上海市浦东新区2016年高三（三模）综合练习数学试卷含答案

浦东新区 2016年 高三综合练习 数学卷 答案及评分参考细则 （文理合卷） 一、填空题（本大题共有 14题，满分 56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分 . 14的准线方程是： _ 1y 2l i 3 n ar ， 3br ，且 夹角为3，则 32ab ( 21)A， 对应的复数为 z ，则 | 1|z = 2 x 方程 s i n 1 01 4 c o 的解为 _ 1,2 1 2k Z 6. 设 2| 2 3 0 , | 1 0 , ,A x x x B x a x B A 则实数 a 的 取 值 集 合 为_ 10, 1,3d 的等差数列 n 项和为533 ，则 53_。 答案： 1798. 某校要从 2 名男生和 4 名女生中选出 4 人， 担任在迪斯尼举行的某项活动的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女都有的概率为 1415 (结果用数值表示 ). 9.（文）已知5 4 2 62 + 5 1 3 0 ，则目标函数 20 10z x y的最大值为 100 . 9.（理）圆心是 ( ,0)半径是 a 的 圆的极坐标方程为_. 作截面111 形 成 的 . 已知 111 21 底面 成的角为 3 ，则这个多面体的体积为26. 11 直 线 1 抛物线 2 至多有一个公共点，则 k 的取值范围 _ 10 , )2 1 ( 1 ) 0 , 2 )()( 2 ) 2 , )x x ，若对于正数 *()nk n N，关于 x 的函数( ) ( ) ng x f x k x的零点个数恰好为 21n 个，则2 2 2 21 3l i m ( )nn k k k k 案 :14 解答过程：当 02x时， 22( 1 ) 1 , ( 0 )x y y 上半圆 当 2x 时，函数 ( ) ( 2 )f x f x表示函数的周期为 2 ，函数的图像如下 ( ) 0 ( 2 ) ng x f x k x ，由于 ()零点个数为 21n 则直线ny k x与第 1n 个圆相切，圆心 (2 1,0)n 到直线ny k x的距离为 1 22( 2 1 ) 1 1 1 1 114 ( 1 ) 4 11n kn n n 有2 2 2 21 2 3 4 ( 1 )n nk k k k n 函数 ( ) 3 5 2 2f x x x ，数列12, , ., , .a a，满足1 ( ) ,f a n N ，若要使12, , ., , .a 1 . 答案： 1 2 , 1 1a （文） 设集合 1, 2 , , 6 , ,P A B L 是 P 的两个非空子集 则 所有满足 A 中的最大数小于 , )个数 为： _129 14.（理） 设整数 3n ，集合 1, 2 , , , ,P n A B L 是 P 的两个非空子集 则 所有满足 A 中的最大数小于 B 中的最小数的集合对 ( , )个数 为： _ 1( 2) 2 1 二、选择题 （ 本大题共有 4 题，满分 20 分 ） 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项 是正确的，选对得 5分，否则一律得零分 . 15.若 a 、 b 为实数，则 0是 22的（ A ） B. 必要不充分条件 D. 既非充分条件也非必要条件 16设 P 为双曲线 1222 0a ）的上一点，3221 12左、右焦点），则12面积等于（ ） C A. 23a B. 233a ，中心角为35的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（ B） B. 2 设 1)的无穷等比数列，若 称 闭等比数列”。给出以下命题： （ 1）1 3, 2，则 “封闭等比数列”； （ 2）1 1 ,22，则 “封闭等比数列”； （ 3）若 封闭等比数列”，则 ,n n n na b a b也都是“封闭等比数列”； （ 4）不存在 2封闭等比数列”； 以上正确的命题的个数是（ B ） B. 1 解答：（ 1） 132，显然 12 3 6 1 8 na a a ，命题（ 1）错误 （ 2） 121 222 ， 222 2 4 *22 2 2 2 , 2n m nm n m na a a m n N 命题（ 2）正确 （ 3）若 12 , 2都为 “封闭等比数列”，则 132 不是 “封闭等比数列”，命题 （ 3）错误 （ 4） 若 2为 “封闭等比数列”，则 2 4为 “封闭等比数列”，命题 （ 4）错误 三、解答题（本大题共有 5题，满分 74分）解答下列各题必须写出必要的步骤 19.(文 )（本题满分 12 分） 如图， 面 四边形 矩形， 1 2点 F 是 中点，点 E 在边 移动 . （ 1）当点 E 为 中点时，证明 ； （ 2）求三棱锥 的体积 . 解（ 1）证明：连结 点 E 、 F 分别是边 中点 （ 4 分） 又 面 面 （ 5 分） 当点 E 是 中点时， （ 6 分） （ 2） 面 且四边形 矩形 . 121 （ 9 分） 3131 A E（ 12 分） 19.（理） （本题满分 12 分） 如图， 面 四边形矩形， 1 2点 F 是 中点，点 E 在边 移动 . （ 1）求三棱锥 的体积； （ 2）证明：无论点 E 在边 何处，都有 . （ 1） 面 且四边形 矩形 . 121 （ 3 分） 3131 A E（ 6 分） （ 2） 面 ，又 1 且点 F 是 中点， （ 8 分） 又 ， ， ， 面 又 面 （ 10 分） 由 面 又 面 无论点 E 在边 何处，都有 成立 .（ 12 分） 注： (建立空间直角坐标系做，参照上面答案相应给分 ) 20、（本题满分 14分） 如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块 一角 辟为游客体验活动区。 已知 0120A ， 长度均大于 200 米。设 AP x ,AQ y ，且 总长度为 200 米。 （ 1）当 ,游客体验活动区 面积最大，并求最大面积； （ 2） 当 ,段小 ，并求最小值。 解：（ 1） 因 为 AP x , AQ y 且 200 2 分所以 021 3 3s i n 1 2 0 ( ) 2 5 0 0 32 4 4 2x y x y 4 分 当且仅当 100 时，等号成立。 所以 当 100 米时，m a x( ) 2 5 0 0 3 平方米 6 分 (2) 因为 2 2 2 0 2 22 c o s 1 2 0P Q x y x y x y x y 8 分 22( 2 0 0 ) ( 2 0 0 )x x x x 2 2 0 0 4 0 0 0 0 2( 1 0 0 ) 3 0 0 0 0x 10 分 所以 当 100x 米，线段m 0 0 3米 ，此时， 100y 米。 12 分 答： （ 1）当 100A P A Q米时， 游客体验活动区 面积最大为 2500 3 平方米； （ 2）当 100A P A Q米时， 线段 小为 100 3 14 分 21. （本题满分 14 分，第 1 小题 6 分 ，第 2 小题 8 分） 已知函数 12)( 2 )(1) 0 1 , 2f x x在 上恒成立，求 a 的取值范围 . (2)当 0a 时，对任意的 1 1,2x ，存在 2 1,2x ，使得 12f x g x恒成立，求 a 的取值范围 . 解：（ 1） 22110122af x a x 在 1,2x 上恒成立， 所以 27a。 6 分 （ 2） 当 0a 时， 2 12af x a x 。 原问题等价于 m in m x g x在区间 1,2 上恒成立。 8 分 A D O x y 当 0a 时，函数 () 1,2 上单调递增，所以 m i n 11 2af x f 。 m i 0 1 ,2 , 1 4 ,2 , 42x a 10 分 故 0 1 4 1 4 141 1 2 1 2 12 2 2 2a a aa a aa a a 或 或 综上 1,4a . 14 分 22（理科） （满分 16 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分） 设椭圆 1E 的 长 半轴长为 1a 、 短 半轴长为 1b ， 椭圆 2E 的 长 半轴长为 2a 、 短 半轴长为 2b ，若2121 ，则 我们称椭圆 1E 与 椭圆 2E 是相似椭圆。 已知椭圆 12: 22 其 左顶点为 A 、右顶点为 B 。 （ 1）设 椭圆 E 与椭圆 12:22 似椭圆” ，求常数 s 的值； （ 2） 设椭圆 :G 222 10 ）， 过 A 作斜率为 1k 的直线 1l 与 椭圆 G 仅有一个公共点 ， 过 椭圆 E 的 上顶点为 D 作斜率为 2k 的直线 2l 与 椭圆 G 仅有一个公共点 ，当 为何值时 | 21 取得最小 值，并求其最小值； （ 3）已知 椭圆 E 与椭圆 12:22 2t ） 是相似椭圆。 椭圆 H 上异于 A 、 ,(00 证： 的垂心 M 在 椭圆 E 上 . （ 1）解：显然 椭圆 E 的方程为 12 22 由 椭圆 E 与 F 相似易得： 当 2s 时 4212 2分 当 20 s 时 1122 4分 所以 4s 或 1 4分 （ 2）解：易得 )1,0(),0,2( 所以 1l 、 2l 的方程分别为 )2(1 12 依题意联立：2212)2(02424)21( 2121221 又 直线 1l 与 椭圆 G 相切则 01 （又 10 ）即 121|1k 6分 依题意再联立：22221224)21(2222 又 直线 2l 与 椭圆 G 相切则 02 （又 10 ）即 121|2k 8分 故21| 21 即 2|2|2121 | 21 时取到等号，此时21所以当21时 | 21 取得最小 值 2 ； 10 分 （ 3）证明：显然 椭圆 E ： 12 22 椭圆 142:22 11 分 由椭圆 H 上的任意一点 ),(00 422020 12 分 设 的垂心 M 的坐标为 ),( MM 由 得0 13 分 又 122 0 0 14 分 将0代入 122 0 0 20 2 由 得0 15 分 又0代入（ 1）得 12 22 MM 的垂心 M 在 椭圆 E 上 。 16 分 22（文科） （满分 16 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分） 设椭圆 1E 的 长 半轴长为 1a 、 短 半轴长为 1b ， 椭圆 2E 的 长 半轴长为 2a 、 短 半轴长为 2b ，若2121 ，则 我们称椭圆 1E 与 椭圆 2E 是相似椭圆。 已知椭圆 12: 22 其 左顶点为 A 、右顶点为 B 。 （ 1）设 椭圆 E 与椭圆 12:22 似椭圆” ，求常数 s 的值； （ 2） 设椭圆 :G 222 10 ）， 过 A 作斜率为 1k 的直线 1l 与 椭圆 G 只有A D O x y 一个公共点 ， 过 椭圆 E 的 上顶点为 D 作斜率为 2k 的直线 2l 与 椭圆 G 只有一个公共点 ，求| 21 值； （ 3）已知 椭圆 E 与椭圆 12:22 2t ） 是相似椭圆。 椭圆 H 上异于 A 、 B 的任意一点 ),(10 椭圆 E 上的点 ),(20 021 求证： 。 （ 1）解：显然 椭圆 E 的方程为 12 22 由 椭圆 E 与 F 相似易得： 当 2s 时 4212 2分 当 20 s 时 1122 4分 所以 4s 或 1 4分 （ 2）证明：易得 )1,0(),0,2( 所以 1l 、 2l 的方程分别为 )2(1 12 依题意联立：2212)2(02424)21( 2121221 又 直线 1l 与 椭圆 G 相切则 01 （又 10 ）即 121|1k 6分 依题意再联立：22221224)21(2222 又 直线 2l 与 椭圆 G 相切则 02 （又 10 ）即 121|2k 8分 故21| 21 10 分 （ 3）解：显然 椭圆 E ： 12 22 椭圆 142:22 11 分 由椭圆 H 上的任意一点 ),(10 422120 12分 椭圆 E 上的点 ),(20 2 2220 021 21 2 13 分 又 )0,2(),0,2( 则20 2 0 1 15 分 又 12222222 202202020102 x yx yx yx yx 16 分 23.（本题满分 16 分，第（ 1）题 4 分，第（ 2）题 6 分，第（ 3）题 8 分） 已知无穷数列 p a a （ *） 其中 ,。 （ 1）若 1 ,22，且3 4120a ，求1 （ 2） 若1 5a ， 0 ，求数列 n 项和 （ 3） （理） 若1 2a ， 1q ，且 数列，求实数 p 的取值范围。 （文）若1 2a ， 1q ，求证：当 13,24p 时，数列 解：（ 1）2 2 224 1 1 4 5 8()2 0 2 2 5a a Q 或 2 分 当2 5=2得1=1 4a 或当2 8=5解 所以，1=1 4a 或 4 分 （ 2） 若 0, 0，1n a 。 1 2 3 45 , , 5 ,55a a a ， 5 分 所以当 n 为奇数时， 1 1 2 5 2 552 5 2 1 0n n q n n q n ； 6 分 当 n 为偶数时， 2552 5 2 1 0n n q n n q 。 7 分 若 0, 0时，1p a ， 8 分 所以 5 ( 1 ) 0 , 1 ;151 10 分 （ 3）（