广东省揭阳市2016届高三第二次高考模拟数学试题(文)含详解

绝密 启用前 揭阳市 2016 年 高 中毕业班第二次高考模拟考试题 数学 (文 科 ) 本试卷共 4 页，满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项： 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦 干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效 卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效 本试卷和答题卡一并交回 第 卷 一 、 选择 题：共 12小题，每小题 5分，共 60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （ 1） 已知复数 2 (1 )z i i(i 为虚数单位 )， z 的共轭复数为 z ，则 （ A） 4i （ B） 4i （ C） 4 （ D） 4 答案 ： C 解析 ： 复数 2 (1 )z i i 2 2i ， 22 ，所以， 4。 （ 2）已知集合 2 | 1 , | l n ( 2 ) A x y x B x y x x ，则 （ A） (2, ) （ B） 1,2) （ C） (0,2) （ D） 1,2 答案 ： B 解析 ： 集合 A |1， B | 0 2 ，故 1,2) （ 3） 已知向量 ( 3 , 1 ) , ( 0 , 1 ) , ( , 3 )a b c k r r r，若（ 2 相垂直，则 k 的值为 （ A） （ B） （ C） 1 （ D） 3 答案 ： A 解析 ： 2ab( 3,3) ，因为 2ab直，所以， 3 k 3 3 0，所以， k 3 （ 4） 已知命题 : , c o s s i np x R x x ，命题 1: ( 0 , ) , s i n 2s i nq x x x ，则下列判断正确的是 （ A）命题 是假命题 （ B）命题 是真命题 （ C）命题 () 是假命题 （ D）命题 () 是真命题 答案 ： D 解析 ：当 x6时， 成立，所以， 命题 p 是真命题；当2x 时， 1s s x，故 q 是假命题，从而有 () 是真命题。 （ 5）已知双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy 两条渐近线的夹角为 60o ，则该双曲线的离心率为 （ A） 233（ B） 43（ C） 233或 2 （ D） 4 答案 ： C 解析 ：（ 1）双 曲线两条渐近线 在 y 轴两旁 的夹角为 60时，由双曲线的对称线知，两条渐近线的倾斜角分别为 60、 120，所以， t a n 6 0 3 ， 又 2 2 2 2 2( 3 )c a b a a ，解得离心率 2。 （ 2）双 曲线两条渐近线 在 x 轴两旁 的夹角为 60时，其中一条渐近线的倾斜角为 30，所以，3t a n 3 0 3 ， 又 2 2 2 2 23()3c a b a a ，解得离心率 233。 （ 6）已知函数 2 , ( 1 )()( 1 ) , ( 1 )x x x ，则2()（ A） 9 （ B） 92（ C） 94（ D） 98答案 ： D 解析 ：22lo g 9 lo g 8 3，所以，2()f2( 1)f 2( 2)f 2( 3)f 22lo g 9(lo g 9 3 )322 2 98 。 （ 7）已知等差数列 ，1 1a，且1 2 41 1 1,a a a 成等比数列，设 前 n 项和为 则 A） 2( 1)4n（ B） ( 3)4 C） ( 1)2 D） 2 12n 答案 ： C 解析 ： 依题意，得： 21 4 2a a a， 所以， 21 (1 3 ) (1 ) ， 得公差 d=1，故选 C. （ 8） 函数 lo g | |()|x（ 01a）图象的大致形状是 答案 ： C 解析 ： 特殊值法。取 12a，当 x 2 时， f（ 2） 1 0，排除 A， B； 当 x 2 时， f（ 2） 1 0，排除 D，所以，选 C。 （ 9） 若 直线 2上存在点 ( , )足条件 3 0 ,2 3 0 , 则实数 m 的最大值为 （ A） 2 （ B） 1 （ C） 1 （ D） 3 答案 ： B 解析 ： 不等式表示的平面区域如图所示，解 2 3 02 得： 12，所以，当 m 1 时，由图可知， 直线 2与图没有交点，故 m 的最大值为 1。 （ 10） 圆柱形容器内盛有高度为 6水，若放入 3 个相同的铁球球（球的半 径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为 （ A） 1 B） 2 （ C） 3 （ D） 4案 ： C 解析 ： 设球的半径为 r ， 则由 3V 球 +V 水 =V 柱 ， 得 3243 ( 6 6 ) 33 r r r r （ 11） 某组合体的三视图如图示，则该组合体的表面积为 (A) ( 6 2 2 ) 1 2 (B) 8( 1) (C) 4(2 1) (D) (12 2 2 ) 答案 ： A 解析 ： 该组合体下面为半圆柱，上面为半圆锥，故其表面积为： 21 1 1 12 2 2 2 2 2 2 4 2 4 22 2 2 2 2 4 2 2 8 4 ( 6 2 2 ) 1 2 . （ 12） 已知 P 是直线 4 0 ( 0 )k x y k 上一动点， 圆 C： 2220x y y 的两条切线，切点分别为 A、 B，若四边形 最小面积为 2，则k 的值为 （ A） 3 （ B） 2 （ C） 1 （ D） 12答案 ： B 解析 ：P A C A A C P A 四 边 形2 2 2 1C P C A C P ， 可 知当 | |小时 ，即 CP l 时，其面积最小，由最小面积 2 12 得| 5， 由点到直线的距离公式得：m i n 25| | 51CP k，因 0k ，所以 2k . 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 （ 13） 题 第 （ 21） 题为必考题，每个试题考生都必须做答 第 （ 22）题 第 （ 24） 题为选考题，考生根据要求做答 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上 （ 13） 某高级中学共有学生 3200 人， 其中高二级与高三级各有学生 1000 人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为 160 的样本，则应抽取的高一级学生人数为 _ 答案 ： 60 解析 ： 高一学生有 3200 1000 1000 1200 人， 共抽取高一学生人数： 16012003200 60 (14)执行如图所示的程序框图，则输出的 k 值为 . 答案 ： 6 解析 ：第 1 步： s 1， k 2； 第 2 步： s 2， k 3； 第 3 步： s 6， k 4； 第 4 步： s 15， k 5； 第 5 步： s 31， k 6； 第 6 步： s 56，退出循环，此时 k=6 (15)已知函数 2()f x x a x的图象在点 A(1, (1)f 处的切线 l 与直 线 3 1 0 垂直，记数列 1()n 项和为2016 . 答案 ： 20162017解析 ： 依题意知 函数 2()f x x a x的图象在点 A(1, (1)f 处的切线斜率 ( 1 ) 2 3 1k f a a ，故 1 1 1 1( ) ( 1 ) 1f n n n n n ， 1 1 1 11 2 2 3 2 0 1 6 2 0 1 7S 0 1 61 2 0 1 7 2 0 1 7 (16) 已知梯形 ， 90o ,， ， P 是腰 的动点，则 |D最小值为 . 答案 ： 3 解析 ： 如图以 邻边作平行四边形 则 P C P D P Q要 |最小值，只需 |最小值，因 E 为 中点，故当 B 时， |最小值，这时 梯形的 中位线，即m i n 13| | ( | | | | )22P E B C A D u u 故| 3三 、 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . （ 17）（本小题满分 12 分） 已知如图 4， ， 的中线， 120o ，且 152A B A C ( )求 面积； ( )若 5，求 长 . 图 4 解析 ： 解： ( ) 152A B A C 1 1 5c o A C B A C A B A C , 即 15C， 3 1 5 311s i n 1 52 2 2 4 B A C B A C ( )解法 1：由 5得 3， 延长 E，使 E，连结 C, 四边形 平行四边形， 60o ,且 3C 设 AD x ，则 2AE x ，在 ，由余弦定理得： 2 2 2( 2 ) 2 c o s 2 5 9 1 5 1 9x A B B E A B B E A B E , 解得 192x，即 长为 【解法 2： 由 5得 3， 在 ，由余弦定理得： 2 2 2 2 c o s 2 5 9 1 5 4 9B C A B A C A B A C B A C , 得 7， 由正弦定理得：s i n s i A C A C D， 0015450 550350250 650组距00 i n 5 32s i 4A B B A ， 0 9 0A C D 2 11c o s 1 s i D A C D ， 在 ， 2 2 2 4 9 7 1 1 1 92 c o s 9 2 34 2 1 4 4A D A C C D A C C D A C D ， 解得 192】 【解法 3： 由 5得 3， 在 ，由余弦定理得： 2 2 2 2 c o s 2 5 9 1 5 4 9B C A B A C A B A C B A C , 得 7， 在 ， 2 2 2 9 4 9 2 5 1 1c o 3 7 1 4A C B C A B A C B C , 在 ，由 2 2 2 4 9 7 1 1 1 92 c o s 9 2 34 2 1 4 4A D A C C D A C C D A C D ， 解得 192】 （ 18） （本小题满分 12 分） 某人租用一块土地种植一种瓜类作物 ，根据以往的年产 量数据，得到年产量频率分布直方图如图 5 示， 以各区间中 点值作为该区间的年产量， 得到平均年产量为 455已知当 图 5 年产量低于 450 ，单位售价为 12 元 / 年产量不低于 450 ，单位售价为 10 元 / （）求图中 a、 b 的值； （） 估计 年销售额大于 3600 元小于 6000 元的概率 . 解析 ： 解：（）由 1 0 0 ( 0 . 0 0 1 5 0 . 0 0 4 ) 1 ， 得 1 0 0 ( ) 0 ， 由 3 0 0 1 0 0 4 0 0 0 . 4 5 0 0 1 0 0 6 0 0 0 . 1 5 4 5 5 ， 得 3 0 0 5 0 0 2 ， 解得 ， ； （） 由 （）结合 直方图知， 当年产量为 300，其年 销售额为 3600 元， 当年产量为 400，其年 销售额为 4800 元， 当年产量为 500，其年 销售额为 5000 元， 当年产量为 600，其年 销售额为 6000 元， 因为年产量为 400频率为 年 销售额为 4800 元的频率为 而 年产量为 500频率为 即年 销售额为 5000 元的频率为 故估计年销售额大于 3600 元小于 6000 元的概率为： （ 19） （本小题满分 12 分） 如图 6，已知四棱锥 底面 菱形，且 60o ， C=2， B= 2 . （ ）求证 ：平面 平面 （ ）求 点 D 到平面 距离 . 图 6 解析 ： 解： ( )取 中点 O，连结 由 B= 2 ， 知 等腰直角三角形， ， 又 C=2， 60o 知 等边三角形， 3 又由 2得 2 2 2P O C O P C, 平面 又 平面 平面 平面 （ ） 设点 D 到平面 距离为 h， 由 ( )知 边长为 2 的等边三角形， 等腰三角形， 由D P A C P A D 得 1133P A C A D CS h S P O 23 234A D ， 221 1 7()2 2 2 A P C P A , A D 3 1 2 2 1772，即点 D 到平面 距离为 2 217 （ 20）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 2 21 22: 1 ( 0 )y xC a 与抛物线 22 :1C x y有公共弦 A 在 B 左边），2点 B 且 斜率为 k ( 0)k 的直线 l 与1C、2、N（均异于点 A、 B） （）求1 （）若点 A 在以线段 直径的圆外，求 k 的取值范围 解析 ： 解： （）抛 物线 2 1的顶点为 (0, 1) ，即椭圆的下焦点为 (0, 1) ， 1c ， 由 知 1，代入抛 物线 得 (1,0)B ，得 1b ， 2 2 2a b c=2，1 2 12y x； （）依题意知直线 l 的方程为 ( 1)y k x， 联立 2 2 12y x消去 y 得： 2 2 2 2( 2 ) 2 2 0k x k x k ， 则 22 22MB k ，得 22 22M kx k ，2 4 2M ky k ， 由 2 ( 1)1y k ，得 2 10x k x k ， 由 224 ( 1 ) ( 2 ) 0k k k ，得 2k ， 则 1x k ，得 1， ( 2)Ny k k， 点 A 在以 直径的圆外，即 ,N0, )2， 0N又 ( 1,0)A ， ( 1, ) ( 1, )M M N A N x y x y u u u ur u u 2224 ( 2 )2 22 2 22 ( 4 ) 02k ， 解得 4k ，综上知 ( , 0 ) ( 0 , 2 ) ( 2 , 4 )k （ 21） （本小题满分 12 分） 已知函数 1)()2x （ 2x ） ( ) 判断函数 () ( )若存在实数 a ，使得 ()f x a 对 (2, )x 均成立，求 a 的取值范围 解析 ： 解： ( ) 解法 1：22 l n ( 1 )1( )( 2 )x 2( 2 ) ( 1 ) l n ( 1 )( 1 ) ( 2 )x x ， 记 ( ) ( 2 ) ( 1 ) l n ( 1 )g x x x x （ 2x ）， ( ) l n ( 1 ) 0g x x ， 即 () (2, ) 上单调递减， ( ) ( 2 ) 0g x g 从而 ( ) 0， 函数 ()2, ) 上的单调递减 【解法 2：依题意得22 l n ( 1 )1( )( 2 )x ， 记 2( ) l n ( 1 )1xg x （ 2x ） 则211( ) ( 1 ) 1gx 22( 1) ， 2x ( ) 0，即函数 () (2, ) 上单调递减， ( ) ( 2 ) 0g x g，从而得 ( ) 0， 函数 ()2, ) 上的单调递减 】 ( ) 解法 1： ()f x a 对 (2, )x 均成立， 等价于 1 ) ( 2 )x a x 对 (2, )x 均成立， 由 1)得 11y x ，由此可得函数 1)的图象在点（ 2,0）处的切线 为 y= （ 1）当 1a 时， 在 (2, ) 上， 直线 ( 2)y a x与函数 1)的图象相交，不合题意； （ 2）当 1a 时， 在 (2, ) 上，直线 ( 2)y a x在函数 1)的图象的上方，符合题意 综上得：要使 ()f x a 对 (2, )x 均成立， 1, )a 【解法 2： ()f x a 对 (2, )x 均成立， 等价于 1 ) ( 2 )x a x 对 (2, )x 均成立 记 ( ) l n ( 1 ) ( 2 )h x x a x ，则 1( )1h x 1 1a 1()1 (2) 0h ，令 ( ) 0得 1 ax a ， 1 2 0 1a ， （ 1）当 0a 时，对 (2, )x ， ( ) 0，即函数 () (2, ) 单调递增， 故 ( ) ( 2 ) 0h x h，即 l n ( 1 ) ( 2 ) 0x a x ，不符合题意； （ 2）当 01a时，对 1(2, )， ( ) 0， 此时函数 ()(2, )为增函数，即 l n ( 1 ) ( 2 ) 0x a x ，不符合题意； （ 3）当 1a 时，对 (2, )x ，有 ( ) 0，函数 () (2, ) 单调递减， 因此 l n ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) 0x a x h ，符合题意； 综上得：要使 ()f x a 对 (2, )x 均成立， 1, )a 】 请考生在 第（ 22） 、 （ 23） 、 （ 24） 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一 个 题 目 计分 (22)(本小题满分 10 分 )选修 4 1：几何证明选讲 如图 7 所示 ， O 和 P 相交于 , A 作两圆的切线分别交两圆于 C， D 两点，连接 延长交 O 于点 E ( ) 若 ， ，求 长； ( ) 若 ，求 长 解析 ： 解： （） 由弦切角定理得 B A C B D A ， B A D B C A ， 所以 ， O P A B D C E 图 7 5 得 B， 2 8A B B C B D ， 22； （） 连接 A E C A E B B E C ， A C E A B E B A D A D B A E B B A D ， B A C B D A = , A E C A C E C=(23)(本小题满分 10 分 )选修 4 4：坐标系与参数方程 已知 椭圆 C 的普通方程为： 22194 ( ) 设 2， 求 椭圆 C 以 t 为参数 的参数 方程； ( ) 设 C 与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴的交点分别为 A、 B， 点 P 是 C 上位于第一象限的动点，求四边形 积 的 最大值 （其中 O 为坐标原点） 解析 ： 解： ( )将 2代入椭圆的普通方程得 22249 (1 ) 9 (1 )4 ， 于是得 231 ，