江苏省南京市2016届高考考前综合训练数学试题(终稿)含答案

1 南京市 2016 届高考 考前 综合 题 一、填空题 1 已知 ， ， 是三个互不重合的平面 ， l 是一条直线 ， 下列命题中正确的个数是 若 ， l ， 则 l 不一定平行 ； 若 ， ， 则 ； 若 l 上有两个点到 的距离相等 ， 则 l ； 若 l 与 ， 所成角相等 ， 则 【 答案 】 1 2 已知正项等比数列 前 n 项和为 6， 60,则 【答案】 90 【提示】由题知 6， 2260， 设等比数列 公比为 q,代入化简得 2q 8 0， q 2 或者 q 4(舍 )， 所以 90 （如果用求和公式则需要讨论 q 1， q 1） 【说明】本题考查了等比数列的项 与 和关系 ， 通项公式 ， 求和公式 ， 考查了基本量的运算 ， 合理选择运算方法 3 已知数列 前 n 项和为 数列 足 2 d(d 为常数 ， 且 d 0， n N*)， 1， 2，且 则 . 【答案】 120. 【提示】由题得 2则 2 2(d 1) 2 (d 1)(d 2) 又 d 0， 得 d 1， 所以数列 数项成等差数列 ， 偶数项成等差数列 ， 于是 ( ( 10 1 10 92 1 10 2 10 92 1 120 【说明】本题考查等差数列的基本量运算 ， 考查了简单的隔项成等差数列的求和问题 . 4 已知函数 f (x) 2 |x| ， 则不等式 (x 2)f (x) 0 的解集是 _ . 【 答案 】 ( 2， 2) (2， ) 【 提示 】 注意到函数 f (x)为偶函数 ， 且 f ( 2) f (2) 0 当 x 0 时 ， f (x) 2x ， 此时 f(x) 2 0 恒成立 ， 于是 f (x)在 0， )上单调递增 ， 根据 f (x)为偶函数可知 ， f (x)在 ( ， 0上单调递减 由 (x 2)f (x) 0 得 x 2 0，f (x) 0， 或者 x 2 0，f (x) 0， 即 x 2 或 2 x 2 【说明】本题考查函数的基本性质 以及简单的分类讨论 该题没有直接指明函数的奇偶性及单调性 ， 需要能根据给定的解析式 发现其性质 ， 助于解决问题 5 已知圆 O： r2(r 0)及圆上的点 A(0， r)， 过点 A 的直线 l 交圆于另一点 B， 交 x 轴于点 C， 若则直线 l 的斜率为 _ 【答案】 3 【提示】 方法一： 设直线 l 的斜率为 k， 则直线 l 方程为 y r， 联立直线与圆方程解得 B( 21， (1) 1 )， 又点 C 坐标为 (0)， 由 得 ( ( 21 (1) 1 2， 解得 k 3 方法二： 设 B=， 在 ， 在 ， r 在 ， BC=由 得 2r 因为 (0，2)， 解得 2 ， 故 6，得 3，所以 k 3 由对称性，得 k 3. 【说明】考查坐标法处理直线与圆的位置关系 6 已知 斜率为 3的直线 l 过椭圆 1(a b 0)的右焦点 F， 交椭圆于 A， B 两点 若 原点 O 关于直线 l 的对称点在椭圆的右准线上 ， 则椭圆的离心率为 _ 【答案】 63 【提示】直线 l 方程为 y 3(x c)， 设 O 关于 l 的对称点为 P(m， n)， 则 1 3(c)， 解得 m 32c，由题意知 32c 由 e63 【说明】考查点关于直线对称问题的处理方法及椭圆离心率的计算 7 如图 ， 边长为 1 的正三角形 ， P 是 线段 的动点 ， Q 是 长线上的动点 ，且 满足 | | 2| |， 则 的最小值为 _ 【答案】 2532 【提示】设 ， 0， 1， 则 2 ， 则 ， 2 因此 22 52 2( 58)2 2532， 因此 小值为 2532 【说明】本 题考查平面向量数量积的最值问题 ， 也可通过坐标法解决 8 如图 ， 凸四边形 ， 2， 6， 4 设四边形 积为 S， 则 S 的最大值为_ 【答案】 8 3 【提示】 S S S 12D12D412即 3； 由余弦定理得 22入化简得 2 3 两式平方相加得 ： ( 4 10 6 C) 16（当 C) 1， 即 A C 时取 “ ”） ， 解得 S 8 3 【说明】本题考查三角形面积公式 ， 余弦定理 ， 两角和差公式及三角函数最值 本题的背景是 “四条边长A B C D A B C P Q 3 当其四点共圆时面积最大 ” 9 已知函数 f (x) 1， x 0， x 1， x 0 若函数 y f(f (x) k 有 3 个不同的零点 ， 则实数 k 的取值范围是 _ 【 答案 】 (1， 2 【 提示 】 f(f (x)2x， x 0，2 0 x 1，2x 1作出函数 f(f (x)的图像可知 ， 当 1 k2时， 函数 y f(f (x) k 有 3 个不同的零点 【说明】本题考查函数 迭代运算、函数的零点以及数形结合思想 一般的函数的零点问题要有意 识的借助于函数的图像解决问题 10 已知 a， b， c 为正数 ， 且 a 2b 5c，3a4b5c， 则a 3 最小值为 _ 【 答案 】 275 【 提示 】 由题意得2 5，3 4 5， 设 x y 则有2x y 5，4x3y 5，即y 5 2x，y 34，45 x52作出平面区域得 ： 设 a 3 t， 即 t 3x y， 当直线 y 3x t 与曲线 y 34相切时 ，t 最小 将直线 y 3x t 与曲线 y 34联立方程组 ， 消去 y 整 理得 15(5t 9)x 4t 0， (5t 9)2 240t 0 得 t 275 或 t 35(舍 )， 于是 t 最小为 275 【说明】一般的含多个变量的不等式组问题要注意先减元再利用解决线性规划问题的方法求解 11 已知 f (x) (x 1) |x| 3x 若对于任意 x R， 总有 f (x) f (x a)恒成立 ， 则常数 a 的最小值是 _ 【 答案 】 3 10 【 提示 】 f (x) 2x， x 0， 4x， x 0， ， 作出函数 f (x)的图 象 得 ： 作平行于 x 轴的直线 l 与 f(x)图 象 有三个交点 ， 设最左边与最右边的交点分别为 M， N， 如图所示 ， 则 ax y O (2,1) (1,3) 4 的最小值即为线段 的最大值 设 直线 l 的方程为 y t， 可得 3 1 t 4 t 3 ( 1 t 4 t)2 3 5 2 (1 t)(4 t) 3 5 1 t 4 t 3 10 所以， a 的最小值是 3 10 【说明】本题的难点是要能结合函数的图 象 发现常数 a 的最小值即为线段 的最大值 二、解答题 12 三角形 ， A 45， 2 （ 1）若 513， 求三角形 面积 S； （ 2）求 的 最大值 【解答】（ 1）因为 513， C (0， )， 所以 1213 由正弦定理得 c 2 2 24 213 又 C) 17 226 ， 所以 S 12408169 （ 2） 22 因为 2以 4 2 因为 2当且仅当 b c 时取等号， 所以 4 22以 4 2 2， 所以 2 2 2，即 的 最大值为 2 2 2 【说明】考查三角形面积公式 ， 正弦定理 ， 平面向量的数量积 ，基本不等式 13 三角形 ， 三内角 A， B， C 所对边长分别为 a， b， c， 45 （ 1）若 c 2a， 求 值 ； （ 2）若 C 45 B， 求 值 【解答】（ 1）由余弦定理知 ： 295即 b 3 55 a， 由正弦定理得 ： 3 55 为 45， B (0， )， 所以 35， 所以 55 （ 2）因为 45， B (0， )， 所以 35， 而 C) B 45) 22 (又 22425， 1 2725， 所以 31 250 【说明】考查正余弦定理 ， 两角和差公式及二倍角公式 另外第（ 1）问还可以利用正弦定理将边的关系 “c 2a”转化为角的关系 “2解决 5 如图 ， 矩形 在的平面与平面 相垂直 . 在 ， O 为 中点 ， 8， 6，5. （ 1） 求证 ： 平面 （ 2）设 中点为 M， 求证 ： 平面 【解答】 （ 1）取 点 E， 连结 因为 O 为 点 ， 所以 4， 3， 由 25 又 从而 由矩形 知 ： 又平面 在的平面与平面 相垂直 ，平面 面 面 所以 平面 而 面 故 FB， 所以 平面 （ 2）连结 1）知 ： 而 故 又 平面 面 所以 平面 同理可证： 平面 而 E=E，所以 平面 平面 又 面 以 平面 【说明】 本题第二问也可以使用线线平行来证明线面平行 . 15 如图 ， 已知四棱锥 P 底面是边长为 2 的菱形 ， 60， 点 E 是 的中点 ， E 交于点 O， 2 3， 且 平面 （ 1）求证 ： （ 2）在线段 找一点 F， 使得 平面 并求此时四面体 体积 . 【解答】 （ 1）由题可得 正三角形 ， E 为 点 ， 故 O 平面 面 则 而 O O， 所以 平面 D平面 故 （ 2） 取 点为 F， 再取 点为 G， 连结 G 为 故 12又 12所以 于是四边形 平行四边形 ， 因此 F /平面 面 以 平面 由（ 1）知 ， 平面 C 而 故 且 E E，所以 平面 体积为 V=13S 13122 3 31 1. 另解（等体积转化）：因为 面 B， F 两点到平面 距离相等，所以四面体 体积等于四面体 为 平面 以 3 S . 【说明】 第一问考查空间中线线垂直的证明方法 ； 第二问属于探究性问题 ， 本问注意与三模立体几何题第二问区别开来 最终证明得到线面平行 6 16 如图 ， 有一位于 A 处的观测站 ， 某时刻发 现其北偏东 45且与 A 相距 20 2海里的 B 处有一货船正以匀速直线行驶 . 20 分钟后又测得该船位于观测站 A 北偏东 45 （其中 15， 0 45） ， 且与观测站 A 相距 5 13海里的 C 处 . （ 1） 求该船的行驶速度 v（海里 /小时） ； （ 2） 在离观测站 A 的正南方 15 海里的 E 处有一半径为 3 海里的警戒区域 ， 并且要求进入警戒区域的船只不得停留在该区域超过 10 分钟 . 如果货船不改变航向和速度继续前行 ， 则该货船是否会进入警戒区域？若进入警戒区域 ， 是否能按规定时间离开该 区域？请说明理由 . 【解答】 （ 1）由题意 ： 20 2， 5 13， ， 因为 15， 0 45， 所以 526 26， 由余弦定理得 ： 2125， 即 5 5. 因为 航行时间为 20 分钟 ， 所以该船的行驶速度为 v 15 5海里 /小时 . （ 2）由（ 1）知 ， 在 ， 310 10， 则 1010 . 设 长线交 点 F， 则 45 B， B. 在 ， 由正弦定理可得 ： 解得 ： 20 海里 作 直 点 G， 在 ， 55 ， 5， 所以 5. 显然 ， 5 3， 故货船会进入警戒区 . 则货船进入警戒区的时间为 2 32 515 5 475 5小时， 而 475 5 16， 所以货船可以在规定时间之内离开警戒区域 . 【说明】 考查正、余弦定理的运用 ， 求解直线与圆的弦长问题 ， 考查学生解决实际问题的能力 本题第二问也可以通过建立平面直角坐标系来解决直线与圆的位置关系问题 . 17 某工厂制造一批无盖圆柱形容器 ， 已知每个容器的容积都是 立方米 ， 底面半径都是 r 米 为 a 元 /平方米 ， 制造侧面的材料费用为 b 元 /平方米 ， 其中 1， 设计时材料的厚度忽略不计 . （ 1）试将制造每个容器的成本 y（单位 ： 元）表示成底面半径 r（单位 ： 米）的函数 ； （ 2）若要求底面半径 r 满足 1 r 3（单位 ： 米） ， 则如何设计容器的尺寸 ， 使其成本最低？ 【解答】 （ 1）设每个容器的高为 h 米 ， 则圆柱的体积为 V ， 即 1. 所以 ， 制造成本 y 2(2（ r 0） . 南北45 x y O A B Q P （ 2） y 2( 令 y 0， 则有 r 3 . 列表得 ： r （ 0， 3 3 （3 ） y 0 y 单调递减 极小值 单调递增 （ i）当 3 3， 即 27， 则函数 y 在 1,3上单调递减 ， 所以当 r 3 时 ， y 取得最小值 ， 此时底面半径应设计成 3 米 . （ 1 3 3， 即 1 27， 则函数 y 在 1, 3 上单调递减 ， 在 3 3上单调递增 ， 所以当 r 3 ， y 取得最小值 ， 此时底面半径应设计成 3 . 综上 ， 当 27 时 ， 应将 底面半径设计成 3 米 ； 当 1 27 时 ， 应将 底面半径设计成 3 . 【说明】 考查圆柱体的体 积及表面积的计算，利用导数解决函数在闭区间上的最值问题，分类讨论思想的运用，考查学生解决实际问题的能力 . 18 已知椭圆 1， 左顶点为 A， 右准线与 x 轴的交点为 B， 点 P 为椭圆右准线上且在第一象限内的点 ， 直线 椭圆于点 Q， 连接 （ 1）当 2 时 ， 求证 ： 直线 椭圆只有一个 公共 点 ； （ 2）过点 P 与直线 直的直线 l 在 y 轴上的截 距为 t， 当 t 最大时， 求直线 方程 【解答】（ 1）由题意知 ， 右准线方程为 x 4 设 P(4， m)， 因为 2 ， 即 Q 为 点 ， 因为 A(2， 0)， 所以点 Q(1， 代入椭圆方程得 14 8 13( 1， 解得 m 3（负值舍去） ， 所以 Q(1， 32) 又 B(4， 0)， 所以 直线 程为 y 12(x 4)， 联立直线与椭圆方程得y 12(x 4)，1，消去 y， 得 2x 1 0， 该方程有两个相等的实根， 所以直线与椭圆只有一个 公共 点 （ 2） 程为 y k(x 2)(k 0)， 则点 P 坐标为 (4， 6k)， 联立直线与椭圆方程y k(x 2)，1，消去 y， 得 (3 4k2)161612 0 设方程两根为 由题意知 2， 因为 16123 4 因此 863 4 代入直线方程得 24即 Q( 863 4124 则 直 线 斜率为 21，则直线 12k ， 所以直线 y 6k 412k (x 4) 令 x 0， 得 y (2k 2k) 22k2k 4（当且仅当 k 1 时取 “ ”号） ， 此时直线 程为 y x 2 【说明】考查直线与椭圆的位置关系及解几中的最值问题 19 已知椭圆 1(a b 0)上顶点 A(0， 2)， 右焦点 F(1， 0)， 椭圆上任一点到点 F 的 距离与到定直线 l： x m 的距离之比为常数 k （ 1）求常数 m， k 的值 ； （ 2）过点 F 的直线交椭圆于点 S， T 两点 ， P 为直线 l 上一动点 若 求证 ： 直线 分线段 设直线 斜率分别为 求证 ： 【解答】（ 1）由题意知 b 2， c 1， 则 a 5， 所以椭圆方程为 1 设 M(x， y)为椭圆上任一点 ，由题意知 (x 1)2 y2|x m| k， 整理得 (x1)2 k2(xm)2 又 44 代入上式整理得 (15k2)x2x O y P F T A l S 9 2()x 50 由题意知上式恒成立 ， 则150，2() 0，50，解得 k 55 ， m 5 （ 2） 当 率不存在时 ， 由 得 P 为直线 l 与 x 轴的交点 ， 此时 线段 直线 分 ； 当 率 为 0 时 ， 不合题意 ； 当 率存在时 ， 设直线 程为 y k(x1)， 联立直线与椭圆方程y k(x1)1， 消去 y， 得 (45k2)050 0 设 S( T( 则 105204 5 0 设线段 点为 ( 则 55 k() 45所以 点为 (55 45 因为 所以直线 程为 y 1k(x1)， 所以点 P 坐标为 (5， 4k)， 则直线 程为 y 45 45即 (直线 ， 即 直线 分线段 综上 ， 直线 分线段 （ 2）当 率不存在时 ， 易得 S(1， 4 55 )， T(1， 4 55 ) 设 P(5， t)， 则 k1t 4 554 ， k2k3t 4 554 ，则 k3t4 554 t 4 554 2即 当 率存在时 ， 设直线 程为 y k(x1)（同第（ 1）问） 设 P(5， t)， 则 ttk()5x1k t4k5 ttk()5k t4k5则 k t4k5k t4k52k(t4k)(10x15 5 2k(t4k)10(255( 由（ 1）知 0504 5代入上式得2k(t4k)10 10555 10504 52k (t4k)(40 400 80 2kt4又 k2所以 2 综上 ： 【说明】考查直线与椭圆的位置关系 ， 解析几何中的恒成立问题及 分类讨论思想 20 已知函数 f (x) 23(k 1)6t， 其中 k， t 为实数 ， 记区间 2， 2为 I （ 1）若函数 f (x)的图像与 x 轴相切于点 (2， 0)， 求 k， t 的值 ； （ 2） 已知 k 1， 如果存在 ( 2， 2)， 使得 f ( f (x)在 I 上的最大值 ， 求 k 的取值范围 ； （ 3）已知 103 k 3， 若对于任意 x I，都 有 f (x) 6(x 2)求 t 的最小值 （ 【解答】 （ 1） f(x) 66(k 1)x 6k 6(x 1)(x k)， 因为 函数 f (x)的图像与 x 轴相切于点 (2， 0)， 于是 f (2) 0， f(2) 0， 即 2 k 0， 16 12(k 1) 12k t 0， 解得 k 2， t 4 10 （ 2）当 k 2 时 ， f (x)在 ( 2， 1)上单调递增 ， 在 (1， 2)上单调递减 ， 于是存在 1， 使得 f ( f (x)在 I 上的最大值 ； 当 k 1 时 ， f(x) 0 恒成立 ， 故 f (x)在 I 上单调递增 ， 故不存在 ( 2， 2)， 使得 f ( f (x)在 I 上的最大值 ； 当 1 k 2 时 ， f (x)在 ( 2， 1)上单调递增 ， 在 (1， k)上单调递减 ， 在 (k， 2)上单调递增 ， 于是若存在 ( 2， 2)， 使得 f ( f (x)在 I 上的最大值 ， 则必有 f (1) f (2)， 即 k 53， 又 1 k 2， 于是 53 k 2； 综上 ， k 53 （ 3） 对于任意 x I，都 有 f (x) 6(x 2) 即对于任意 x I，都 有 23(k 1)6t 6(x 2) t 6(x 2)23(k 1)6 g (x) 6(x 2)23(k 1)6x 2， 2， 则 g(x) 6(x 1)( x k)， 令 h(x) x k， x 2， 2， 则 h(x) 1， 于是 h(x)在 ( 2， 0)上单调递减 ， 在 (0， 2)上单调递增 ， 又 h( 2) 12 k 12 3 11 0， 于是当 x 2， 0时 h(x) 0 恒成立 ， 又 h(1) e 1 k e 1 3 e 4 0， h(2) 2 k 2 103 163 0， 因此 h(x) x k， x 2， 2存在唯一的零点 (1， 2)， 于是 g (x)在 ( 2， 1)上单调递增 ， 在 (1， 单调递减 ， 在 (2)上单调递增 ， 所以 g (x)g (1)， g (2) 又 g (1) g (2) (1 6e 3k) ( 4) 5 6e 3k 5 6e 3( 103 ) 15 6e 0， 于是 g (1) g (2)， 所以 g (x)g (2) 4， 即 t 4， 因此 t 的最小值是 4 【说明】本题主要考查利用导数求函数的最值 ， 分类讨论思想及函数极值点常见的处理方法 其中第三问要能通过给定的 k 的范围比较相关量的大小 21 已知函数 f (x) ax(a R)， g (x) （ 1）求证 ： g (x) （ 2）设 h(x) f (x) x)(b R) 若 b 0， 且当 x 0 时 h(x) 0 恒成立 ， 求 a 的取值范围 ； 若 h(x)在 (0， )上存 在零点 ， 且 a b 2， 求 b 的取值范围 【解答】 （ 1）设 h (x) g (x) h(x) x 22x ， 于是 f (x)在 (0， 2)上单调递减 ， 在 (2， )上单调递增 ， 于是 h (x)h (2) 1 0， 从而 h (x) 0 恒成立 ， 即 g (x) （ 2） h(x) f (x) x) b 因为 b 0， 所以 h(x) h(x) (x a)(2x a)x ， 11 当 a 0 时 ， h(x) 0 恒成立 ； 当 a 0 时 ， h(x)在 (0， 单调递减 ， 在 ( )上单调递增 ， 于是 h(x)h( 0， 即 340， 解得 0 a 2 当 a 0 时 ， h(x)在 (0， a)上单调递减 ， 在 ( a， )上单调递增 ， 于是 h(x)h( a) 0， 即 a) 0， 解得 1 a 0 综上 ， 1 a 2 因为 h(x)在 (0， )上存在零点 ， 所以 b 0 在 (0， )上有解 ， 即 a x (0， )上有解 又 因为 a b 2， 即 a b 2， 所以 x b 2 在 (0， )上有解 由（ 1）可知 x， 因此 b 2 设 F(x) 2则 F(x)(x 1)(x 22)(x ， 因为 所以 x 22 0， 于是 F(x)在 (0， 1)上单调递减 ， 在 (1， )上单调递增 ， 所以 F(x)F(1) 1， 故 b 1 【说明】本题考查导数的应用 ， 第二问中涉及恒成立问题及存在性问题 ， 一般说来首选方法是参变分离 ，遇到不能 分离的应考虑构建新的函数解决问题 注意比较第二问中解决问题的方法选择 22 定义 ： 从数列 取出部分项 ， 并将它们按原来的顺序组成一个数列 ， 称为数列 一个子数列 一个公差不为零的等差数列 ； （ 1）已知 6， 自然数 ， 满足 4 ， 若 2， 且 ， 是等比数列 ， 求 若 4， 求证 ： 数列 ， 不是等比数列 . （ 2） 已知 存在自然数 ， ， 其中 若 ， 是 一个等比子数列 ， 若 m(m 为正整数 )， 求 (答案用 m， t 表示 ). 【解答】 （ 1） 设数列 公差为 d， 因为 2， 6， 所以 2d 4， d 2， (n 2)d 2n 2，设无穷等比数列公比为 q， q 3， 所以 2 33 22， 故 28. 假设数列 ， 是无穷等比数列 .则 所以 9, 272 d 1， d 1， (n 2)d n 2， 所以2 272 ， 232 / N* 这与 所以数列 ， 不是无穷等比数列 . （ 2） 方法 1 因为 (k1)d (m 1)所以 d (m 1) 又 ， 是 一个等比子数列 ， (k1)d， 将 d (m 1) 得 1 (m 1)（ k1） 12 解得 1 m 方法 2 因为 等比数列 ， 所以 (1)(1)d 1(k1)(1)d k1) 则 (k2)d (k1)d因为 d 不为零 ，m， 所以 (k1)m， 同理可得 (k2)m， ， 1 (1 2)m(t 3)， 所以 1(t 2)是等比数列 ， 则 1 ( 2(t 2)， 累加得 ( 1 11 m ， 所以 1 k1(t 2)，易知当 t 1 时，此式也成立，于是 1 m 【说明】本题主要探究了无穷等差数列中能有无穷等比子数列的条件问题 ， 考查了等差数列等比数列的概念及基本量运算 ， 通项公式的求法 ， 反证法等等 推理论证能力和化归思想 . 23 等差数列 差大于零 ， 且 52， 134 ， 记 前 n 项和为 等比数列 项均为正数 ， 公比为 q， 记 前 n 项和为 （ 1）写出 i 1， 2， 3， 4， 5， 6）构成的集合 A. （ 2）若 q 为正整数 ， 问是否存在 正整数 k， 使得 时为（ 1）中集合 A 的元素？若存在 ， 求 出所有符合条件的 通项公式 ， 若不存在 ， 请说明理由 . （ 3）若将 列 构成数列 求 一个通项公式 . 【解答】 （ 1）由 52， 134 ， 设 差为 d， d 大于零 ， 得 1， 32， d 12， 12， 所以 A 12，32， 3， 5，152 ，212 （ 2）因为 等比数列 ， 0， q N* 当 q 1 时 ， 33， 所以 32， 12， 所以 12， 12k， 12k. 当 q 1 时 ， q ， q 因为 q N*， q 1， 所以 q 2， 则 1 1 2 4 7， 所以12，5，或12，152 ，或12，212 ，或32，212 ，当12，5时 ， 1 10， 解得 1 372 / N* 当12，152时 ， 1 15， 解得 1 572 / N* 13 当12，212时 ， 1 21， 解得 4 或 5(舍 ) 由 q 2， k 2， 代入 q ， 得 6，所以 62n 1 由 q 4， k 1， 代入 q ， 得 2，所以 24n 1=4n 2 当32，212时 ， 1 7， 解得 2 或 3(舍 )， 所以 q 2， k 1， 代入 q ， 得 2， 所以 3 2n 2 综 上， 12k(k N*)或 162n 1或 4n 2或 3 2n 2 （ 3）因为 整数项 ， 所以 n 4k 或 4k 1， k N* 当 n 4k 1， k N*时 ， (4k 1)k； 当 n 4k， k N*时 ， k(4k 1)； 因为 列 构成数列 所以 当 n 为奇数时 ， k n 12 ， (4 n 12 1) n 12 23n 12 ； 当 n 为偶数时 ， k (2n 1) 2所以 23n 12 (，2，【说明】本题是数列与方程的综合问题 方程整解问题 推理论证能力 ， 分类讨论思想 . 14 附加题 1 如图 ， 四棱锥 S 底面是平行四边形 ， 2， 2 2， 平面 2， 点 D 上的点 ， 且 （ 0 1） . （ 1）求证 ： 对任意的 0 1， 都有 ； （ 2）若二面角 C D 的大小为 60， 求 的值 【解答】 （ 1）因为 2， 2 2， 所以 故以 D 为原点 ， 在直线为 x 轴 ， 在直线为 y 轴 ， 在直线为 z 轴 ， 建立空间直角坐标系 o 则 D（ 0,0,0） ， A（ 2,0,0） ， B（ 0,2,0） ， C（ 2,2,0） ， S（ 0,0,2） ， E（ 0,0,2） . 所以 （ 2,2, 2） ， （ 2,0, 2） ， （ 4,2, 0） ， （ 0, 2,2） ， 则有 4 4 ( 4 0) 4 0， 即 （ 2） 设平面 一 个法向量为 n （ x,y,z） ， 所以 n 0， 即 2x 2z 0. 同理 n 0， 即 4x 2y 0 取 z 1， 则 x ， y 2， 所以平面 一个法向量为 n （ ,2,1） 显然平面 一个法向量为 m （ 0,1,0） ， 由 二面角 C D 的大小为 60知 n, m | 12， 解 得 1111 【说明】 考查空间向量