【精品】高三数学 3.1导数的概念(第一课时)大纲人教版选修

1 第三章第三章 导数导数 3 1 3 1 导数的概念导数的概念 课时安排课时安排 4 课时 从容说课从容说课 导数的概念 是导数与微分的一个重要的概念 它是在函数的极限基础上发展起来的 应该讲是一个很抽象的概念 如何才能使学生从这个抽象的概念中走出来呢 首先 教师 应精心设计教学内容 多从实例导入 运用极限的定义解决实际问题 让学生有了感性认 识 对函数的极限有了兴趣 其次 要借助现代教学手段 如多媒体课件 实物投影 让 静的问题动起来 让抽象的问题具体化 实物化 第三 让学生带着问题走近课堂 教师 在设计教案时应多角度多层次地考虑 要选取重要而又实用的生活实例或在其他学科实际 应用的实例 让学生尝试到成功的欢愉 深感学习导数的重要性 同时也培养学生深入思 考问题的良好的学习习惯 第四 对于新学的概念 导数要进行建构式的教学方式 让 学生在做中学数学 让学生真正地主动建构 而不是被动地接受 只有通过以上各条措施 学生才能真正地感受到数学的价值和学习导数的意义 才能认识到数学的美是潜在的 第一课时 课课 题题 3 1 1 导数的概念 一 曲线的切线 教学目标教学目标 一 教学知识点一 教学知识点 1 曲线在一点处的切线的概念 2 曲线在一点处的切线的斜率的概念 二 能力训练要求二 能力训练要求 1 掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法 2 理解曲线在一点处的切线的斜率的概念 并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率 与切线方程 三 德育渗透目标三 德育渗透目标 1 培养学生从实际问题中去发现问题的能力 以及转化的数学思想 2 培养学生用运动的眼光去理解问题的能力 3 培养学生在对待科学知识上要有豁达的心态 科学知识是世界通用的 教学重点教学重点 理解曲线在一点处的切线的定义 以及曲线在一点处的切线的斜率的定义 光滑曲线的 切线斜率是了解导数概念的实际背景 教学难点教学难点 在理解曲线在一点处的切线的斜率的基础上 根据已经学过的极限知识 会求一条具 体的曲线 给出曲线方程 在某一点处的切线斜率 教学方法教学方法 发现法 通过多媒体进行演示 当 Q 点向 P 点靠近时 观察 PQ 这条直线的位置 让学生自己 通过所学的极限知识来定义切线和切线的斜率 教具准备教具准备 多媒体 2 做两张图 第一张就是书上的图 3 1 1 第二张是书上的图 3 1 2 但它能够演示 Q 运动时 PQ 直线的位置变化 并显示直线 PQ 的极限位置 即曲线在点 P 处的切线 教学过程教学过程 课题导入 师 食品店里的罐装汽水 可乐 啤酒等 不少是圆柱形铝罐头 如果要使容积不变 什么情况下用的材料最省 或者有时在生产和科研中 会碰到什么条件下 所用的时间最 少 或效率最高等问题 我们可以把这些问题转化成数学问题 也就是归结为求函数的最大 值 最小值问题 我们以前也学过求一些特殊函数 如直线 抛物线等 的最大值 最小值的 方法 但一些很复杂的函数呢 有什么简便的方法吗 这就是我们第三章要学习的内容 导 数与微分 讲授新课 师 导数与微分是解决函数的最大 最小值问题的有力工具 导数与微分的知识形成 一门学科 就是我们通常所说的微积分 微积分除了解决最大 最小值问题 还能解决一些 复杂曲线的切线问题 导数的思想最初是法国数学家费马 Fermat 为解决极大 极小值问题 而引入的 但导数作为微分学中最主要的概念 却是英国科学家牛顿 Newton 和德国数学家 莱布尼茨 Leibniz 分别在研究力学与几何学过程中建立的 微积分能成为独立的学科并给整个自然科学带来革命性的影响 主要是靠了牛顿和莱 布尼茨的工作 但遗憾的是他们之间发生了优先权问题的争执 其实 他们差不多是在相同的 时间相互独立地发明了微积分 方法类似但在用语 符号 算式和量的产生方式上稍有差异 牛顿在 1687 年以前没有公开发表 莱布尼茨在 1684 年和 1686 年分别发表了微分学和积分 学 所以 就发明时间而言 牛顿早于莱布尼茨 就发表时间而言 莱布尼茨则早于牛顿 关于谁是微积分的第一发明人 引起了争论 而我们现在所用的符号大多数都是莱布尼茨发 明的 而英国认为牛顿为第一发明人 拒绝使用莱布尼茨发明的符号 因此 使自己远离了 分析的主流 所以在科学上 要持有豁达的心态 科学知识是没有国界的 是世界通用的 不能因 为偏见而拒绝使用 这样只能阻碍科学进步 我们首先来看一下导数的概念中的第一小节 曲线的切线 板书 一 曲线的切线 师 我们已经学习了圆与圆锥曲线 那么它们的切线是如何定义的 生 与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫切线 板书 图 3 1 也可以画在多媒体课件上 师 我们来看这张图 l1与曲线 C 有一个公共点 但不在曲线 C 的一边 l2与曲线 C 有两个公共点 也不在曲线 C 的一边 而 l1不是曲线 C 在 M 点的切线 l2却是曲线 C 在 N 点处的切线 所以用我们以前学的切线的定义就不适合了 3 图 3 2 打开多媒体的第一张图 师 看这张图 已知曲线 C 是函数 y f x 的图象 P 是曲线上一点 坐标为 x0 y0 在 P 的附近取一点 Q 坐标为 x0 x y0 y 过 P 作 MP x 轴 MQ y 轴 设割线 PQ 的 倾斜角为 那么 MP MQ 倾斜角的正切值之间有什么关系 用 x y 表示 板书 生 MP x MQ y x y MP MQ tan 师 那割线 PQ 的斜率为多少 板书 生 割线 PQ 的斜率是 x y 师 现在 P 不动 Q 沿着曲线运动 并且无限地向点 P 靠近 再来观察 Q 运动的 情况 打开多媒体的第二张图 师 点 Q 沿着曲线向点 P 无限接近时 也就是说 x 0 这时这条割线 PQ 我们把它 称为直线 PT 它是一条什么样的直线 生 直线 PT 就是在 P 点处的切线 师 我们是通过运动的方式来得到切线的 那能不能根据这种过程来定义切线呢 把直线 PT 叫做割线 PQ 的极限位置 生 当点 Q 沿着曲线无限接近 P 点时 割线 PQ 的极限位置是直线 PT 叫做曲线 在点 P 处的切线 师 大概意思对了 那我们现在把它完整地写出来 板书 1 切线 曲线 C y f x 上有两点 P x0 y0 Q x0 x y0 y 当点 Q 沿着曲线无限接近于点 P 即 x 0 时 如果割线 PQ 有一个极限位置 PT 那么直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线 师 那切线 PT 的斜率如何定义呢 也可以用极限 生 割线 PQ 的斜率的极限 就是曲线在点 P 处的切线的斜率 板书 2 切线的斜率 设切线 PT 的倾斜角为 那么当 x 0 时 割线 PQ 的斜率的极限 就是曲线在点 P 处的切线的斜率 即 x xfxxf x y xx limlimtan 00 00 4 师 我们可以从运动的角度来得到切线 所以可以用极限来定义切线 以及切线的 斜率 那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线 也可以求出它在某一点处的切线了 下面我们 来看一下具体的例子 图 3 3 3 课本例题 例 如图 3 3 曲线的方程为 y x2 1 求此曲线在点 P 1 2 处的切线的斜率以及方程 解 x xfxxf k x lim 00 0 2 2 lim 2 lim 11 1 1 lim 1 1 lim 0 2 0 22 0 0 x x xx x x x fxf x x x x 切线的斜率为 2 切线的方程为 y 2 2 x 1 即 y 2x 4 精选例题 例 1 求曲线 f x x3 2x 1 在点 1 4 处的切线方程 学生板演 解 x xfxxf k x lim 00 0 5 25 lim 35 lim 1121 1 1 2 1 lim 1 1 lim 2 0 32 0 33 0 0 xx x xxx x xx x fxf x x x x 切线的方程为 y 4 5 x 1 即 y 5x 1 例 2 求曲线 f x x3 x2 5 在 x 1 处的切线的倾斜角 3 1 5 学生分析 要求切线的倾斜角 也要先求切线的斜率 再根据斜率 k tan 求出倾斜 角 学生板演 解 x xfxxf x limtan 00 0 1 1 3 1 lim 3 1 lim 51 3 1 5 1 1 3 1 lim 1 1 lim 2 0 3 0 23 0 0 x x xx x xx x fxf x x x x 0 4 3 切线的倾斜角为 4 3 例 3 求曲线 y sinx 在点 处的切线方程 2 1 6 解 x x x fxf k xx 6 sin 6 sin lim 6 6 lim 00 2 3 2 3 01 2 1 2 3 2 2 2 sin lim 2 1 2 3 2 sin2 lim 2 1 sin lim 2 31cos 2 1 lim 2 1 sin 2 3 cos 2 1 lim 2 2 0 2 0 00 0 x x x x x x x x x x xx x x xx x 切线方程是 6 2 3 2 1 xy 6 即 2 1 12 3 2 3 xy 例 4 y x3在点 P 处的切线斜率为 3 求点 P 的坐标 解 设点 P 的坐标 x0 x03 x xfxxf x lim3 00 0 33 lim 33 lim lim 2 0 2 0 0 32 0 2 0 0 3 0 3 0 0 xxxx x xxxxx x xxx x x x 3x02 3 x0 1 P 点的坐标是 1 1 或 1 1 课堂练习 1 已知曲线 y 2x2上一点 A 1 2 求 1 点 A 处的切线的斜率 2 点 A 处的切线方程 解 1 x fxf k x 1 1 lim 0 4 24 lim 24 lim 12 1 2 lim 0 2 0 22 0 x x xx x x x x x 点 A 处的切线的斜率为 4 2 点 A 处的切线方程是 y 2 4 x 1 即 y 4x 2 2 求曲线 y x2 1 在点 P 2 5 处的切线方程 解 x fxf k x 2 2 lim 0 4 24 lim 24 lim 1 2 1 2 lim 0 2 0 22 0 x x xx x x x x x 切线方程是 y 5 4 x 2 即 y 4x 3 师 求切线的斜率与方程 主要转化为求极限 碰到三角函数时 要记住重要的极 限 要从切线的斜率的定义出发 1 sin lim 0 x x x 课时小结 学生总结 7 这节课主要学习了曲线在一点处的切线以及切线的斜率的概念 要学会利用求极限来得 到切线的斜率以及方程 课后作业 一 课本 P114习题 3 1 6 7 二 1 预习内容 课本 P109 110瞬时速度 2 预习提纲 1 位移公式 物体的运动方程 2 位置增量 物体的位移 3 在一段时间内物体的平均速度 4 物体在时刻 t 的瞬时速度 板书设计板书设计 3 1 1 导数的概念 一 曲线的切线 1 切线 曲线 C y f x 上有两点 P x0 y0 Q x0 x y0 y 当点 Q 沿着曲线无限接近于 点 P 即 x 0 时 如果割线 PQ 有一个极限位置 PT 那么直线 PT 叫做曲线在点 P 处的 切线 2 切线的斜率 设切线 PT 的倾斜角为 那么当 x 0 时 割线 PQ 的斜率的极限 就是曲线在点 P 处的切线的斜率 即 x xfxxf x limtan 00 0 课本例题 例 曲线方程