广东省汕头市龙湖区2016届中考数学一模试卷含答案解析

第 1 页（共 24 页） 2016 年广东省汕头市龙湖区中考数学一模试卷 一、选择题 1 3 的倒数为（ ） A B C 3 D 3 2下列计算正确的是（ ） A 3a+2a=6a B a2+a3= a6a2=（ 3=某市在一次扶贫助残活动中，共捐款 5280000 元，将 5280000 用科学记数法表示为（ ） A 06 B 07 C 06 D 07 4下列图形既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A B C D 5如图是由四个小正方体叠成的一个几何体，它的左视图是（ ） A B C D 6某校男子足球队的年龄分布情况如下表： 年龄（岁） 13 14 15 16 17 18 人数 2 6 8 3 2 1 则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ） A 15， 15 B 15， 14 C 16， 15 D 14， 15 7一个多边形的每个内角都等于 120，则这个多边形的边数为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 第 2 页（共 24 页） 8一个不透明的盒子中装有 6 个大小相同的乒乓球，其中 4 个是黄球， 2 个是白球从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是（ ） A B C D 9不等式组 的解集是（ ） A x 1 B x 2 C 1x2 D 1 x 2 10如图，钓鱼竿 6m，露在水面上的鱼线 m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿 动到 位置，此时露在水面上的鱼线 BC为 m，则鱼竿转过的角度是（ ） A 60 B 45 C 15 D 90 二、填空题 11分解因式： 22= 12如图， A=46， C=27，则 大小应为 13分式方程 的解是 14一个三角形的两边长分别是 2 和 3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为 15如图， O 的切线，切点为 A， 延长线交 O 于点 B若 3，则 P= 第 3 页（共 24 页） 16为了求 1+3+32+33+3100 的值，可令 M=1+3+32+33+3100，则 3M=3+32+33+34+3101，因此，3M M=3101 1，所以 M= ，即 1+3+32+33+3100= ，仿照以上推理计算：1+5+52+53+52015的值是 三、解答题 17计算： + 4| | 18如图，某农场有一块长 40m，宽 32m 的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为 1140小路的宽 19如图，已知线段 （ 1）用尺规作图的方法作出线段 垂直平分线 l（保留作图痕迹，不要求写出作法）； （ 2）在（ 1）中所作的直线 l 上任意取两点 M， N（线段 上方）连结 证： 四、解答题 20先化简，再求值：（ ） ，其中 a=1 ， b=1+ 21如图，已知四边形 平行四边形， 足分别是为 E， F，并且 F求证：四边形 菱形 22某班抽查 25 名学生数学测验成绩（单位：分），频数分布直方图如图： （ 1）成绩 x 在什么范围的人数最多？是多少人？ （ 2）若用半径为 2 的扇形图来描述，成绩在 60x 70 的人数对应的扇形面积是多少？ 第 4 页（共 24 页） （ 3）从相成绩在 50x 60 和 90x 100 的学生中任选 2 人小李成绩是 96 分，用树状图或列表法列出所有可能结果，求小李被选中的概率 五、解答题 23如图，已知抛物线 y=bx+c（ a0）的对称轴为直线 x= 1，且抛物线经过 A（ 1， 0）， C（ 0，3）两点，与 x 轴交于点 B （ 1）若直线 y=mx+n 经过 B、 C 两点，求直线 抛物线的解析式； （ 2）在抛物线的对称轴 x= 1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求出点 M 的坐标 24如图，在 ，以 C 于点 D，过点 D 作 点 E，且 A （ 1）判断 O 的位置关系并说明理由； （ 2）若 6， ，求 O 的半径 第 5 页（共 24 页） 25如图，在平面直角坐标系中， 顶点 A 在 x 轴负半轴上，顶点 C 在 x 轴正半轴上，顶点B 在第一象限，过点 B 作 y 轴于点 D，线段 长是一元二次方程 12x+36=0 的两根， ， 5 （ 1）求点 A， C 的坐标； （ 2）反比例函数 y= 的图象经过点 B，求 k 的值； （ 3）在 y 轴上是否存在点 P，使以 P， B， D 为顶点的三角形与以 P， O， A 为顶点的三角形相似？若存在，请写出满足条件的点 P 的个数，并直接写出其中两个点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 第 6 页（共 24 页） 2016年广东省汕头市龙湖区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1 3 的倒数为（ ） A B C 3 D 3 【考点】 倒数 【专题】 存在型 【分析】 根据倒数的定义进行解答即可 【解答】 解： （ 3） （ ） =1， 3 的倒数是 故选 A 【点评】 本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于 1，那么这两个数互为倒数 2下列计算正确的是（ ） A 3a+2a=6a B a2+a3= a6a2=（ 3=考点】 同底 数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方 【分析】 根据幂的乘方、同底数幂的乘法、同类项和同底数幂的除法计算即可 【解答】 解： A、 3a+2a=5a，错误； B、 误； C、 a6a2=确； D、（ 3=误； 故选 C 【点评】 此题考查幂的乘方、同底数幂的乘法、同类项和同底数幂的除法，关键是根据法则进行计算 3某市在一次扶贫助残活动中，共捐款 5280000 元，将 5280000 用科学记数法表示为（ ） 第 7 页（共 24 页） A 06 B 07 C 06 D 07 【考点】 科学记数法 表示较大的数 【分析】 科学记数法的表示形式为 a10中 1|a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于 10时， n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时， n 是负数 【解答】 解： 5280000=06， 故选 A 【点评】 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10中 1|a| 10，n 为整数表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4下列图形既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A B C D 【考点】 中心对称图形；轴对称图形 【分析】 根据中心对称图形的定义旋转 180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出 【解答】 解： A、 此图形旋转 180后不能与原图形重 合， 此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误 B、 此图形旋转 180后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； C、此图形旋转 180后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； D、 此图形旋转 180后能与原图形重合， 此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确 故选： D 【点评】 此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键 5如图是由四个小正方体叠成的一个几何体，它的左视图 是（ ） 第 8 页（共 24 页） A B C D 【考点】 简单组合体的三视图 【专题】 计算题 【分析】 从左边看几何体得到左视图即可 【解答】 解：如图是由四个小正方体叠成的一个几何体，它的左视图是 故选： A 【点评】 此题考查了简单组合体的三视图，左视图即为从左边看得到的试图 6某校男子足球队的年龄分布情况如下表： 年龄（岁） 13 14 15 16 17 18 人数 2 6 8 3 2 1 则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ） A 15， 15 B 15， 14 C 16， 15 D 14， 15 【考点】 众数；中位数 【分析】 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众 数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个 【解答】 解：根据图表数据，同一年龄人数最多的是 15 岁，共 8 人，所以众数是 15； 22 名队员中，按照年龄从小到大排列，第 11 名队员与第 12 名队员的年龄都是 15 岁，所以，中位数是（ 15+15） 2=15 故选 A 第 9 页（共 24 页） 【点评】 本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，众数是出现次数最多的数据，一组数据的众数可能有不止一个，找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位 数的平均数，中位数不一定是这组数据中的数 7一个多边形的每个内角都等于 120，则这个多边形的边数为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考点】 多边形内角与外角 【分析】 先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等于 360，再用 360除以外角的度数，即可得到边数 【解答】 解： 多边形的每一个内角都等于 120， 多边形的每一个外角都等于 180 120=60， 边数 n=360 60=6 故选： C 【点评】 此题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一 个外角的度数是解答本题的关键 8一个不透明的盒子中装有 6 个大小相同的乒乓球，其中 4 个是黄球， 2 个是白球从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是（ ） A B C D 【考点】 概率公式 【分析】 利用黄球的个数除以球的总个数即可得到答案 【解答】 解： 盒子中装有 6 个 大小相同的乒乓球，其中 4 个是黄球， 摸到黄球的概率是 = 故选 B 【点评】 此题主要考查了概率公式的应用，关键是掌握概率公式：所求情况数与总情况数之比 9不等式组 的解集是（ ） A x 1 B x 2 C 1x2 D 1 x 2 第 10 页（共 24 页） 【考点】 解一元一次不等式组 【分析】 先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出即可 【解答】 解： 解不等式 得： x 2， 解不等式 得： x 1， 不等式组的解集为 1 x 2， 故选 D 【点评】 本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集，难度适中 10如图，钓鱼竿 6m，露在水面上的鱼线 m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿 动到 位置，此时露在水面上的鱼线 BC为 m，则鱼竿转过的角度是（ ） A 60 B 45 C 15 D 90 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 因为三角形 三角形 均为直角三角形，且 BC都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，分别求出 C然后可以求出 C求出了鱼竿转过的角度 【解答】 解： = = ， 5 = = ， C60 60 45=15， 鱼竿转过的角度是 15 第 11 页（共 24 页） 故选： C 【点评】 此题中 BC都是我们所要求角的对边，而 斜边，所以本题利用了正弦的定义解本题的关键是把实际问题转化为数学问 题 二、填空题 11分解因式： 22= 2（ m+1）（ m 1） 【考点】 提公因式法与公式法的综合运用 【专题】 压轴题 【分析】 先提取公因式 2，再对剩余的多项式利用平方差公式继续分解因式 【解答】 解： 22， =2（ 1）， =2（ m+1）（ m 1） 故答案为： 2（ m+1）（ m 1） 【点评】 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解 12如图， A=46， C=27，则 大小应为 73 【考点】 平行线的性质 【分析】 由平行线的性质得出 C=27，再由三角形的外角性质得出 A+ 3即可 【解答】 解： C=27， A+ 6+27=73； 故答案为： 73 【点评】 本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键 第 12 页（共 24 页） 13分式方程 的解 是 x=9 【考点】 解分式方程 【专题】 计算题 【分析】 观察可得最简公分母是 x（ x 3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解 【解答】 解：方程的两边同乘 x（ x 3），得 3x 9=2x， 解得 x=9 检验：把 x=9 代入 x（ x 3） =540 原方程的解为： x=9 故答案为： x=9 【点评】 本题考查了解分式方程，注： （ 1）解分式方程的基本思想是 “转化思想 ”，把分式方程转化为整式方程求解 （ 2）解分式方程一定注意要验根 14一个三角形的两边长分别是 2 和 3，若它 的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为 8 【考点】 三角形三边关系 【分析】 首先设第三边长为 x，根据三角形的三边关系可得 3 2 x 3+2，然后再确定 x 的值，进而可得周长 【解答】 解：设第三边长为 x， 两边长分别是 2 和 3， 3 2 x 3+2， 即： 1 x 5， 第三边长为奇数， x=3， 这个三角形的周长为 2+3+3=8， 故答案为： 8 【点评】 此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边 第 13 页（共 24 页） 15 如图， O 的切线，切点为 A， 延长线交 O 于点 B若 3，则 P= 24 【考点】 切线的性质 【分析】 连接 据切线的性质得出 用圆心角和圆周角的关系解答即可 【解答】 解：连接 图： O 的切线，切点为 A， 0， 3， 6， P=90 66=24 故答案为： 24 【点评】 此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质得出 利用圆心角和圆周角的关系解答 16为了求 1+3+32+33+3100 的值，可令 M=1+3+32+33+3100，则 3M=3+32+33+34+3101，因此，3M M=3101 1，所以 M= ，即 1+3+32+33+3100= ，仿照以上推理计算：1+5+52+53+52015的值是 【考点】 有理数的乘方 【专题】 压轴题；规律型 第 14 页（共 24 页） 【分析】 根据题目信息，设 M=1+5+52+53+52015，求出 5M，然后相减计算即可得解 【解答】 解：设 M=1+5+52+53+52015， 则 5M=5+52+53+54+52016， 两式相减得： 4M=52016 1， 则 M= 故答案为 【点评】 本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息， 理解求和的运算方法是解题的关键 三、解答题 17计算： + 4| | 【考点】 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 【分析】 本题涉及负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简几个考点针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 【解答】 解： + 4| | = 3+1 4 +2 = 3+1 2 +2 = 2 【点评】 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计 算题型解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算 18如图，某农场有一块长 40m，宽 32m 的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为 1140小路的宽 【考点】 一元二次方程的应用 【专题】 几何图形问题 第 15 页（共 24 页） 【分析】 本题可设小路的宽为 4 块种植地平移为一个长方形，长为（ 40 x） m，宽为（ 32 x） m根据长方形面积公式 即可求出小路的宽 【解答】 解：设小路的宽为 题意有 （ 40 x）（ 32 x） =1140， 整理，得 72x+140=0 解得 ， 0（不合题意，舍去） 答：小路的宽应是 2m 【点评】 本题考查了一元二次方程的应用，应熟记长方形的面积公式另外求出 4 块种植地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键 19如图，已知线段 （ 1）用尺规作图的方法作出线段 垂直平分线 l（保留作图痕迹，不要求写出作法）； （ 2）在（ 1）中所作的直线 l 上任意取两点 M， N（线段 上方）连 结 证： 【考点】 作图 基本作图；线段垂直平分线的性质 【分析】 （ 1）根据线段垂直平分线的方法作图即可； （ 2）根据线段垂直平分线的性质可得 M， N，再根据等边对等角可得 而可得 【解答】 解：（ 1）如图所示： （ 2） l 是 垂直平分线， M， N， 即： 第 16 页（共 24 页） 【点评】 此题主要考查了线段垂直平分线的作法以及性质，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 四、解答题 20先化简，再求值：（ ） ，其中 a=1 ， b=1+ 【考点】 分式的化简求值 【专题】 计算题 【分析】 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将 a 与 b 的值代入计算即可求出值 【解答】 解：原式 = = = ， 当 a=1 ， b=1+ 时，原式 =2 【点评】 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 21如图，已知四边形 平行四边形， 足分别是为 E， F，并且 F求证：四边形 菱形 【 考点】 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质 【专题】 证明题 第 17 页（共 24 页） 【分析】 首先利用已知条件和平行四边形的性质判定 根据邻边相等的平行四边形为菱形即可证明四边形 菱形 【解答】 证明：在 ， 四边形 平行四边形， A= C， 0 又 F， C， 平行四边形 菱形 【点评】 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质 以及菱形的判定方法，解题的关键是熟练掌握各种图形的判定和性质 22某班抽查 25 名学生数学测验成绩（单位：分），频数分布直方图如图： （ 1）成绩 x 在什么范围的人数最多？是多少人？ （ 2）若用半径为 2 的扇形图来描述，成绩在 60x 70 的人数对应的扇形面积是多少？ （ 3）从相成绩在 50x 60 和 90x 100 的学生中任选 2 人小李成绩是 96 分，用树状图或列表法列出所有可能结果，求小李被选中的概率 【考点】 列表法与树状图法；频数（率）分布直方 图；扇形统计图 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）根据频数分布直方图得到 80x 90 范围的人数最多； （ 2）用 60x 70 的人数除以总人数得到该组所占的百分比，然后用圆的面积乘以这个百分比即可得到成绩在 60x 70 的人数对应的扇形面积； 第 18 页（共 24 页） （ 3）先画出树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出有 C 的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】 解：（ 1）成绩 x 在 80x 90 范围的人数最多，有 9 人； （ 2）成绩在 60x 70 的人数对应的扇形面积 = 22= ； （ 3） 50x 60 的两名同学用 A、 B 表示， 90x 100 的两名同学用 C、 D 表示（小李用 C 表示）， 画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中有 C 的结果数为 6， 所以小李被选中的概率 = 【点评】 本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式 求出事件 A 或 B 的概率也考查了扇形统计图和频率分布直方图 五、解答题 23如图，已知抛物线 y=bx+c（ a0）的对称轴为直线 x= 1，且抛物线经过 A（ 1， 0）， C（ 0，3）两点，与 x 轴交于点 B （ 1）若直线 y=mx+n 经过 B、 C 两点，求直线 抛物线的解析式； （ 2）在抛物线的对称轴 x= 1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求出点 M 的坐标 【考点】 抛物线与 x 轴的交点；轴对称 【分析】 （ 1）根 据题意得出关于 a、 b、 c 的方程组，求得 a、 b、 c 的值，即可得出抛物线的解析式，根据抛物线的对称性得出点 B 的坐标，再设出直线 解析式，把点 B、 C 的坐标代入即可得出直线 解析式； 第 19 页（共 24 页） （ 2）点 A 关于对称轴的对称点为点 B，连接 直线 对称轴 x= 1 的交点为 M，则此时C 的值最小，再求得点 M 的坐标 【解答】 解：（ 1）依题意得： ， 解之得： ， 抛物线解析式为 y= 2x+3， 对称轴为 x= 1，且抛物线经过 A（ 1， 0）， B（ 3， 0）， 把 B（ 3， 0）、 C（ 0， 3）分别代入直线 y=mx+n， 得 ， 解得： ， 直线 y=mx+n 的解析式为 y=x+3； （ 2）设直线 对称轴 x= 1 的交点为 M，则此时 C 的值最小 把 x= 1 代入直线 y=x+3 得， y=2 M（ 1， 2） 即当点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小时 M 的坐标为（ 1， 2） 【点评】 本题考 查了抛物线与 x 轴的交点问题，轴对称最短路线问题，求得抛物线的解析式和直线的解析式是解题的关键 24如图，在 ，以 C 于点 D，过点 D 作 点 E，且 A （ 1）判断 O 的位置关系并说明理由； （ 2）若 6， ，求 O 的半径 第 20 页（共 24 页） 【考点】 切线的判定 【专题】 证明题 【分析】 （ 1）连接 图，由于 A， A= 根据圆周角定理得 0，所以 0，于是得到 0，然后根据切线的判定定理可判断 O 的切线； （ 2）利用等角的余角相等得 上 据等腰三角形的判定方法得 以 D= ，然后在 利用正切定义可计算出 ，再根据勾股定理计算出 而得到 O 的半径 【解答】 解：（ 1） O 相切理 由如下： 连接 图， A， A= O 的直径， 0， 0， 0，即 0， O 的切线； （ 2） A， 而 等腰三角形， D= ， 在 ， = ， 8=6， =10， O 的半径为 5 第 21 页（共 24 页） 【点评】 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线也考查了解直角三角形 25如图，在平面直角坐