2012年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（全国卷解析版）

1 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 全国卷 解析版 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 全国卷 解析版 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷第 1 至 2 页 第 卷 第 3 至第 4 页 考试结束 务必将试卷和答题卡一并上交 第第 卷卷 注意事项 注意事项 全卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 考生注意事项 考生注意事项 1 答题前 考生在答题卡上务必用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考证 号填写清楚 并贴好条形码 请认真核准该条形码上的准考证号 姓名和科目 2 没小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用 橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效 3 第 I 卷共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 一 选择题 1 已知集合 Ax x 是平行四边形 Bx x 是矩形 Cx x 是正方形 Dx x 是菱形 则 A AB B CB C DC D AD 解析 根据四边形的定义和分类可知选 B 答案 B 2 函数1 1 yxx 的反函数为 A 0 1 2 xxy B 1 1 2 xxy C 0 1 2 xxy D 1 1 2 xxy 解析 因为1 x所以01 xy 由1 xy得 2 1yx 所以1 2 yx 所以反函数为 0 1 2 xxy 选 A 答案 B 3 若函数 sin 0 2 3 x f x 是偶函数 则 A 2 B 3 2 C 2 3 D 3 5 解析 函数 33 sin 3 sin xx xf 因为函数 33 sin x xf为偶函数 所 2 以 k 23 所以Zkk 3 2 3 又 2 0 所以当0 k时 2 3 选 C 答案 C 4 已知 为第二象限角 3 sin 5 则sin2 A 25 24 B 25 12 C 25 12 D 25 24 解析 因为 为第二象限 所以0cos 即 5 4 sin1cos 2 所以 25 12 5 3 5 4 cossin22sin 选 B 答案 B 5 椭圆的中心在原点 焦距为4 一条准线为4x 则该椭圆的方程为 A 22 1 1612 xy B 22 1 128 xy C 22 1 84 xy D 22 1 124 xy 解析 椭圆的焦距为 4 所以2 42 cc因为准线为4 x 所以椭圆的焦点在x轴上 且4 2 c a 所以84 2 ca 448 222 cab 所以椭圆的方程为 1 48 22 yx 选 C 答案 C 6 已知数列 n a的前n项和为 n S 1 1a 1 2 nn Sa 则 n S A 1 2 n B 1 2 3 n C 1 3 2 n D 1 2 1 n 解析 因为 nnn SSa 11 所以由 1 2 nn aS得 2 1nnn SSS 整理得 1 23 nn SS 所以 2 3 1 n n S S 所以数列 n S是以1 11 aS为首项 公比 2 3 q的等比数 列 所以 1 2 3 n n S 选 B 答案 B 7 6位选手依次演讲 其中选手甲不再第一个也不再最后一个演讲 则不同的演讲次序共 有 A 240种 B 360种 C 480种 D 720种 3 解析 先排甲 有 4 种方法 剩余 5 人全排列有120 5 5 A种 所以不同的演讲次序有 4801204 种 选 C 答案 C 8 已知正四棱柱 1111 ABCDABC D 中 2AB 1 2 2CC E为 1 CC的中点 则 直线 1 AC与平面BED的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 解析 连结BDAC 交于点O 连结OE 因为EO 是中点 所以 1 ACOE 且 1 2 1 ACOE 所以BDEAC 1 即直线 1 AC 与平面 BED 的距离等于点 C 到平面 BED 的距 离 过 C 做OECF 于F 则CF即为所求距离 因为底面边长为 2 高为22 所以 22 AC 2 2 CEOC 2 OE 所以利用等积法得1 CF 选 D 答案 D 9 ABC 中 AB边的高为CD 若CBa CAb 0a b 1a 2b 则 AD A 11 33 ab B 22 33 ab C 33 55 ab D 44 55 ab 解析 如图 在直角三角形中 521 ABCACB 则 5 2 CD 所以 5 4 5 4 4 22 CDCAAD 所 4 以 5 4 AB AD 即babaABAD 5 4 5 4 5 4 5 4 选 D 答案 D 10 已知 1 F 2 F为双曲线 22 2C xy 的左 右焦点 点P在C上 12 2 PFPF 则 12 cosFPF A 1 4 B 3 5 C 3 4 D 4 5 解析 双曲线的方程为1 22 22 yx 所以2 2 cba 因为 PF1 2PF2 所以 点 P 在双曲线的右支上 则有 PF1 PF2 2a 22 所以解得 PF2 22 PF1 24 所 以根据余弦定理得 4 3 24222 14 24 22 cos 22 21 PFF 选 C 答案 C 11 已知lnx 5 log 2y 1 2 ze 则 A xyz B zxy C zyx D yzx 解析 1ln x 2 1 5log 1 2log 2 5 y e ez 1 2 1 1 1 2 1 e 所以 xzy 选 D 答案 D 12 正方形ABCD的边长为1 点E在边AB上 点F在边BC上 1 3 AEBF 动 点P从E出发沿直线向F运动 每当碰到正方形的边时反弹 反弹时反射角等于入射角 当点P第一次碰到E时 P与正方形的边碰撞的次数为 A 8 B 6 C 4 D 3 解析 结合已知中的点 E F 的位置 进行作图 推理可知 在反射的过程中 直线是平行的 那么利用平行关系 作图 可以得到回到 EA 点时 需要 碰撞 6 次即可 答案 B 5 绝密 启用前 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 必修文科数学 必修 选修选修 第第 卷卷 注意事项 注意事项 1 答题前 考试在答题卡上务必用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考 证号填写清楚 并贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑 如需改动 用橡 皮擦干净后 再选涂其他答案标号 第 卷共 10 小题 每小题 3 分 共 30 分 在每小题给 出的四个选项中 只有一项符合题目要求 二二 填空题 本大题共填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 13 8 2 1 x x 的展开式中 2 x的系数为 解析 二项展开式的通项为 kkkkkk k xC x xCT 2 1 2 1 28 8 8 81 令228 k 解得 3 k 所以 2323 84 7 2 1 xxCT 所以 2 x的系数为 7 答案 7 14 若 x y满足约束条件 10 30 330 xy xy xy 则3zxy 的最小值为 解析 做出做出不等式所表示的区域如图 由 yxz 3得zxy 3 平移直线xy3 由图象可知当直线经过点 1 0 C时 直线 zxy 3的截距最 大 此时z最小 最小值为1 3 yxz 答案 1 15 当函数sin3cos 02 yxxx 取得最大值时 x 解析 函数为 3 sin 2cos3sin xxxy 当 20 x时 3 5 33 x 由三角函数图象可知 当 23 x 即 6 5 x时取得最大值 所以 6 5 x 6 答案 6 5 16 已知正方体 1111 ABCDABC D 中 E F分别为 11 BBCC 的中点 那么异面直线 AE与 1 D F所成角的余弦值为 解析 如图连接FDDF 1 则AEDF 所以DF与 FD1所成的角即为异面直线所成的角 设边长为 2 则5 1 FDDF 在三角形 FDD1中 5 3 552 455 cos 1 FDD 答案 5 3 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 注意 在试题卷上作答无效 ABC 中 内角A B C成等差数列 其对边a b c满足 2 23bac 求A 答案 7 18 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 已知数列 n a中 1 1a 前n项和 2 3 nn n Sa 求 2 a 3 a 求 n a的通项公式 答案 9 10 19 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 如图 四棱锥PABCD 中 底面ABCD为菱形 PA 底 面ABCD 2 2AC 2PA E是PC上的一点 2PEEC 证明 PC 平面BED 设二面角APBC 为90 求PD与平面PBC所成角的 大小 答案 E C BD A P 11 20 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 乒乓球比赛规则规定 一局比赛 双方比分在10平前 一方连续发球2次后 对方再连 续发球2次 依次轮换 每次发球 胜方得1分 负方得0分 设在甲 乙的比赛中 每次 发球 发球方得1分的概率为0 6 各次发球的胜负结果相互独立 甲 乙的一局比赛中 甲 先发球 12 求开始第4次发球时 甲 乙的比分为1比2的概率 求开始第5次发球时 甲得分领先的概率 答案 21 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 已知函数axxxxf 23 3 1 讨论 f x的单调