极值点偏移---拐点偏移

1 极值点偏移问题专题 拐点偏移 例 1 已知函数 若正实数 满足 2 2lnf xxxx 1 x 2 x 12 4f xf x 求证 12 2xx 证明 注意到 1 2f 12 21f xf xf 12 21f xf xf 2 210fxx x 则 1 2 是图像的拐点 若拐点 1 2 也是 2 2 2fx x 1 0 f f x 的对称中心 则有 证明则说明拐点发生了偏移 作图如下 f x 12 2 xx 12 2xx 想到了 极值点偏移 想到了 对称化构造 类似地 不妨将此问题命名为 拐点偏移 仍可用 对称化构造 来处理 不妨设 要证 12 01xx 12 21 21 2 21 2 xx xx f xfx 11 11 42 42 f xfx f xfx 则 2F xf xfx 0 1x 2 22 212 21 2 Fxfxfx xx xx 2 1 4 110 2 x xx 得在上单增 有 得证 F x 0 1 1214F xF 2 极值点偏移 PK 拐点偏移常规套路 1 极值点偏移 0 0fx 二次函数 12120 2f xf xxxx 2 拐点偏移 0 0fx 120120 22f xf xf xxxx 极值点偏移问题专题 1 对称化构造 常规套路 例 1 2010 天津 已知函数 e x f xx 1 求函数的单调区间和极值 f x 2 已知函数的图像与的图像关于直线对称 证明 当时 g x f x1x 1x 12201 120 2 2 f xf xxxx xxx 120201 120 22 2 f xf xf xxxx xxx 3 f xg x 3 如果 且 证明 12 xx 12 f xf x 12 2xx 点评 该题的三问由易到难 层层递进 完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法 对称化构造的全过程 直观展示如下 例 1 是这样一个极值点偏移问题 对于函数 已知 e x f xx 12 f xf x 证明 12 xx 12 2xx 再次审视解题过程 发现以下三个关键点 1 的范围 1 x 2 x 12 01xx 2 不等式 21f xfxx 3 将代入 2 中不等式 结合的单调性获证结论 2 x f x 4 把握以上三个关键点 就可轻松解决一些极值点偏移问题 例 2 2016 新课标 卷 已知函数有两个零点 2 2 e1 x f xxa x 1 求的取值范围 a 2 设 是的两个零点 证明 1 x 2 x f x 12 2xx 解 1 过程略 0 2 由 1 知在上 在上 由 可设 f x 1 A 1 A 12 0f xf x 12 1xx 构造辅助函数 2F xf xfx 2 2 2 1 e21e2 1 ee xx xx Fxfxfx xaxa x 当时 则 得在上 又1x 10 x 2 ee0 xx 0Fx F x 1 A 故 即 10F 01F xx 21f xfxx 将代入上述不等式中得 又 在 1 x 121 2f xf xfx 2 1x 1 21x f x 上 故 1 A 11 2xx 12 2xx 通过以上两例 相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造的一般步骤有所了解 但极值点偏移问题的结论不一定总是 也可以是 借鉴前面 120 2xxx 2 120 x xx 的解题经验 我们就可给出类似的过程 例 3 已知函数的图像与直线交于不同的两点 lnf xxx ym 11 A x y 求证 22 B xy 12 2 1 e x x 证明 i 得在上 在上 当时 ln1fxx f x 1 0 e A 1 e A01x 当时 当时 洛必达法则 0f x 10f 1x 0f x 0 x 0f x 5 当时 于是的图像如下 得 x f x f x 12 1 01 e xx 小结 用对称化构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步 step1 求导 获得的单调性 极值情况 作出的图像 由得 f x f x 12 f xf x 的取值范围 数形结合 1 x 2 x step2 构造辅助函数 对结论 构造 对结 120 2xxx 0 2F xf xfxx 论 构造 求导 限定范围 或的范围 判