天津市河北区2016年高三总复习质量数学理科试卷(三)含答案

高三数学理 科（三 ） 第 1 页 共 8 页 1, 0 , 1 5i T P 1 开始 输出 P 否 结束 是 1 i 天津市 河北区 2015 2016 学年度高三年级总复习质量检测（ 三 ） 数 学 （ 理工 类） 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120分钟第 卷 1 至 2 页，第 卷 3 至 8 页 第 卷（选择题 共 40 分） 注意事项： 1 答第 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。 2 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。 3 本卷共 8 小 题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式： 如果事件 A， B 互斥，那么 P（ A B） P（ A） P（ B） 如果事件 A， B 相互独立，那么 P（ P（ A） P（ B） 球的表面积公式 S 24R 球的体积公式 V 343 R其中 R 表示球的半径 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . （ 1） 设集合 ( 1 ) ( 2 ) 0 A x x x ，集合 0B x x，则 （ A） ( 0)， （ B） 20)， （ C） ( 1， （ D） 1 )， （ 2） 若实数 满足条件 01001 ， ， ，则 3的最小值为 （ A） 5 （ B） 3 （ C） 1 （ D） 4 （ 3）运行如图所示的程序框图，若输出的结果为 163， 则判断框中应填入的条件是 （ A） 4?i （ B） 4?i （ C） 5?i （ D） 5?i 高三数学理 科（三 ） 第 2 页 共 8 页 （ 4） 某空间 几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为 （ A） 24 （ B） 40 （ C） 36 （ D） 48 （ 5）下列结论错误的是 （ A）若 “”为假命题，则 均为假命题 （ B） “”是 “ 22ac ”的充分不必要条件 （ C）命题： “ 2 0x x x R ， ”的否定是 “ 2 0x x x R ， ” （ D） 命题： “若 2 3 2 0 ，则 2x ”的逆否命题为 “若 2x ，则 2 3 2 0 ” （ 6）设曲线 2及直线 1y 所围成的封闭图形为区域 D ，不等式组 1101 ， 所确定的区域为 E ，在区域 E 内随机取一点，则该点落在区域 D 内的概率为 （ A） 13（ B） 25（ C） 35（ D） 23 （ 7）双曲线 222 2 1 ( 0 0 )yx b ，的右焦点 F 是抛物线 2 8的焦点，两曲线的一个 公共点为 P ，且 5，则该双曲线的离心率为 （ A） 233（ B） 52（ C） 5 （ D） 2 （ 8）已知函数 10()l n 0k x ， ，则下列关于函数 ( ) 1y f f x的零点个数的判断 正确的是 （ A）当 0k 时，有 3 个零点，当 0k 时，有 2 个零点 （ B）当 0k 时，有 4 个零点，当 0k 时，有 1 个零点 （ C）无论 k 为何值，均有 2 个零点 （ D）无论 k 为何值，均有 4 个零点 高三数学理 科（三 ） 第 3 页 共 8 页 河北区 2015 2016 学年度高三年级总复习质量检测（ 三 ） 数 学 （ 理工 类） 第 卷 注意事项： 1 答卷前将密封线内的项目填写清楚。 2 用钢笔或圆珠笔答在 答题纸 上。 3 本卷共 12 小题，共 110 分。 题 号 二 三 总 分 （ 15） （ 16） （ 17） （ 18） （ 19） （ 20） 分 数 得 分 评卷人 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 （ 9）已知 i 为虚数单位 ， 复数 2 4_ （ 10）如图， 已知 圆 1O 和 圆 2O 交于 点 C 和 D ，圆 1O 上的点 P 处的切线交 圆 2O 于 两点，交直线 ， M 是 圆 2O 上的一点 ， 若 2， 1， =30， 则圆 2O 的 半径 为 _ （ 11）在锐角 中，角 A B C， ， 所对的边分别为 a b c， ， ，若 22， 22，则 b 的值为 _ （ 12） 已知曲线 1C 的极坐标方程为 2 ，曲线 2C 的极坐标方程为 ()3R， 曲线12交于点 ，则弦 长为 _ 高三数学理 科（三 ） 第 4 页 共 8 页 （ 13）已知 是边长为 23的等边三角形， 的外接圆 O 的一条直径， M 为 的边上的动点，则 M最大值为 _ （ 14）设函数 ()上的两个函数，若对任意的 x a b ， ， 都有 ( ) ( ) 1f x g ，则称 ()上是 “密切函数 ”，区间 称 为 “密切区间 ”若 ( ) = x x 与 1( ) = 1 ee，上是 “密切函数 ”，则实数 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 得 分 评卷人 （ 15）（本小题满分 13 分） 已知函数 ( ) = 1 2 s i n ( + ) s i n ( + ) c o s ( + ) 8 8 8f x x x xR （ ）求函数 ()小正周期； （ ）求函数 ()8区间 02- ，上 的 最大值和最小值 请将答案写在答题纸上 得分 评卷人 （ 16）（本小题满分 13 分） 集成 电路 E 由 3 个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能 正常工作的概率分别降为 1 1 2223， ，且每个电子元件能否正常工作相互独立若三 个电子元件中至少有 2 个正常工作，则 E 能正常工作，否则就需要维修，且维修 集成电路 E 所需费用为 100元 （ ）求集成电路 E 需要维修的概率； （ ）若某电子设备共由 2 个集成电路 E 组成，设 X 为该电子设备需要维修 集成电路所需的费用，求 随机变量 X 的分布列和期望 () 请将答案写在答题纸上 高三数学理 科（三 ） 第 5 页 共 8 页 得分 评卷人 （ 17）（本小 题满分 13 分） 如图，在 直三 棱 柱1 1 1 B 1A A = A B = A C =， 分别 是1C，的 中 点，11B， D 是11 点 （ ） 求证： E ； （ ） 是否存在一点 D ，使得 平面 平面 成的锐 二面角的余弦值为1414 ？若存在，说明点 D 的位置；若不存在，请说明理由 请将答案写在答题纸上 高三数学理 科（三 ） 第 6 页 共 8 页 F 2F 1 评卷人 （ 18）（本小题满分 13 分） 已知圆2219: ( )24E x y 经过椭圆 22: 1 ( 0 )a 的左、右焦点 12，且与椭圆 C 在第一象限的交点为 A ，且1F E A， ，三点共线，直线 l 交椭圆 C 于 两点，且 ( 0)M N = O A （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）当 的面积取到最大值时，求直线 l 的方程 请将答案写在答题纸上 高三数学理 科（三 ） 第 7 页 共 8 页 得 分 评卷人 （ 19）（本小题满分 14 分） 已知数列 公比为正整数的等比数列，若2 2a 且1 3 412a a a， ，成等差 数列 （ ）求数列 通项公式； （ ）定义：12 P L 为 n 个正数 1 2 3 P ， ， ， （ *nN ）的 “均倒数 ”， （ ）若数列 前 n 项的 “均倒数 ”为*1 ()21 N，求数列 通项 公式； （ ）试比较1212b b L 与 2 的大小，并说明理由 请将答案写在答题纸上 高三数学理 科（三 ） 第 8 页 共 8 页 得 分 评卷人 （ 20）（本小题 满分 14 分） 已知函数 1( ) ( ) l nf x a x ，其中 aR （ ）若 1a ，求曲线 )(在点 (1 (1)f， 处的切线方程； （ ）若函数 () a 的取值范围； （ ）设函数 e()若在 1 e， 上至少存在一点 0x ，使得00( ) ( )f x g x成立， 求实数 a 的取值范围 请将答案写在答题纸上 高三数学理 科（三 ） 第 9 页 共 8 页 河北区 2015 2016 学年度高三年级总复习质量检测（三） 数 学 答 案 （理） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D B B D D B 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 （ 9） 3+i ； （ 10） 3 ； （ 11） 3 ； （ 12） 3 ； （ 13） 3 ； （ 14） e 2 2 ， 三、 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 （ 15） （本小题满分 13 分） 解 ：（ ） 2 ( ) 1 2 s i n ( ) 2 s i n ( ) c o s ( )8 8 8f x x x x c o s ( 2 ) s i n ( 2 ) 2 c o s 244x x x ， () 6 分 （ ） 由 （ ） 知， ( ) 2 c o s ( 2 )84f x x ， 令 ( ) 2 c o s ( 2 )4g x x， () 28，上为增函数，在 08 ，上为减函数， 且 3 ( ) 2 c o s ( ) 124g ， ( ) 28g ， ( 0 ) 2 c o s 14g ， () 02 ，上的最大值为 2 ，最小值为 1 ， 即 ()8区间 02 ，上的最大值为 2 ，最小值为 1 13 分 （ 16） （本小题满分 13 分） 解： （ ）三个电子元件能正常工作分别记为 事件 A B C， ， ， 则 1 1 2( ) ( ) ( )2 2 3P A P B P C ， ， 依题意，集成电路 E 需要维修有两种情形： 高三数学理 科（三 ） 第 10 页 共 8 页 3 个元件都不能正常工作，概率为 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 2P P A B C P A P B P C ； 3 个元件中的 2 个不能正常工作，概率为 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 3P P A B C A B C A B C P A B C P A B C P A B C 集成电路 E 需要维修的概率为12512 6 分 （ ）随机变量 X 的所有 可能 取值为 0 100 200， ， 27 4 9( 0 ) ( )1 2 1 4 4 ， 12 5 7 3 5( 1 0 0 ) ( ) ( )1 2 1 2 7 2P X C ， 25 2 5( 2 0 0 ) ( )1 2 1 4 4 ， X 的分布列为 X 0 100 200 P 491443572251444 9 3 5 2 5 2 5 0( ) 0 1 0 0 2 0 01 4 4 7 2 1 4 4 3 13 分 （ 17） （本小题满分 13 分） 证明： （ ） 11B，11B， B 又1面 1B 又1A AI， 平面11 C 以 A 为坐标原点，建立如图所示的 空间直角坐标系， 则 1 1 1( 0 0 0 ) ( 0 1 ) ( 0 )2 2 2A E F， ， ， ， ， ， ， ， 设 ( 0 1)D ， ， (0 1) ， 则 11( 1)22D F = ， ， -， 1(0 1 )2 ， 高三数学理 科（三 ） 第 11 页 共 8 页 11= = 022D F A E ， E 6 分 （ ）假设 D 点 存在，设平面 法向量为 ()x y z ， ，n ， 则 111()222 ， ， ， 11( 1)22D F = ， ， -， 1 1 1 02 2 211( )022x y zx y z ， 3( 1) 02 取 3x ， 则 ( 3 1 2 2 (1 ) ， + ， 又平面 法向量为 (0 0 1) ， ，m ， 平面 平面 成的锐 二面角的余弦值为 1414， 222 (1 ) 14c o 1 2 )1 ) ， + （4 解得 1=2或 7=4（舍） 当 D 为11 时，满足条件 13 分 （ 18） （ 本小题满分 13 分） 解 ：（ ）如图，圆 E 经过椭圆 C 的左、右焦点12 2219(0 )24c ，解得 2c 1F E A， ，三点共线， 1 E 的直径 2 1 2F 2 2 22 1 1 2 9 8 1A F A F F F ， 12 3 1 42 A F A 高三数学理 科（三 ） 第 12 页 共 8 页 2a 由 2 2 2+a b c ， 得 2b 椭圆 C 的方程为 22142 5 分 （ ）由（ ）得，点 A 的坐标为 ( 21)， ， ( 0)A 直线 l 的斜率为 22，设直线 l 的方程为 22y x m. 联立2222142y x ， 得 222 2 0x m x m 设1 1 2 2( ) ( )M x y N x y， ， ， 由 22( 2 ) 4 ( 2 ) 0 ，得 22m 1221222x x mx x m ，2 222 2 211 1 ( ) 4 2 32M N k x x x x x x m = . 又 点 A 到 直线 l 的距离为 63 222221 1 6232 2 32 2 ( 4 )( 4 ) 22 2 2A M N d m ，当且仅当 224 m = m ，即 2m = 时，等号成立 直线 l 的方程为 2 22或 2 22 1 3 分 （ 19）（本小题满分 14 分） 解： （ ）设 数列 公比为q， 由题意知，2122(2 + ) = + 22 即2(2 1)( 2) = 0 =2 高三数学理 科（三 ） 第 13 页 共 8 页 12 5 分 （ ）（ ）由题意有12121b b L， 12 ( 2 1 )b b n L 11 2 1 ( 1 ) ( 2 1 ) ( 2 )b b n n L 由 - 得， 1( 1 ) 2 1 ( 2)n，又1 1b， . 1*( 1 ) 2 1 ( )n n N （ ）当 1n 时，11 12b ； 当 2n 时，1 1 1 1( 1 ) 1 ( 1 ) 1( 1 ) 2 1 ( 1 ) 2 1 ( 1 ) 2 2n n n n n nb n n n 0 1 1121 2 1 22 2 1 3 2 1 ( 1 ) 2 1b b n 11 1 12 2 2n 21 212 1212 2b b L *()nN 14 分 （ 20）（本小题满分 14 分） 解： （ ）当 1a 时， 1( ) x x ，211( ) 1 +f x = -， (1) 1 1 0f ， (1 ) 1 + 1 1 1f= - ， 曲线 )(在点 (1 (1