吉林省吉林市2016届高三第四次调研数学试卷（文）含答案

- 1 - 吉林市普通中学 20152016 学年度高中毕业班第 四 次调研测试 数学（ 文 科） 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，共 24 小题，共 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在 考生信息 条形码 粘贴区。 2选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚 。 3请按照题号顺序在各题 目 的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效 。 4作图可先使用铅笔画出，确 定后必须用黑色字迹的签字笔描黑 。 5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第 卷 一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分， 共 60 分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知 全集 RU ， 集合 | | 则 A ()A )( ， B ( ， C ) ， D )( ， 2. 在复平面内，复数 所对应的点在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3. 已知 a 且 a ，则 函数 )( 与函数 的图 象 可能是 A. B. C. D. 4. 若变量 满足约束条件 1 020 则 的最大值为 A 1 B 2 C 3 D 4 5. 过抛物线 2 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A、 B 两点，若 A、 B 两点的横坐标 2 - 之和为，则 A313B314C 5 D3166. 已知函数(,)( ，则 )(f A 2014 B 2015 C 2016 D 2017 7. 已知实数 , x ， 执行如 图所示的程序框图，则输出的 121 的概率为 ABCD8. 把函数 co ss i n)( 的图象向左平 )( 个单位，得到一个偶函 数，则 的最小值为 ABCD9. 下列命题 正确 的个数是 对于两个分类变量 X 与 Y 的随机变量 k 来说， k 越小，判断 “X 与 Y 有 关系 ”的把握程度越大 ； 在相关关系中，若用 拟合时的相关指数为 R ，用 拟合时的 相关指数为 R ，且 R R ,则 y 的拟合效 果好； 利用计算机产生 0 1 之间的均匀随机数 a ，则事件 “ a ”发生的概率为； “ x ”是 “ x”的充分不必要条件 . A 4 B 3 C 2 D. 1 开始结束输入 1n 3?x = 3 x + 1n = n + 1输出 3 - 10. “牟合方盖 ”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几 何体 它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上 ，好似 两个扣合（牟合）在一起方形伞（方盖） 其直观图如下左图，图中四边形是为体现其 直观性所作的辅助线 其实际直观图中 四边形 不存在， 当其正视图和侧视图完全相同 时，它的正视图和俯视图分别可能是 A , B , C , D ,11. 已知 1x ， 0y ，且 ( ， 则 的最小值是 A 8 B 6 CD12. 已知函数 ( ， x )( ，若对任意 ，x ，存在 ，x 使 |)()(| 则实数 a 的取值范围是 A ， B ， C ，- D ， 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 3 题第 21 题为必考题，每个题考生都必须作答 2 题第24 题为选考题，考生根据要求作答 . 二 填空题：本大题共 4 个小题 ， 每小题 5 分。 13. 已知 )( ，a ， ),( b ， )( ，c ，若 )( ，则 14. 2016 年 1 月 1 日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生 育二孩意愿的调查活动。已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中， 30 岁以 下的约 2400 人， 30 岁至 40 岁的约 3600 人， 40 岁以上的约 6000 人。为了了解不同年 a b c d - 4 - 龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取 了一个容量 为 N 的样本进行调查，已知从 30 至 40 岁的女性中抽取的人数为 60 人， 则 N 15. 六棱柱 C D E F 的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，且侧棱长 等于底面边长，则直线 成角的余弦植为 16. 设 内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a、 b、 c， 若 s 且 面积4222 ，则 B= 三 解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分 12 分） 已知 公差不为零的等差 数列 a， a ， a ， （ ） 求数列 （ ）数列 (，设其前 n 项和为证： 18.（本小题满分 12 分） 某 学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行 “一元钱，一片心，诚信用水 ”活动 ,学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱 续 5 天的售出和收益情况，如下表： 售出水量 x （单位：箱） 7 6 6 5 6 收益 y （单位：元） 165 142 148 125 150 （）求 y 关于 x 的线性回归方程； （） 预测 售出 8 箱水 的 收益是多少元？ 附 ： 回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： - 5 - 1221y n x n x$ ， $a y $ ， 参考数据： 442015061255148614261657 19.（本小题满分 12 分） 在 四 棱 锥 P 中， 面 底面 梯 形 ， ， B A C ， E 为 点 . （ ） 求证：平面 平面 （ ） 求点 A 到平面 距离 . 20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 )(: 焦点分别为1 ( 1 0 )F ，, )( ，F ，点 ),( 上 . （）求椭圆 C 的标准方程； （ ） 是否存在 斜率为 2 的直线 l，使得当直线 l 与 椭圆 C 有 两 个不同交 点 M、 N 时 ， 能 在 直线到一点 P， 在椭圆 C 上找到一点 Q，满足 ？ 若存在， 求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由 . 6 - 21.（本小题满分 12 分） 设函数 )( x . （）求曲线 )( )( f， 处的切线方程； （）证明： )( . 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。 - 7 - 22. (本小题满分 10 分 )选修 41:几何证明选讲 已知在 ， 的平分线，以 C 为圆心， 半径的半圆交 延长线于点 E ，交 点 F ，交 点 M ，且 , : 4 : 3B C A E F E F D . （ ）求证 ： F ； （ ）求 的余弦值 . 23. (本小题满分 10 分 )选修 44 坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 2 4 c o s 1 0 ， 直线 l 的参数方程为 : 332132 （ t 为参数），点 A 的极坐标为 (2 3, )6， 设 直线 l 与曲线 C 相 交于 , ( ) 写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的 普通 方程 ； ( ) 求 A P A Q O P O Q 的值 . 24. (本小 题满分 10 分 )选修 45:不等式选讲 已知函数 ( ) 1f x x （ ）解不等式 : ( ) ( 4 ) 8f x f x ； （ ）若 1, 1，且 0a ，求证： ( ) ( )bf a b a 命题、校对：马辉 佟博 李大博 孙长青 D 8 - 吉林市普通中学 20152016 学年度高中毕业班第四次调研测试 数学 (文科 )参考答案及评分标准 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超 过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题：每小题 5 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B C D B A D C A A B 二、填空题：每小题 5 分 13.14. 200 15.16.三、解答题 （ ） 设等差数列 ( 由已知得 即 )()( ，又 a， d ，故 d 从而 a 数列 （ ） 由 （ ） 知 (故 )( )( n， 又 (，因此 SS 2 分 - 9 - （ ） 由所给数据计算得 )(x )(y i 515 2215 4 4 2 0 5 6 1 4 6 4 0201 8 2 5 6 6 25y x $ $ 1 4 6 2 0 6 2 6a y b x $ 所求回归直线方程为 （ ） 将 x 代入回归方程可预测 售出 8 箱水 的 收益 为 元） （ ） 连结 可得 所以 C ,又 E 为 中点， 所以 , 因为 面 面 以 ，又 故 面 而 面 故平面 平面 （ ） 方法一：作 E 于 F ， 由 （ ） 可知， 平面 所以 F 又 C D I ， 故 平面 点 A 到平面 距离 由 2, 3, 1, 90o 可得 2 因此 2A C A D C D ，所以 又 面 所以 E 而 3P A A E 因此 6 所 以 1622A F P E故 A 到平面 距离 为 方法二： 由 2, 3, 1, 90o 可得 2 因此 2A C A D C D ，所以 故23 234A C 又 面 所以 E - 10 - 而 3P A A E 因此 6 又由（ 1）可知， 平面 所以 E 所以 11 2 6 622P C D P E 设点 A 到平面 距离为 d 由 A P C D P A C 得 1133P C D A C DS d S P A 即 116 3 333d 所以 62d 故 A 到平面 距离 为 （ ）方法一：设椭圆 C 的焦距为 2c ，则 1c ， 因为 2(1, )2 上， 所以122 | | | | 2 2a A F A F 因此 2a ， 2 2 2 1b a c 故 椭圆 C 的方程为 2 2 12x y 方法二：设椭圆 C 的焦距为 2c ，则 1c ， 因为 2(1, )2 上， 所以 222 2 211112b c ， 解得211 故 椭圆 C 的方程为 2 2 12x y （ ）设直线 l 的方程为 2y x t，设 11( , )M x y ， 22( , )N x y ，35( , )3 44( , )Q x y 中点为 00( , )D x y ， - 11 - 由 22212y x tx y 消去 x ，得 229 2 8 0y t y t 所以1229且 224 3 6 ( 8 ) 0 故 120 29yy 且 33t 由 Q知 四边形 平行四边形 而 D 为线段 中点 ， 因此 D 为线段 中点 所以 405329y 可得42 159 又 33t 所 以47 13 y 因此 点 Q 不在椭圆上， 故 不存在满足题意 的 直线 l . 21 解： （ ） 因为 (1 ) e (1 0 ) ， 所以 切点坐标为 (1, )e 又 1( ) ( 1 l n ) ( 1 l n )x e x e ， 所以 (1 ) (1 1 0 ) 2f e e ，即切线斜率为 2e ， 因此 切线方程为 2 ( 1)y e e x ，即 20ex y e （ ）要证 )( ，即证 2 2(1 l n ) xx ee e x 由于 0x ， 0 ，所以即证 2 (1 l n ) 2x x e 设 2( ) ( 1 l n ) , ( x 0 )g x e x x ， ( ) 2 , ( 0 )x 则 2( ) ( 2 l n )g x e x ， 当 20 时， ( ) 0 ， ()调递减，； - 12 - 当 2 时， ( ) 0 ， ()调递增 故 2m i n( ) ( ) 1g x g e 即 ( ) 1 ，当 2 时等号成立； 分 又 (1 )()e ， 当 01x时， ( ) 0 ， ()调递增 ； 当 1x 时， ( ) 0 ， () (0,1) 单调递减 故 m a x( ) (1 ) 1h x h 即 ( ) 1 ，当 1x 时等号成立； 所以 ( ) ( )g x h x 在 (0, ) 上恒成立， 即 2 (1 l n ) 2x x e 故 )( . 22（ ）证明： 分 B= B= B， D. 半圆 C 的直径， 0. F . 5 分 （ ）解：连结 半圆 C 的直径， 0. 3， 可设 x,则 x. 由勾股定理，得 x. E=5x,D=3x. 由切割线定理的推论 ， 得 D=E. 3x(3x+3x)=x. . 在 ， 57557 . 10 分 - 13 - 23. 解： ( )曲线 C 的直角坐标方程为 22 4 1 0x y x ，即 22( 2 ) 3 2 分 直线 l 的普通方程为 30 4 分 ( )点 A 的直角坐标为 (3, 3) ，设点 , , ), ( , )66将t 为参数）与 22( 2 ) 3 联立得： 2 2 3 1 0 由韦达定理得：121 1Q 6 分 将直线的极坐标方程 ()6 R与圆的极坐标方程 01c o 联立得： 2 2 3 1 0 ，由韦达定 理得： 121 ，即 1Q8 分 所以，1 2 1 2 1A