新数与原数的差一定能被 9 整除 . 【 巩巩 固固 】 试说明一个 5 位 数，原序数与反序数的差一定是 99 的倍数 (如： 12367 为原序数，那么它对应的反序数为 76321，它们的差 63954 99 646 是 99 的倍数 ) 【 巩巩 固固 】 1 至 9 这 9 个数字，按图所示的次序排成一个圆圈请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数 (例如，在 1 和 7 之间剪开，得到两个数是 193426857 和758624391)如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被 396 整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少 ? 987654321【例 28】 一 个 六 位 数 如 果 满 足 4 a b c d e f fa b c d e，则称 “ 迎 春 数 ” ( 如4 1 0 2 5 6 4 4 1 0 2 5 6，则 102564 就是 “ 迎春数 ” )。 请你求出所有 “ 迎春数 ” 的总和 。 题库 学生 版 【例 29】 一个 4 位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的 4 位数 两个 4 位数的和是以下 5 个数的一个： 9865； 9866； 9867； 9868； 位数的和到底是多少 ? 【 巩巩 固固 】 一个 4 位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的 4 位数 位数的千位数字移到右端构成一个更新的四位数，已知最新的 4 位数与最原先的 4 位数的和是以下 5 个数的一个： 9865； 9867； 9462； 9696； 位数的和到底是多少 ? 模块三、整除与其他知识综合性题目 【例 30】 在小于 5000 的自然数中，能被 11 整除，并且数字和为 13 的数，共有多少个 . 【 巩巩 固固 】 用 1， 9， 8， 8 这四个数字能排成几个被 11 除余 8 的四位数 ? 【例 31】 在 1 至 2008 这 2008 个自然数中，恰好是 3、 5、 7 中两个数的倍数的数共有多少个？ 【例 32】 有 15 位同学，每位同学都有编号，他们是 1 号到 15 号， 1 号同学写了一个自然数，其余各位同学都说这个数能被自己的编号数整除 1 号作了检验：只有编号连续的两位同学说的不对，其余同学都对，问： 说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？ 如果告诉你1 号写的数是五位数，请找出这个数 【 巩巩 固固 】 某住宅区