2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷(五)含答案

第 1 页，共 11 页 2016 年高考模拟试卷 (5) 南通市数学学科基地命题 第卷（必做题，共 160 分） 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1 设 集合 2,5A ， 13B x x ， 则 2 设 ， 复数 212（ i 是虚数单 位 ）是纯虚数 ， 则 a 的值 为 3 如图是某班 8 位学生诗朗诵比赛得分的茎叶图，那么这 8 位学生得分的平均分 为 4 执行如图所示的伪代码，则输出的结果的集合为 5 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋已知甲不输的概率为 乙不输的概率为 则两人下成和棋的概率为 6 设函数 2 4 6 , 0 ,() 6 , 0 ,x x 则不等式 )1()( 的解集是 7 已知圆 柱 的底面半径为 r ，高为 h ，体积为 2 ，表面积为 12，则 11 8 在平 面直角坐标系 ，已知点 A 为双曲线 224的左顶点，点 B 和 点 C 在双曲线的右支上， 是等边三角形，则 的面积为 9 若 ) 24 ，则 的值为 10 已知定义在集合 A 上的函数22( ) l o g ( 1 ) l o g ( 2 1 )f x x x ，其值域为 ,1 ，则 A 11 数列 a，4 7a ，对 ，当 2n 时， 211(1 ) (1 ) (1 )n n na a a ，则数列 12设实数 1, 1，则“ ”是“ ln b a b ”成立的 条件 . （请用“ 充分不必要 ”、“ 必要不充分 ”、“ 充要 ”、“ 既不充分也不必要 ”中之一填空） 13 在 中， 45B o ， ,中点，且 2B M A C C N A B A的值为 14 在平面直角坐标 ，设圆 M 的半径为 1，圆心在直线 2 4 0 上 ,若圆 M 上不存在点 N，使12A ,其中 A（ 0， 3），则圆心 . 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在 答题卡指定区域 内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（本小题满分 14 分） 中，角 A， B， C 所对应的边分别为 a， b， c，面积为 S （ 1） 若 23C S求 A 的值； （ 2） 若 1 2 3，且 1c ，求 b S S+I 第 4 题 ) （第 3 题） 8 589 012246第 2 页，共 11 页 16 （本小题满分 14 分） 如图，四棱锥的底面 平行四边形， 平面 M 是 点， C 中点 （ 1）求证： / （ 2）若 平 面 平 面 求证： D 17（本小题满分 14 分） 为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为 4m，渠深为 2m （ 1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽），问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？ （ 2）考虑到新建果园的灌 溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽 18 （本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系 ，已知椭圆 22 1 ( 0 )xy 的右顶点与上顶点分别为 ,圆的离心率为 32，且过 点 3(1, )2 （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）如图，若直线 l 与该椭圆交于 ,线 ,斜率互为相反数 求证：直线 l 的斜率为定值； 若点 P 在第一象限，设 与 的面积分别为12,12最大值 （ 第 17 题 图 ） 2 4 16 题） C A B D M P N 第 3 页，共 11 页 19 （本小题满分 16 分） 已知 函数 2( ) ( 2 ) l nf x m x m ， 2( ) 1g x x m x ， （ 1） 当 0m 时， 求 () 若存在12, 1, 2使得12( ) ( ) 1f x g x成立，求 m 的取值范围； （ 2） 设 ()e 的导函数 ()，当 1m 时，求证： 2 ( ) 1 ( ) 1g x h x e （其中 e 是自然对数的底数） 20 （本小题满分 16 分） 若数列 在正整数 k ，使得 2n k n k na a a对一切 ,n n k*N 都成立，则称数列 k 级等差数列 （ 1）已知数列 级等差数列，且前四项分别为 2,0,4,3 ，求89值； （ 2）若 2 s na n n为常数），且 级等差数列，求 所有可能值的集合，并求 取最小正值时数列 3n 项和3 （ 3）若 级等差数列， 级等差数列，证明： 第卷（附加题，共 40 分） 21 【选做题】本题包括 A、 B、 C、 D 共 4 小题， 请选定其中两小题 ， 并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 A （选修：几何证明选讲） 如图 ， 直角 ,圆 O 与射线 切于点 T ， 与射线 交于两点 分 . B （选修：矩阵与变换） 设二阶矩阵 A ， B 满足 1 1234 A， 1001 1B C （选修：坐标系与参数方程） 在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 :C 2s i n 2 c o s ( 0 ) ，过点 ( 2, 4)P 的直线 l 的参数方程为222242 （ t 为参数）， l 与 C 分别交于 , （ ）写出 C 的平面直角坐标系方程和 l 的普通方程； （ ）若 ,P M M N P a 的值 D （选修：不等式选讲） 设 x， y 均为正数，且 x y，求证：2212 2 32x y y （第 21 题 A） 第 4 页，共 11 页 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在 答题卡指定区域内作答 ，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22 (本小题满分 10 分 )如图，已知三棱柱 侧棱与底面垂直， 1， 、 N 分别是 中点，点 P 在直线 ，且满足 111 （ R） （ 1） 求异面直 线 成的角； （ 2）若平面 平面 成的角为 45，试确定点 P 的位置 23 （ 本小题满分 10 分 ） 设集合 1, 0,1M ，集合1 2 3 ( , , ) | , 1 , 2 , , n n iA x x x x x M i n ，集合“121 | | | | | |nx x x m L” 的元素个数记为 （ 1） 求 222 （ 2） 当 时，求证： 1 13 2 2n m n 2016 年高考模拟试卷 (5) 参考答案 （第 22 题） 第 5 页，共 11 页 南通市数学学科基地命题 第卷（必做题，共 160 分） 一、填空题 1 2 2 4 3 91 4 2,5,10 5 12 6 ( 3,1) (3, ) U 7 3 9 35 103(1, 2 11 21 12充要 13 22 14 12( , 0 ) ( , )5 U 【解析】 设 N（ x,y) ，由 12A得：2 2 2 24 ( ) ( 3 ) ,x y x y 化简得： 22( 1) 4 ，表示为以 (0, 1)B 为圆心， 2为半径的圆，由题意得圆 , 2 4)M a a 无交点，即 2 2 2( 2 4 1 ) ( 2 1 ) 或 2 2 2( 2 4 1 ) ( 2 1 ) ，解得圆心M 横坐标的取值范围为： 12( , 0 ) ( , )5 U 二、解答题 15 （ 1）由题意知， c o A C 1 , 所以 c o s 3 s i nb c A b c A ， 2 分 即 co s 3 ， 3， 因为 A 为三角形内角， 所以6A ； 6 分 （ 2） 设 ， ， ，由题意知， 0m 因为 t a n t a nt a n t a n ( ) 1 t a n t a B ， 8 分 则233 12mm m ， 解得 1m ，则 B ， C ，从而 25， 3 10， 12 分 所以 s 2s 3A C C，则 223 14 分 16 （ 1）取 点 E ，连 在 中， /C 且 12C， 又 12D， /C ， C 得 / 2 分 四边形 平行四边形， 得 /E ， 面 面 /面 6 分 （ 2）过点 A 作 垂线，垂足为 H ， Q 面 面 面 M ， M ， 面 第 6 页，共 11 页 面 8 分 面 Q 平面 10 分 平面 Q H AI ， 面 面 12 分 面 D 14 分 17. 建立如图所示的直角 坐标系，设抛物线的方程为 2 20x py p，由已知点 22P ， 在抛物线上，得1p ，所以抛物线的方程为 212. 2 分 （ 1）为了使填入的土最少，内接等腰梯形的面积要最大，如图 1， 设点 21, 0 22A t t t ，则此时梯形 面积 2 3 21 1 12 4 2 2 42 2 2S t t t t t t ， 6 分 23 2 22S t t t ,令 23 2 2 = 02S t t t ，得 23t， 当 20, 3t 时， 0， 当 2, 23t 时， 0， 所以当 23t时， 2827，改挖后的水渠的底宽为 43m 时， 可使填土的土方量最少 . 8 分 （ 2） 为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，如图 2， 设切点 21, 02M t t t ， 则函数在点 M 处的切线方程 为 212y t t x t ， 10 分 分别令 0, 2得 2, 0 , , 222t ， 所以梯形 面积 1 2 22 2 22S t t ， 12 分 当且仅当 2t 时，等号成立， 此时 22所以设计改挖后的水渠的底宽为 2 m 时，可使挖土的土方量最少 . 14 分 18 （ 1）由题意，离心率 32ce a，所以 23，所以 224， 故椭圆的方程为 2 2 244x y b，将点 3(1, )2代入，求得 2 1b ， 所以椭圆的标准方程为 22 14x y； 4 分 （ 2）设直线 方程为 1y ，则由题意直线 方程为 ( 2)y k x ， 2) B A（图 1） 第 7 页，共 11 页 由22114y y ，得 22(1 4 ) 8 0k x ， 所以点 Q 的坐标为 2228 1 4( , )1 4 1 4 ， 6 分 同理可求得点 P 的坐标为 2228 2 4( , )1 4 1 4 8 分 所以直线 l 的斜率为22222 2221 4 41 4 4 11 4 1 48 8 2 8 8 2 21 4 1 4 10 分 设 P ， Q 两点到直线 距离分别为12, 因为点 P 在第一象限，则点 Q 必在第三象限， 所以 12k，且点 P 、 Q 分别在直线 : 2 2 0A B x y 的上、下两侧， 所以 2 2 0 ， 2 2 0 ， 从而22218 2 8 222 1 4 1 455 ， 22228 2 8 2221 4 1 455 ， 所以22222112 2 2 222228 2 8 28 2 8 2 ( 1 4 ) 2 11 4 1 48 2 8 8 ( 2 8 ) 2 ( 1 4 ) 4 221 4 1 4k k k d k k k k ， 14 分 令 2 1 ( 0)k t t ， 则12 2 222 1 1 1 3 2 224 2 ( 1 ) 1 3 2 2 2 33S k t tS k k t t t t ， 当且仅当 2即 2t ，即 212k 时，12最大值为 3 2 2 16 分 19 （ 1）函数 2( ) ( 2 ) l nf x m x m 的定义域为 (0, ) 222 2 ( 2 ) ( 1 )() m m x xf x m x x x ， 为 0m ，则当 01x时， ( ) 0 ；当 1x 时， ( ) 0 ； 所以 ()0,1) ，单调减区间为 1, ) 2 分 若存在12, 1, 2使得12( ) ( ) 1f x g x， 第 8 页，共 11 页 等价于 1,2x 时，m a x m i n( ) ( ) 1f x g x成立 由得，当 0m 时， ()1, ) 上单调递减， 所以当 1,2x 时，m a x( ) (1 ) 2f x f m 4 分 而 222( ) 1 ( ) 124x x m x x （）当 012m ，即 20m 时，m i n( ) (1 ) 2g x g m ， 于是 23 ，矛盾 ! 6 分 ( ) 122m ，即 42m 时， 2m ) 1 4， 于是 2224 ，矛盾 ! 8 分 （）当 22m，即 4m 时，m i n( ) ( 2 ) 5 2g x g m ， 于是 2 6 2 ，所以 8m 综上， m 的取值范围是 8m 10 分 （ 2）因为 ()e ，所以 1 () ， 所以 2 1( ) ( l n 1 ) ( 1 ) ( 1 l n ) ( ) 1 ( )x x x x x x h ， 要证 2 ( ) 1 ( ) 1g x h x e ，由 0x ，即证2(1 ) 1 l e x x 设 ( ) 1 x x x ， ()1， 所以 ( ) ，当 20 时， ( ) 0x ；当 2 时， ( ) 0x 所以当 2 时， ( ) 1 x x x 取得最大值为 21 e 由2( ) 0( 1 )， 所以 ()0, ) 单调增，所以 ( ) (0) 1m x m， 所以 2 ( ) 1 ( ) 1g x h x e 16 分 20 （ 1）8 2 4 23 ( ) 0 3 ( 3 0 ) 9a a a a 9 1 3 14 ( ) 2 4 2 1 0a a a a ,8919 2 分 （ 2） 级等差数列，332n n na a a， 2 ( 2 s i n ) 2 ( 3 ) s i n ( 3 ) 2 ( 3 ) s i n ( 3 )n n n n n n （ n *N ） 2 s i n s i n ( 3 ) s i n ( 3 ) 2 s i n c o s 3n n n n （ n *N ） 第 9 页，共 11 页 所以 n ，或 ， n 对 n *N 恒成立时， ()Z 时， 2 32 ( ) , ( ) ,3kk k k | ( ) | ( ) 3k k k k Z U 最小正值等于 23，此时 2 2 . 6 分 由于 2 ( 3 2 ) 2 ( 3 1 ) 2 ( 3 ) s i n s i n s i n 03 3 3n n n （ n *N ） 3 2 3 1 3 6 ( 3 1 )n n na a a n （ n *N ） 3 1 2 3 4 5 6 3 2 3 1 3 1 2 6 ( 3 1 ) ( ) ( ) ( ) 2n n n n a a a a a a a a a （ n *N ） 10 分 （ 3）若 级等差数列，222n n na a a，则2 1 2 , 成等差数列， 设等差数列2 1 2 , 公差分别为12, 3 级等差数列， 332n n na a a，则 32 成等差数列，设公差为 D 17,的项，也是32中的项，7 1 132a a d D 4 10,是32中的项，1 0 4 232a a d D 123 3 2d d D 设122d d d，则 3 所以2 1 1 1 1( 1 ) ( 2 2 )na a n d a n d （ n *N ）， 2 2 2 2( 1 ) ( 2 2 )na a n d a n d ，（ n *N ） 又4 1 1 3a a D a d ，4 2 2 2 2a a d a d ，所以21a a d， 21 ( 2 1 )na a n d （ n *N ） 综合得 1 ( 1)na a n d ，显然 16 分 第卷（附加题，共 40 分） 21A 连结 因为 切线 ,所以 P . 2 分 又因为 是直角 ,即 P , 4 分 所以 /T , 所以 . 6 分 又 B ,所以 , 8 分 所以 , 即 分 . 10 分 B 1 1 0 1 2 1 20 1 3 4 3 4 Q B = B A A 5 分 1213122B 10 分 C （ ）曲线 角坐标方程为 2 2y ( 0)a ；直线 l 的普通方程为 20 （ ）将直线 l 的参数方程与 2 2 ( 4 ) 2 8 ( 4 ) 0t a t a （ *） 8 ( 4 ) 0 第 10 页，共 11 页 设点 ,12,P M t P N t，12MN t t 由题设得 21 2 1 2t t t t，即 21 2 1 2 1 24t t t t t t 由（ *）得 1 2 1 22 2 ( 4 ) , 8 ( 4 ) 0t t a t t a ，则有 2( 4 ) 4 ( 4 ) 0 ，得 1a ，或 4a 因为 0a ，所以 1a D 因为 0 0 0x y x y , ，2 2 2112 2 2 ( )2 ( )x y x yx x y y x y 4 分 232211( ) ( ) 3 ( ) 3( ) ( )x y x y x yx y x y ， 8 分 所以2212 2 32x y y 10 分 22 （ 1） 如图，以1C 分别为 轴，建立空间直角坐标系 A 则 ( ,0,1)P ， 11( , ,0)22N， 1(0,1, )2M， 从而 11( , , 1)22 1(0,1, )21 1 1( ) 0 1 1 02 2 2P N A M u u ur u u u 所以异面直线 成的角为 90o . 5 分 （ 2）平面 一个法向量为1 ( 0 , 0 ,1)n r 设 平面 一个法向