2013年高考数学练习题-----文科选考内容

1 2013 年高考数学练习题年高考数学练习题 文科选考内容文科选考内容 1 2012 高考陕西文 15 不等式选做题 若存在实数使成立 则x 1 3xax 实数的取值范围是 a 答案 42 a 解析 不等式可以表示数轴上的点到点和点 1 的距离之和小于等3 1 xaxxa 于 3 因为数轴上的点到点和点 1 的距离之和最小时即是在点和点 1 之间时 此时xaxa 距离和为 要使不等式有解 则 解得 1 a3 1 xax3 1 a 42 a 2 2012 高考陕西文 15 几何证明选做题 如图 在圆 O 中 直径 AB 与弦 CD 垂直 垂足为 E 垂足为 F 若 则 EFDB 6AB 1AE DF DB 答案 5 解析 连接 AD 则 5 1 6 EBAEAB AED DEB BE DE DE AE 又 即 5 DEDFE DEB DB DE DE DF 5 2 DEDBDF 3 2012 高考陕西文 15 坐标系与参数方程 直线与圆相交的2cos1 2cos 弦长为 答案 3 解析 直线与圆的普通方程为 圆心1cos2 cos2 1 1 12 22 yxx和 到直线的距离为 所以弦长为 2 1 2 1 1 3 2 1 12 2 4 2012 高考天津文科 13 如图 已知和是圆的两条弦 过点作圆的切线与ABACB 的延长线相交于 过点作的平行线与圆交于点 与相交于点 ACDCBDEABF3AF 则线段的长为 1FB 3 2 EF CD 2 答案 3 4 解析 如图连结 BC BE 则 1 2 2 A 1A 又 B B CBF ABC AC CF AB CB BC BF AB CB 代 入数值得 BC 2 AC 4 又由平行线等分线段定理得 FB AF CD AC 解得 CD 3 4 5 2012 高考湖南文 11 某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定 需要优选培养温 度 实验范围定为 29 63 精确度要求 1 用分数法进行优选时 能保证找到最佳培 养温度需要最少实验次数为 答案 解析 用分数法计算知要最少实验次数为 7 点评 本题考查优选法中的分数法 考查基本运算能力 6 2012 高考湖南文 10 在极坐标系中 曲线 与曲线 1 C 2cossin 1 2 C 的一个交点在极轴上 则 a a 0 a 答案 2 2 解析 曲线 1 C的直角坐标方程是21xy 曲线 2 C的普通方程是直角坐标方程 222 xya 因为曲线 C1 2cossin 1 与曲线 C2 a 0 a 的一个交 点在极轴上 所以 1 C与x轴交点横坐标与a值相等 由 2 0 2 yx 知a 2 2 点评 本题考查直线的极坐标方程 圆的极坐标方程 直线与圆的位置关系 考查转化 3 的思想 方程的思想 考查运算能力 题型年年有 难度适中 把曲线 1 C与曲线 2 C的极坐 标方程都转化为直角坐标方程 求出与x轴交点 即得 7 2012 高考广东文 14 坐标系与参数方程选做题 在平面直角坐标系中 曲线xOy 和的参数方程分别为 为参数 和 1 C 2 C 5cos 5sin x y 0 2 为参数 则曲线和的交点坐标为 2 1 2 2 2 xt yt t 1 C 2 C 答案 2 1 解析 解得 交点坐标为 22 12 5 0 1Cxyx yCyx 2 1 8 2012 高考广东文 15 几何证明选讲选做题 如图 3 所示 直线与圆相切于点PBO B 是弦上的点 若 则DACPBADBA ADm ACn AB 答案 mn 解析 PBADBAACBBADCABBADCAB 得 2 ABAD ABACADmnABmn ACAB 9 2012 高考新课标文 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 D E 分别为 ABC 边 AB AC 的中点 直线 DE 交 ABC 的外接圆于 F G 两点 若 CF AB 证明 F G D E A BC CD BC BCD GBD 命题意图 本题主要考查线线平行判定 三角形相似的判定等基础知识 是简单题 4 解析 D E 分别为 AB AC 的中点 DE BC CF AB BCFD 是平行四边形 CF BD AD 连结 AF ADCF 是平行四边形 CD AF CF AB BC AF CD BC FG BC GB CF 由 可知 BD CF GB BD DGB EFC DBC BCD GBD 10 2012 高考新课标文 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线 C1的参数方程是 为参数 以坐标原点为极点 x 轴的正半 sin3 cos2 y x 轴为极轴建立极坐标系 曲线 C2的极坐标方程是 2 正方形 ABCD 的顶点都在 C2上 且 A B C D 以逆时针次序排列 点 A 的极坐标为 2 3 求点 A B C D 的直角坐标 设 P 为 C1上任意一点 求 PA 2 PB 2 PC 2 PD 2的取值范围 命题意图 本题考查了参数方程与极坐标 是容易题型 解析 由已知可得 2cos 2sin 33 A 2cos 2sin 3232 B 2cos 2sin 33 C 33 2cos 2sin 3232 D 即 A 1 3 B 3 1 C 1 3 D 3 1 设 2cos 3sin P 令S 2222 PAPBPCPD 则S 22 16cos36sin16 2 3220sin 2 0sin1 S的取值范围是 32 52 11 2012 高考新课标文 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 f x x a x 2 当 a 3 时 求不等式 f x 3 的解集 若 f x x 4 的解集包含 1 2 求 a 的取值范围 命题意图 本题主要考查含绝对值不等式的解法 是简单题 解析 当3a 时 f x 25 2 1 23 25 3 xx x xx 当x 2 时 由 f x 3 得253x 解得x 1 当 2 x 3 时 f x 3 无解 当x 3 时 由 f x 3 得25x 3 解得x 8 f x 3 的解集为 x x 1 或x 8 f x 4 x 4 2 xxxa 当x 1 2 时 4 2 xaxx 42xx 2 22axa 有条件得21a 且22a 即30a 5 故满足条件的a的取值范围为 3 0 12 2012 高考辽宁文 22 本小题满分 10 分 选修 41 几何证明选讲 如图 O和 相交于两点 过A O A B 作两圆的切线分别交两圆于C D两点 连接DB并延长交 O于点E 证明 AC BDAD AB ACAE 命题意图 本题主要考查圆的切线的性质 三角形相似的判断与性质 考查推理论证能 力和数形结合思想 重在考查对平面几何基础知识 基本方法的掌握 难度较小 证明 1 由AC与O 相切于A 得 CABADB 同理 ACBDAB 所以ACBDAB 从而 ACAB ADBD 即 AC BD AD AB 4 分 2 由AD与O 相切于A 得 AEDBAD 又 ADEBDA 得 EADABD 从而 AEAD ABBD 即 AE BD AD AB 综合 1 的结论 AC AE 10 分 13 2012 高考辽宁文 23 本小题满分 10 分 选修 44 坐标系与参数方程 在直角坐标中 圆 圆 xOy 22 1 4Cxy 22 2 2 4Cxy 在以O为极点 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 分别写出圆的极坐标方程 12 C C 并求出圆的交点坐标 用极坐标表示 12 C C 求圆的公共弦的参数方程 12 CC与 命题意图 本题主要考查点的极坐标表示 圆的极坐标方程 参数方程的表示及参数方 程与一般方程的转换 解方程组的知识 难度较小 解析 圆 1 C的极坐标方程为 2 圆 2 C的极坐标方程为 4cos 解 2 4cos 得 2 3 故圆 1 C与圆 2 C交点的坐标为2 2 33 5 分 注 极坐标系下点的表示不唯一 6 2 解法一 由 cos sin x y 得圆 1 C与圆 2 C交点的直角坐标为 1 3 1 3 故圆 1 C与圆 2 C的公共弦的参数方程为 1 3 3 x t y t 或参数方程写成 1 33 x y y y 10 分 解法二 将 1x代入 cos sin x y 得cos 1 从而 1 cos 于是圆 1 C与圆 2 C的公共弦的参数方程为 1 tan33 x y 点评点评 本题要注意圆 22 1 4Cxy 的圆心为 0 0 半径为2 1 r 圆 22 2 2 4Cxy 的圆心为 0 2 半径为2 2 r 从而写出它们的极坐标方程 对于两 圆的公共弦 可以先求出其代数形式 然后化成参数形式 也可以直接根据直线的参数形 式写出 14 2012 高考辽宁文 24 本小题满分 10 分 选修 45 不等式选讲 已知 不等式的解集为 1 f xaxaR 3f x 2x x 1x 求a的值 若恒成立 求k的取值范围 2 2 x f xfk 命题意图 本题主要考查分段函数 不等式的基本性质 绝对值不等式及其运用 考查 分类讨论思想在解题中的灵活运用 解析 由 13ax 得 42ax 又 3f x 的解集为 21xx 所以 当0a 时 不合题意 当 0a时 42 x aa 得 2a 5 分 记 2 2 x h xf xf 则 1 1 1 4 3 1 2 1 1 2 x h xxx x 所以 1h x 因此1k 10 分 点评点评 本题主要考查分段函数 不等式的基本性质 绝对值不等式及其运用 考查分类 讨论思想在解题中的灵活运用 第 问 要真对a的取值情况进行讨论 第 问要真 7 对 2 2 x fxf 的正负进行讨论从而用分段函数表示 进而求出k的取值范围 本题属 于中档题 难度适中 平时复习中 要切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用 15 2012 高考江苏 21A 选修 4 1 几何证明选讲 1010 分 分 如图 是圆的直ABO 径 为圆上位于异侧的两点 连结并延长至点 使 连结 D EABBDCBDDC AC AE DE 求证 EC 答案答案 证明 连接 AD 是圆的直径 直径所对的圆周角是直角 ABO 0 90ADB 垂直的定义 ADBD 又 是线段的中垂线 线段的中垂线定义 BDDC ADBC 线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 ABAC 等腰三角形等边对等角的性质 BC 又 为圆上位于异侧的两点 D EAB 同弧所对圆周角相等 BE 等量代换 EC 考点考点 圆周角定理 线段垂直平分线的判定和性质 等腰三角形的性质 解析解析 要证 就得找一个中间量代换 一方面考虑到是同弧所对圆EC BE 和 周角 相等 另一方面由是圆的直径和可知是线段的中垂线 从ABOBDDC ADBC 而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到 从而得证 本题还可连接 利用三角形中位线来求证 BC ODBC 8 16 2012 高考江苏 21B 选修 4 2 矩阵与变换 1010 分 分 已知矩阵的逆矩阵A 求矩阵的特征值 1 13 44 11 22 AA 答案答案 解 1 A A E 1 1 A A 1 13 44 11 22 A 1 1 2 3 2 1 A A 矩阵的特征多项式为 A 2 2 3 34 2 1 f 令 解得矩阵的特征值 0f A 12 1 4 和 考点考点 矩阵的运算 矩阵的特征值 解析解析 由矩阵的逆矩阵 根据定义可求出矩阵 从而求出矩阵的特征值 AAA 17 2012 高考江苏 21C 选修 4 4 坐标系与参数方程 1010 分 分 在极坐标中 已知圆 经过点 圆心为直线与极轴的交点 求圆的极坐标方C 2 4 P 3 sin 32 C 程 答案答案 解 圆圆心为直线与极轴的交点 C 3 sin 32 在中令 得 3 sin 32 0 1 圆的圆心坐标为 1 0 C 圆经过点 圆的半径为C 2 4 P C 2 2 212 12cos 1 4 PC 圆经过极点 圆的极坐标方程为 CC 2cos 考点