1-1-1有理数基本概念.题库教师版

1 题库教师版 4 详情见 ，或者旺旺 康是福 内容 基本要求 略高要求 较高要求 有理数 理解有理数的意义 会比较有理数的大小 数轴 能用数轴上的 点表示有理数；知道实数与数轴上的点的对应关系 会借助数轴比较有理数的大小 相反数 会用有理数表示具有相反意义的量，借助数轴理解相反数的意义，会求实数的相反数 掌握相反数的性质 绝对值 借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值 会利用绝对值的知识解决简单的化简问题 板块一 、 正数、负数、有理数 随着同学们视野的拓展，小学学过的自然数、分数和小数已经不能满足认知需要了 入 300 元和支出 200 元，向东 50 米 和向西 30 米，零上 6C 和零下 4C 等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎么表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的，这样就产生了正数和负数 . 正数： 像 3 、 1 、 等的数，叫做正数 0 外都是正数 . 负数： 像 1 、 、 175、 2008 等在正数前加上 “ ”（读作负）号的数，叫做负数 . 0 既不是正数，也不是负数 . 一个数字前面的 “ ”， “ ”号叫做它的符号 . 正数前面的 “ ”可以省略，注意 3 与 3 表示是同一个正数 . 用正、负数表示相反意义的量： 如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然 . 例题精讲 中考要求 有理数基本概念及运算 1 题库教师版 4 譬如：用正数表示向南，那么向北 3以用负数表示为 3. “相反意义的量 ”包括 两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量 . 有理数 :按定 义 整数与分数统称有理数 . () 正 整 数自 然 数整 数 零有 理 数 按 定 义 分 类 负 整 数正 分 数分 数负 分 数( ) ( ) 正 整 数正 有 理 数正 分 数有 理 数 按 符 号 分 类 零 零 既 不 是 正 数 , 也 不 是 负 数负 整 数负 有 理 数负 分 数注： 正数和零统称为非负数； 负数和零统称为非正数； 正整数和零统称为非负整数； 负整数和零统称为非正整数 . 【例 1】 （ 2 级） 如果收入 2000 元，可以记作 2000 元，那么支出 5000 元，记为 . （ 2 级） 高于海平面 300 米的高度 记为海拔 300 米，则海拔高度为 600 米表示 . （ 2 级） 某地区 5 月平均温度为 20C ，记录表上有 5 月份 5 天的记录分别为 ， 0 ， ， 3 ，那么这 5 项记录表示的实际温度分别是 . （ 2 级） 向南走 200 米，表示 . 【解析】 5000 元； 低于海平面 600米的高度； ， 20C ， ， 17C ， ； 向北走 200 米 . 【例 2】 （ 2 级） 珠穆朗玛峰海拔高度为 8848 米，吐鲁番盆地海拔高度为 155 米，则海平面为 【解析】 0 米 【巩固】 （ 2 级） 学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料 外包装上印有 “600 30 (”字样，请问 “ 30” 是什么含义？质检局对该产品抽查 5 瓶，容量分别为 603 611 589 573 627问抽查产品的容量是否合格？ 【解析】 “600 30 (”表示：若每瓶饮料容量记为 a ，则 570 630a 瓶容均是合格的 . 【例 3】 （ 2 级） 下列个数中： 133 0 . 7 0 125 ， ， ， ， ，中负分数有 个；负整数有 个； 自然数有 个 【解析】 2； 1； 2 【例 4】 （ 2 级） 下列数中，哪些属于负数？哪些属于非正数？属于正分数？哪些属于非负有理数？ ， 6 ， 0 ， ， 12， 11 【解析】 属于负数的有： ， 12， 11 ； 属于非正数的有： 0 ， ， 12， 11 ； 属于正分数的有： 1 题库教师版 4 属于非负有理数的有： 6 ， 0 ， 【巩固】 （ 2 级 ） 在下表适当的空格里打上 “”号 整数 分数 正数 负整数 正分数 非负数 非负整数 无理数 0 14 132 98 【解析】 整数 分数 正数 负整数 正分数 非负数 非负整数 无理数 0 14 3 132 98 【例 5】 （ 4 级） (第 16 届希望杯培训试题 )下列说法中正确的个数是 ( ) 当一个数由小变大时，它的绝对值也由小变大； 没有最大的非负数，也没有最小的非负数； 不相等的两个数，它们的绝对值一定也不相等； 只有负数的绝对值等于它的相反数 A 0 B 1 C 2 D 3 【解析】 4 个全错，选择 A； 【例 6】 （ 2 级） 若 a 是负数，则 a 【解析】 因为 0a，则 0a 【巩固】 （四中） （ 2 级） 在下列各数： ( 2) ， 2( 2 ) ， 2 ， 2( 2) ， 2( 2) 中，负数的个数为 个 （三帆） （ 2 级） 10a ； 2 1a； a ； 2( 1)a 一定是负数的是 （填序号） 1 题库教师版 4 （理工） （ 2 级） 下列说法正确的个数是（ ） 互为相反数的两个数一定是一正一负 0 没有倒数 如果 a 是有理数，那么 a 一定是正数， a 一定是负数 一个数的相反数一定比原数小 a 一定不是负数 有最小的正数，没有最小的负数 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 4 个 （人大附） （ 2 级） 下列说法正确的是（ ） A a 表示负有理数 B一个数的绝对值一定不是负数 C两个数的和一定大于每个加数 D绝对值相等的两个有理数相等 （三帆） （ 2 级） 两数相加，其和小于其中一个加数而大于另一个加数，那么（ ） A这两个加数的符号都是正的 B这两个加数的符号都是负的 C这两个加数的符号不能相同 D这两个加数的符号不能确定 【解析】 2 ； ； C； B； C 板块 二、倒数 【例 7】 （ 2 级） （ 2010 朝阳二模） 6 的倒数 是 A 6 B 16C61D61【解析】 D 【例 8】 （ 2 级） （ 2010 东城 二模） 5 的 倒数 是 A B 5 C 15D 15【解析】 C 【例 9】 （ 2 级） （ 2010 房山二模） 4 的 倒数 是 A. 4 B. C. 14D. 14【解析】 C 【例 10】 （ 2 级） (2010 宣武二模 ) 7 的倒数为 17D. 7 【解析】 C 【例 11】 （ 2 级） （ 2010 顺义二模 ） 5 的倒数是 A 5 B 15C 5 D 5 【解析】 B 1 题库教师版 4 【例 12】 （ 2 级） （ 2010 西城二模） 2010 的倒数是 A. 2010 B. 20101C. 20101D. 2010 【解析】 B 【例 13】 （ 2 级） （金牌奥赛训练教程） 一个数的倒数是它本身，则这个数一定是 【解析】 1 或 1 【例 14】 （ 4 级） 有理数 a 等于它的倒数，有理数 b 等于它的相反数，则 2002 2003 【解析】 1 【例 15】 （ 6 级） 若 0 ， c 和 d 互为倒数， m 的绝对值为 2 ，求代数式2ab m c da b c 的值 【解析】 根据题意可得： 214cd m， ，则原式等于 3 【例 16】 （ 6 级） 在一列数1 2 3.a a a， ，中，已知1 12a ，从第二个数起，每个数都等于“ 1 与它前面的那个数的差的倒数” 求234a a a， ，的值 根据以上计算结果，求20 2007值 【解析】 直接根据计算得2 3 421332a a a ， ，因为1412 ，所以这一列数以中所得的三个数为一组循环出现，依次为 1 2 1 2 1 23 3 3 . . 2 3 2 3 ， ， ， ， ， ， ， ，因为 20 被 3 除余 2 ，所以20 23a ，2007 3a 板块 三 数轴 数轴 ： 规定了原点、正方向和单位长度的直线 . 注意： 原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可 . 单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表 “1的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变 . 数轴的画法及常见错误分析 画一条水平的直线； 在这条直线上适当位置取一实心点作为原点： 确定向右的方向为正方向，用箭头表示； 选取 适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致 . 数轴画法的常见错误举例： 错例 原因 2 3 无原点 1 题库教师版 4 1 20 没有正方向 2 3 4 单位长度不统一 0 没有单位长度 有理数与数轴的关系： 一切有理数都可以用数轴上的点表示出来 . 在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大 . 正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数 . 注意：数轴上的点不都代表有理数，如 . 利用数轴比较有理数的大小： 数轴上右边的数总大于左 边的数 数总大于零，负数总小于零，正数大于负数 . 【例 17】 （ 2 级） 在数轴上表示下列各数，再按大小顺序用 “ ”号连接起来 . 4 ， 0 ， ， 112， 2 ， 1 ， 122 （ 2 级） (2006 年乌鲁木齐中考题 ) 如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的 整数为 _. - 1 . 3 2 . 6【解析】 先画出数轴，在数轴上方标注所求数（如图下所示），根据数轴上的大小顺序，按从左到右依次用 “ ”号连接起来 . - 1 12- 4 . 5 10- 1 0 12 122- 2 23 . 5- 3 3- 4- 5 - 4 4即 : 114 . 5 4 1 0 1 2 2 3 . 522 1 ， 0 ， 1 ， 2 . 【例 18】 （ 2 级） 数轴上有一点 A 它表示的有理数是 3 ，将点 A 向左移动 3 个单位得到点 B ，再向右移动 8 个单位，得到点 C ，则点 B 表示的数是 ，点 C 表示的数是 【解析】 62， 【巩固】 （ 2 级） 如 右图所示，数轴上的点 M 和 N 分别对应有理数 m 、 n ，那么以下结论正确的是 ( ) m 0 1 题库教师版 4 A. 0m ， 0n ， B. 0m ， 0n ， C. 0m ， 0n ， D. 0m ， 0n ， 【解析】 利用数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大，判断可得出结论 . 【例 19】 （ 2 级） 数 a b c d， ， ， 所对应的点 A B C D， ， ， 在数轴上的位置如图所示，那么 与 的大小关系为（ ） 0D C A. a c b d B. a c b d C. a c b d 【解析】 A 【巩固】 （ 8 级） 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距 1 个单位，点 A B C D， ， ， 对应的数分别为整数 a b c d， ， ， ，并且 29，那么数轴的原点对应点为（ ） 【解析】 C 【巩固】 （ 2 级） 在数轴上，下面说法中不正确的是 ( ) A两个正数，小的离原点 B两个有理数，大数对应的点在右边 C两个负数，较大的数对应的点离原点近 D两个有理数，大的离原点较远 【解析】 选 D. 【巩固】 （ 2 级） 数轴上有一点到原点的距离是 那么这个点表示的数是 _. 【解析】 . 【巩固】 （ 4 级） 数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的是整数时，我们称它是整数点如果有一条数轴的单位长度是 1 厘米时，有一条 2 米长的线段放在数轴上它可以盖住多少个整数点？ 【解析】 200 【巩固】 （ 6 级） （广西竞赛题）已知数轴上有 两点， 之间的距离为 1 ，点 A 与原点 O 的距离为 3 ，那么点 B 所对应的数为 【解析】 4 或 2 或 2 或 4 【例 20】 （ 4 级） 一辆货车从超市出发，向东走了 3达小彬家，继续向前走了 达小颖家，然后向西走了 达小明家，最后回到超市 1 题库教师版 4 以超市为原点，向东作为正方向，用 1 个单位长度表示 1在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置 小明家距离小彬家多远？ 货车一共行驶了多少千米？ 【解析】 如图所示： 小颖家小彬家超市小明家西 东0- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 54321小明距离小彬家 8货车共行驶了 3 1 1 9 【例 21】 （ 4 级） 初一（ 4）班在一次联欢活动中，把全班分成 5 个队参加活动，游戏结束后， 5 个队的得分如下： A 队： ； B 队： 150 分； C 队： ； D 队： 0 分； E 队： 100 分 将 5 个队按由低分到高分的顺序排序； 把每个队的得分标在数轴上，并将代表该队的字母标上； 从数轴上看 A 队与 B 队相差多少分？ C 队与 E 队呢？ 【解析】 C 队 A 队 D 队 E 队 B 队； 如图所示： 00- 200- 300 A 队与 B 队相差 200 分， C 队与 E 队相差 400 分 【巩固】 （ 6 级） 在数轴上，点 A 和点 B 都在与 154对应的点上，若点 A 以每秒 3 个单位 长度的速度向右运动，点 B 以每秒 2 个单位长度的速度向左运动，则 7 秒之后，点 A 和点 B 所处的位置对应的数是什么？这时线段 长度是多少？ 【解析】 点 A 对应的数是 694，点 B 对应的数是 714，线段 长度是 35 【例 22】 （ 8 级） （ 2005 年重庆市竞赛试题）在数轴上任取一条长度为 119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为 【解析】 2000 【巩固】 （ 6 级） 数轴上表示整数的点称为整点。某数轴的单位长度是 1 厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为 2004 厘米的线段 则线段 住的整点的个数是（ ） A. 2002 或 2003 B. 2003 或 2004 C. 2004 或 2005 D. 2005 或 2006 【解析】 C。若线段 端点与整点重合，则线段 住 2005 个点；若端点不与整点重合，则 住2004 个点。 1 题库教师版 4 【例 23】 （ 6 级） (第 6 届希望杯 )数轴上坐标是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是 1 厘米，若在这 数轴上随意画出一条长为 1995 厘米的线段 则线段 住的整点有 ( )个 A 1994 或 1995 B 1994 或 1996 C 1995 或 1996 D 1995 或 1997 【解析】 答案为 C 【例 24】 （ 6 级） （ “ ”河南省竞赛题）在数轴上， N 点与点 O 的距离为 N 点与 30 所对应点之间的距离的 4 倍，那么 N 点表示的数是多少？ 【解析】 24 与 40 板块 四 、 相反数 相反数： 只有符号不同的两个数互称为相反数特别地， 0 的相反数是 0. 相反数的性质： 代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地， 0 的相反数是 0 相反数必须成对出现，不能单独存在 例如 5 和 5 互为相反数，或者说 5 是 5 的相反数， 5 是 5 的相反数， 而单独的一个数不能说是相反数 另外，定义中的 “只有 ”指除符号以外，两个数完全相同，注意应与 “只要符号不同 ”区分开 例如 3 与 3 互为相反数，而 3 与 2 虽然符号不同，但它们不是相反数 几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等 这两点是关于原点对称的 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上 “”号即可 一般地，数 a 的相反数是 a ；这里以 a 表示任意一个数，可以为正数、 0、负数，也可以是任意一个代数式注意 a 不一定是负数 当 0a 时， 0a；当 0a 时， 0a；当 0a 时， 0a. 互为相反数的两个数的和为零，即若 a 与 b 互为相反数，则 0 ， 反之，若 0 ，则 a 与 b 互为相反数 多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个 “ ”号，都可以全部去掉； 一个正数前面有偶数个 “ ”号，也可以把 “ ”号全部去掉； 一个正数前面有奇数个 “ ”号，则化简后只保留一个 “ ”号，既 “奇负偶正 ”（其中 “奇偶 ”是指正数前面的 “ ”号的个数的奇偶数， “负正 ”是指化简的最后结果的符号） . 【例 25】 （ 2 级） （ 2010 丰台二模） 2010 的相反数是 A 2010 B20101C 2010 D20101 （ 2 级） （ 2010 密云二模） 3 的相反数是 A 3 B 3 C 3 D 13【解析】 C， B 【例 26】 （ 6 级） 第 17 届希望杯 a 和 b 是满足 0 的有理数，现有四个命题： 2 24的相反数是22 4； 1 题库教师版 0 4 的相反数是 a 的相反数与 b 的相反数的差； 相反数是 a 的相反数和 b 的相反 数的乘积； 倒数是 a 的倒数和 b 的倒数的乘积其中真命题有 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【解析】 、 、 正确，选择 C 【巩固】 （ 2 级） m 的相反数是 ， 1m的相反数是 ， m n a b的相反数是 . 【解析】 m ， 1m ， m n a b . 【巩固】 （ 2 级） 若 0 ， 0，且 0 ，则 ( ). q 相等 p 互为相反数 C. m 与 n 相等 q 相等 【解析】 选择 A. 【巩固】 （ 2 级） 若 0 ，且 ，那么 _0a ， _0b . 【解析】 0a ， 0b . 【例 27】 （ 2 级） 如果 0a ，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数 ()a ； ()a ； ()a ； ()a ； a 【解析】 () ，是正数； () ，是负数； () ，是负数；（ 4） () ，是正数； ，是正数 . 【巩固】 （ 2 级） 下列说法错误的是 ( ) A. ( 3) 与 ( 3) 互为相反数 B. ( 3) 与 ( 3) 互为相反数 C. ( 3) 与 ( 3) 互为相反数 D. 3 与 ( 3) 互为相反数 【解析】 选择 C. 【例 28】 （ 4 级） 已知 与 互为相反数，求 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 3 2 0 0 3a b a b 【解析】 因为 与 互为相反数 所以 0a b a b 从而得到 00， 所以原式等于 0 【例 29】 （ 6 级） a 和 b 之和的 2003 次方等于 1 ， a 与 b 的相反数之和的 2003 次方等于 1 ，则 2004 2004 【解析】 由题意得 2 0 0 3 2 0 0 311a b a b ， 所以得 11 所以 01 ， ，所以 20042 0 0 4 2 0 0 4 11 【例 30】 （ 6 级） （湖北黄冈竞赛试题）已知 互为相反数， 互为负倒数， x 的绝对值等于 3 ，求 1 题库教师版 1 4 20033 2 2 0 0 11x m n a b x m n x a b 的值 【解析】 因为 0 1 3m n a b x ， ， 化简得原式等于 28 或者 26 板块 五 、 科学计数法、有效数字 科学记数法： 把一个大于 10 的数表示 成 10的形式（其中 1 10a ， n 是整数），此种记法叫做科学记数法 例如： 52 0 0 0 0 0 2 1 0 就是科学记数法表示数的形式 710200000 1. 02 10也是科学记数法表示数的形式 有效数字： 从一个数的左边第一个非 0 数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字 如： 两个有效数字： 2， 7 ； 5 个有效数字： 1， 2， 0， 2， 7 注意：万 410 ，亿 810 常考点及易错点：科学计数法中的单位转换，精确到什么位与保留有效数字的差别 记忆方法：移动几位小数点问题比如： 1800000要科学记数法，实际就是小数点向左移动到 1 和 8 之间，移动了 6 位，故记为 0 【例 31】 （ 2 级） （ 2008 年广东中考题） 2008 年 5 月 10 日北京奥运会火炬接力传递活动在美丽的海滨城市汕头举行，整个火炬传递路线全长约 40820 米，用科学记数法表示火炬传递路程是（ ） A 0 米 B 0 米 C 0 米 D 0 米 （ 2 级） （ 2008 年北京中考题）截止到 2008 年 5 月 19 日，已有 21600 名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最将 21600 用科学记数法表示应为（ ） A 0 B 0 C 0 D 0 【解析】 C； D 【巩固】 （ 2 级） （ 2007 年北京中考试题）国家游泳中心 “水立方 ”是北京 2008 年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积给 260000 平方米，将 260000 用科学记数法表示应为（ ） A 0 B 426 10 C 0 D 0 【解析】 D 【例 32】 （ 2 级） （ 2010 昌平二模）上海世博会的开幕式中，烟花的燃放是美景之一，而我们是先看到烟花，再听见声音， 其原因是光的传播速度大于声音的传播速度 . 在常温下光的传播速度约为 300 000 000m/s，声音的传播速度约为 340m/s. 将 300 000 000 用科学记数法表示为 （ ） A 0 B 730 10 C 83 10 D 93 10 （ 2 级） （ 2010 朝阳二模）全 球可被人类利用的淡水总量仅占地球上总水量的 因此 珍惜水、保护水， 是 我们每一位公民义不容辞的责任 其中数字 科学记数法表示为 （ ） A 4103 B 5103 C D （ 2 级） （ 2010 东城二模） 2010 年北京市高考人数约 8 万人 ， 其中统考生仅 人，创六年来人数最低 . 请 将 74 000 用科学记数法表示为 （ ） A 0 B 0 C 0 D 0 （ 2 级） （ 2010 丰台二模）某种感冒病毒的直径为 ，将 科学记数法表示为 （ ） A 109 B 10 C 109 D 101 题库教师版 2 4 （ 2 级） （ 2010 门头沟二模） 某种流感病毒的直径是 科学记数法表示 ） A 68 10 B 58 10 C 88 10 D 48 10 （ 2 级） （ 2010 密云二模）据上海世博会旅游推广工作领导小组透露， 2010 年上海世博会参观人数有望突破 7000 万人次， 把 7000 万用科学记数法表示应为 （ ） A 0 B 0 C 0 D 0 （ 2 级） （ 2010 海淀二模） 据统计，到目前为止，北京市的常住人口和外来人口的总和已经超过22 000 000 人 2 000 000 用科学记数法表示为（ ） A. 0 B. 0 C. 0 D. 622 10 （ 2 级） （ 2010 石景山二模） 我国最长的河流长江全长约为 6300 千米将 6300 用科学记数法表示应为（ ） A 263 10 B 0 C 0 D 0 （ 2 级） （ 2010 延庆二模）在商品零售场所塑料购物袋有偿使用管理办法实施以后，某家超市一周内塑料袋的使用量约减少了 57000 个将 57000 用科学记数法表示为 （ ） A 0 B 0 C 357 10 D 0 【解析】 C； B； A； D； C； D； B； B； B 【例 33】 （ 2 级） 指出下列各近似值精确到哪一位： 0 ； ； 3800 【解析】 十分位； 千分位； 万位； 十位； 千分位； 个位 【巩固】 （ 2 级） 指出下列近似数有几个有效数字 ： ； 0 ； 【解析】 3 个； 3 个； 5 个； 3 个； 3 个； 3 个 【例 34】 （ 2 级） 近似数 精确到 位；有 个有效数字，分别是 【解析】 精确到百位；有 3 个有效数字；分别是 3 5 2， ， 【例 35】 （ 2 级） 下列说法正确的是（ ） A 近似数 近似数 精确度相同 B 近似数 0 与近似数 240 中都有三个有效数字 C 近似数 近似数 有效数字的个数相同 D 舍五入精确到个位，所得近似数有一个有效数字 【解析】 C 【例 36】 （ 2 级） （ 2006 年广西课改）今年秋季，广西有一百三十余万名义务教育阶段的贫困学生享受到国家免费教科书政策，预计免费教科书发放总量为 1500 万册，发放总量用科学记数法记为 _册（保留 2 个有效数字） 【解析】 0 ，若要求保留 3 位有效数字，结果应记为 0 【巩固】 （ 2 级） 用四舍五入法，对 保留四位有效数字 ； 保留两位有效数字 【解析】 0 1 题库教师版 3 4 【例 37】 （ 2 级） 按照括号内的要求对下列个数取近似值 精确到千分位）； 0 （保留三个有效数字） 精确到 保留两个有效数字） 【解析】 0 ； 0 【巩固】 （ 2 级） 近似数 ，它精确到 位；有 个有效数字 【解析】 千