四川省德阳市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

2015年四川省德阳市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 3分，共 36分） 1已知角 的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，若点 P（ 1， ）是角 终边上一点，则 ） A B C D 2若集合 A=1， a， b， B=1， 1， 2，且 B=A，则 a+b 的值为（ ） A 3 B 1 C 0 D不能确定 3函数 f（ x） = 2x+1）的定义域为（ ） A（ 1， 3 B（ ， 3 C 3， +） D（ 1， +） 4设 a=b=c= a， b， c 的大小关系是（ ） A a b c B c b a C c a b D b c a 5根据表格中的数据，可以判定方程 x 2=0 的一个根所在的区间为（ ） x 1 0 1 2 3 x 2 1 A（ 1， 0） B（ 0， 1） C（ 1， 2） D（ 2， 3） 6已知幂函数 f（ x） =（ m 3） 下列关于 f（ x）的说法不正 确的是（ ） A f（ x）的图象过原点 B f（ x）的图象关于原点对称 C f（ x）的图象关于 y 轴对称 D f（ x） =已知 y=f（ x）是定义在 R 上的偶函数，在区间 0， +）上单调递增，且 f（ 1） =0，那么不等式 0 的解集是（ ） A x|x 1 或 1 x 0 B x|x 1 或 x 1 C x|0 x 1 或 x 1 D x| 1 x 1 且x0 8若角 满足 =3，则 ） A B 2 C D 1 9如图是函数 y=x+）（ A 0， 0， 0 2）在一个周期内的图象，则（ ） A A=2， =2， = B A=2， =2， = C A=2， = ， = D A=2， =2， = 10设函数 f（ x） = ，则 f（ +f（ ）的值等于（ ） A B 1 C 5 D 7 11定义在 R 上的函数 f（ x） = （其中 a 0，且 a1），对于任意 x1有 0 成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A ， 1） B（ ， C（ ， ） D（ ， 1） 12已知 a 0， 函数 f（ x） = 在区间 1， 4上的最大值等于 ，则 a 的值为（ ） A 或 B C 2 D 或 2 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 3分，共 12分） 13若一个扇形的圆心角为 ，所在圆的半径为 2，则这个扇形的面积为 14若 ，则 值为 15定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x+2） = f（ x），当 1x1 时， f（ x） =1 ff（ 5） 等于 16已知函数 f（ x） =xR），则下列四个说法： 函数 g（ x） = 是奇函数； 函数 f（ x）满足：对任意 0， 且 x1f（ ） f（ +f（ ； 若关于 x 的不等式 x） f（ x） +a0 在 R 上有解，则实数 a 的取值范围是（ ， ； 若关于 x 的方程 3 2f（ x） a 在 0， 恰有 4 个不相等的解 实数 a 的取值范围是 1， ），且 x1+x2+x3+； 其中说法正确的序号是 三、解答题（本大题共 6小题，共 52分） 17已知集合 A=x|a 4xa， B=x|x 1 或 x 5 （ 1）当 a=0 时，试求 AB， A B； （ 2）若 A B=B，求实数 a 的取值范围 18已知 y=f（ x）是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时， f（ x） =2x （ 1）当 x 0 时，求函数 f（ x）的解析式； （ 2）若函数 y=f（ x） （ k0）在（ ， 0）上恰有两个零点，求实数 k 的取值范围 19已知 + ） + ） = ， （ ， ）， 2 ） = ， （ ， ） （ 1）求 2+ ） 及 2+ ）的值； （ 2）求 2+2）的值 20某种产品的成本 x）（万元）与年产量 x（吨）之间的函数关系是 x） = 产品的销售单价 x）可以表示为关于年销量的一次函数，其部分图象如图所示，且生产的产品都能在当年销售完 （ 1）求 x）的解析式及定义域； （ 2）当年产量为多少吨时，所获利润 s（万元）最大（注：利润 =收入成本）；并求出 s 的最大值 21将函数 y=中 m0）的图象上的所有点向左平移 个单位，再将所得图象上所有点的横坐标压 缩到原来的 倍，纵坐标保持不变，得到了函数 y=f（ x）的图象 （ 1）写出函数 f（ x）的表达式； （ 2）当 m= 时，求函数 f（ x）的最小正周期及对称中心； （ 3）若 x ， 时，函数 f（ x）的最大值为 2，试求函数 f（ x）的最小值 22已知 f（ =x （ kR），且函数 f（ x）是定义域为 R 的奇函数，其中 a 0，且 a1 （ 1）求 k 的值； （ 2）判断函数 f（ x）的单调性，并证明你的结论； （ 3）若 f（ 1） = 时，不等式 f（ a 2x） +f（ x 0 对任意 x1， +）均成立，求实数 m 的取值范围 2015年四川省德阳市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 3分，共 36分） 1已知角 的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，若点 P（ 1， ）是角 终边上一点，则 ） A B C D 【考点】 任意角的三角函数的定义 【专题】 计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 利用三角函数的定义，即可得出结论 【解答】 解： 点 P（ 1， ） 是角 终边上一点， ， 故选： C 【点评】 本题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，比较基础 2若集合 A=1， a， b， B=1， 1， 2，且 B=A，则 a+b 的值为（ ） A 3 B 1 C 0 D不能确定 【考点】 集合的相等 【专题】 集合思想；综合法；集合 【分析】 根据集合的相等，求出 a， b 的值，相加即可 【解答】 解： 集合 A=1， a， b， B=1， 1， 2， 且 B=A， a= 1， b=2 或 a=2， b= 1， 则 a+b=1， 故选： B 【点评】 本题考查了集 合的相等问题，是一道基础题 3函数 f（ x） = 2x+1）的定义域为（ ） A（ 1， 3 B（ ， 3 C 3， +） D（ 1， +） 【考点】 函数的定义域及其求法 【专题】 计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用 【分析】 由根式内部的代数式大于等于 0，对数的真数大于 0，列不等式组，求解即可得答案 【解答】 解：由 ， 得 1 x3 函数 f（ x） = 2x+1）的定义域为：（ 1， 3 故选： A 【点评】 本题考查函数的定义域及其求法，考查了根式以及对 数函数的性质，是基础题 4设 a=b=c= a， b， c 的大小关系是（ ） A a b c B c b a C c a b D b c a 【考点】 对数值大小的比较 【专题】 数形结合；转化思想；函数的性质及应用 【分析】 由于 a=1， 0 b=1c=0，即可得出 【解答】 解： a=1， 0 b=1c=0， c b a 故选： B 【点评】 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题 5根据表格中的数据，可以判定方程 x 2=0 的一个根所在的区间为（ ） x 1 0 1 2 3 x 2 1 （ 1， 0） B（ 0， 1） C（ 1， 2） D（ 2， 3） 【考点】 二分法的定义 【专题】 计算题；函数思想；定义法；函数的性质及 应用 【分析】 本题考查的是方程零点存在的大致区间的判断问题在解答时，应先将方程的问题转化为函数零点大致区间的判断问题，结合零点存在性定理即可获得解答 【解答】 解：令 f（ x） =x 2， 由表知 f（ 1） =3 0， f（ 2） =4 0， 方程 x 2=0 的一个根所在的区间为（ 1， 2） 故选： C 【点评】 本题考查的是方程零点存在的大致区间的判断问题在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、问题转化的思想以及数据处理的能力值得同学们体会和反思 6已知幂函数 f（ x） =（ m 3） 下列关于 f（ x）的说法不正确的是（ ） A f（ x）的图象过原点 B f（ x）的图象关于原点对称 C f（ x）的图象关于 y 轴对称 D f（ x） =考点】 幂 函数的概念、解析式、定义域、值域 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 根据幂函数的定义求出 f（ x）的解析式，判断四个选项是否正确即可 【解答】 解： f（ x） =（ m 3） m 3=1，解得 m=4， 函数解析式是 f（ x） = 且当 x=0 时， y=f（ 0） =0，即函数 f（ x）的图象过原点， 又函数 f（ x）的图象关于 y 轴对称； 选项 A、 C、 D 正确， B 错误 故选： B 【点评】 本题考查了幂函数的定义以及幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目 7已知 y=f（ x）是定义在 R 上的偶函数 ，在区间 0， +）上单调递增，且 f（ 1） =0，那么不等式 0 的解集是（ ） A x|x 1 或 1 x 0 B x|x 1 或 x 1 C x|0 x 1 或 x 1 D x| 1 x 1 且x0 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【专题】 计算题；数形结合；转化思想；函数的性质及应用 【分析】 根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集 【解答】 解： 偶函数 f（ x）在 0， +）上为增函数， f（ 1） =0， 对应的图象如图： K 不等式 0 等价为 或 ， 即 1 x 0 或 x 1， 即不等式的解集为 x|x 1 或 1 x 0， 故选： A 【点评】 本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用 8若角 满足 =3，则 ） A B 2 C D 1 【考点】 三角函数的化简求值 【专题】 计算题；方程思想；数学模型法；三角函数的求值 【分析】 利用诱导公式化简已知三角等式，化弦为切求得答案 【解答】 解：由 =3，得 ， 分子分母同时除以 ， 解得： 故选： D 【点评】 本题考查三角函数的化简与求值，熟记三角函数的诱导公式是关键，是基础题 9如图是函数 y=x+）（ A 0， 0， 0 2）在一个周期内的图象，则（ ） A A=2， =2， = B A=2， =2， = C A=2， = ， = D A=2， =2， = 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【专题】 数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质 【分析】 由图象易得 A 值，由周期公式可得 ，代点结合角的范围可得 值 【 解答】 解：由图象可得 A=2，周期 T= =2 （ ） ，解得 =2， y=22x+），代点（ ， 2）可得 2=2 +）， +） =1， +=2， 解得 =2， kZ，结合 0 2可得 = 故选： B 【点评】 本题考查三角函数的图象和解析式，属基础题 10设函数 f（ x） = ，则 f（ +f（ ）的值等于（ ） A B 1 C 5 D 7 【考点】 函数的值 【专题】 计算题；函数思想；函数的性质及应用 【分析】 化简 f（ +f（ ） = + ，从而解得 【解答】 解： 0， 0， f（ +f（ ） = + =6+1=7， 故选： D 【点评】 本题考查了分段函数的应用及对数运算的应用 11定义在 R 上的函数 f（ x） = （其中 a 0，且 a1），对于任意 x1有 0 成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A ， 1） B（ ， C（ ， ） D（ ， 1） 【考点】 分段函数的应用 【专题】 计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用 【分析】 由题意可得 f（ x）在 R 上 递减运用一次函数和对数函数的单调性，结合 x=1 的情况，解不等式即可得到所求范围 【解答】 解：任意 x1 0 成立， 即为 f（ x）在 R 上递减 当 x（ ， 1时， f（ x） =（ 1 2a） x+ 递减， 可得 1 2a 0，解得 a ； 当 x（ 1， +）时， f（ x） =减， 可得 0 a 1； 由 R 上递减，可得 1 2a+ ， 解得 a 综上可得， a 故选： B 【点评】 本题考查分段函数的单调性的判断和运用，考查单调性的定义的运用，注意分界点的运用，考查运算能 力，属 于中档题和易错题 12已知 a 0，函数 f（ x） = 在区间 1， 4上的最大值等于 ，则 a 的值为（ ） A 或 B C 2 D 或 2 【考点】 函数的最值及其几何意义 【专题】 计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用 【分析】 讨论 x 2a 在区间 1， 4上恒大于零，恒小于零，既有大于零又有小于零对应的 f（ x）的最大值是什么，求出 a 的值 【解答】 解：（ 1）当 x 2a 在区间 1， 4上恒大于零时， 由 x 2a 0，可得 a ； 当 x=1 时，满足 x 2a 在 1， 4上恒大于零，即 a ； 此时函数 f（ x） = =1 ， 该函数在定义域 1， 4上为增函数，在 x=4 时，取最大值 f（ 4） = ， a= ，不满足 a 的假设，舍去 （ 2）当 x 2a 在区间 1， 4上恒小于零时， x 2a 0， a ； 当 x=4 时，满足 x 2a 在 1， 4上恒小于零，即 a 2； 此时函数 f（ x） = = 1， 该函数在定义域 1， 4上为减函数，在 x=1 时，取最大值 f（ 1） = ， a= ，不满足 a 2 的假设，舍去 （ 3）由前面讨论知，当 a 2 时， x 2a 在区间 1， 4上既有大 于零又有小于零时， 当 x 2a 时， x 2a 0，此时函数 f（ x） = 1 在 1， 2a）上为减函数， 在 x=1 时，取到最大值 f（ 1） = ； 当 x 2a 时， x 2a 0此时函数 f（ x） =1 在（ 2a， 4时为增函数， 在 x=4 时，取到最大值 f（ 4） = ； 总之，此时函数在区间 1， 4上先减后增，在端点处取到最大值； 当函数在 x=1 处取最大值时，解得 a= ，此时函数 f（ x） = ， 将函数的另一个最大值点 x=4 代入得： f（ 4） = ， f（ 1） f（ 4）， 满足条件； 当函数在 x=4 处取最大值时，解得 a= ，此时函数 f（ x） = ， 将函数的另一个最大值点 x=1 代入得： f（ 1） = ， f（ 1） f（ 4）， 满足条件； a= 或 a= ； 故选： A 【点评】 本题考查了含有绝对值的函数在某一闭区间上的最值问题，注意运用分类讨论的思想方法，运用单调性解决，是易错题 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 3分，共 12分） 13若一个扇形的圆心角为 ，所在圆的半径为 2，则这个扇形的面积为 【考点】 扇形面积公式 【专题】 函数思想；综合法；三角函数的求值 【 分析】 由题意可得扇形的弧长，代入扇形的面积公 式计算可得 【解答】 解：由题意可得 = ， r=2， 扇形的弧长 l=r= ， 扇形的面积 S= ， 故答案为： 【点评】 本题考查扇形的面积公式和弧长公式，属基础题 14若 ，则 值为 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由条件利用同角三角函 数的基本关系，求得 值 【解答】 解： ，则平方可得 1 2， 求得 ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题 15定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x+2） = f（ x），当 1x1 时， f（ x） =1 ff（ 5） 等于 1 【考点】 函数的值 【专题】 计算题；函数思想；函数的性质及应用 【分析】 化简 f（ 5） = f（ 3） =f（ 1） =0，从而解得 【解答】 解： f（ x+2） = f（ x）， f（ 5） = f（ 3） =f（ 1） =0， ff（ 5） =f（ 0） =1 0=1， 故答案为： 1 【点评】 本题考查了函数的周期性 的变形应用及复合函数的应用 16已知函数 f（ x） =xR），则下列四个说法： 函数 g（ x） = 是奇函数； 函数 f（ x）满足：对任意 0， 且 x1f（ ） f（ +f（ ； 若关于 x 的不等式 x） f（ x） +a0 在 R 上有解，则实数 a 的取值范围是（ ， ； 若关于 x 的方程 3 2f（ x） a 在 0， 恰有 4 个不相等的解 实数 a 的取值范围是 1， ），且 x1+x2+x3+； 其中说法正确 的序号是 【考点】 命题的真假判断与应用；正弦函数的图象 【专题】 综合题；函数思想；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】 求出函数 g（ x）的定义域，由定义域不关于原点对称判断函数为非奇非偶函数； 利用三角函数的和差化积判断； 利用换元法，把不等式转化为一元二次不等式求解； 利用换元法，把函数转化为一元二次函数进行零点判断 【解答】 解：对于 ，由 f（ x） 1，得 f（ x） 1， ，即 ， 则函数 g（ x） = 的定义域为 x| ，函数为非奇非偶函数，故 错误； 对于 ，对任意 0， 且 x1 f（ ） = f（ +f（ = = 故 错误； 对于 ，令 f（ x） =t（ 1t1）， 关于 x 的不等式 x） f（ x） +a0 在 R 上有解，即 t+a0 在 1， 1上有解， 则 ，即 a ， 实数 a 的取值范围是（ ， ，故 正确； 对于 ，关于 x 的方程 3 2f（ x） a 在 0， 恰有 4 个不相等的解 即 2+a=0 在 0， 恰有 4 个不相等的解 x0， ， 0， 1，设 t= t0， 1， 2t+1+a=0 由于 0， 1）内的一个 t 值对应了 0， 内的 2 个 x 值， 则由题意可得，关于 t 的方程 f（ t） =2t+1+a=0 在 0， 1）上有两个不等根 则 ，解得 1 ，此时 x1+x2+x3+，故 正确 正确的命题是 故答案为： 【点评】 本题考查命题的真假判断与应用，考查了与正弦函数有关的复合函数的性质判断，考查了复合函数的零点判断，是中档题 三、解答题（ 本大题 共 6小题，共 52分） 17已知集合 A=x|a 4xa， B=x|x 1 或 x 5 （ 1）当 a=0 时，试求 AB， A B； （ 2）若 A B=B，求实数 a 的取值范围 【考点】 集合的包含关系判断及应用；交集及其运算 【专题】 计算题；集合思想；综合法；集合 【分析】 （ 1）当 a=0 时，求出集合 A= 4， 0，则 AB， A B 可求； （ 2）由 A B=B，可得 AB，则 a 1 或 a 4 5，求解即可得到实数 a 的取值范围 【解答】 解：（ 1）当 a=0 时，集合 A= 4， 0， B=x|x 1 或 x 5， 则 AB= 4， 0x|x 1 或 x 5= 4， 1）， A B= 4， 0 x|x 1 或 x 5=（ ， 0 （ 5， +）； （ 2）由 A B=B，可得 AB， a 1 或 a 4 5 解得 a 1 或 a 9 故实数 a 的取值范围是：（ ， 1） （ 9， +） 【点评】 本题考查了集合的包含关系判断及应用，考查了交集及并集运算，是基础题 18已知 y=f（ x）是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时， f（ x） =2x （ 1）当 x 0 时，求函数 f（ x）的解析式； （ 2）若函数 y=f（ x） （ k0）在（ ， 0）上恰有两个零点，求实数 k 的取值范围 【考点】 函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法 【专题】 计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 （ 1）利用偶函数的定义求函数解析式； （ 2）由题意， x =0）在（ ， 0）上恰有两个不等根，可得不等式，即可求实数 k 的取值范围 【解答】 解：（ 1）当 x 0 时， x 0， f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时， f（ x） =2x， f（ x） =f（ x） =x； （ 2）由题意， x =0） 在（ ， 0）上恰有两个不等根， 则 ， k 2 【点评】 本题考查了函数奇偶性的应用，考查函数的零点，属于中档题 19已知 + ） + ） = ， （ ， ）， 2 ） = ， （ ， ） （ 1）求 2+ ）及 2+ ）的值； （ 2）求 2+2）的值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数 【专题】 整体思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 （ 1）使用二倍角公式求出 2+ ），判断出 2+ 的范围，使用同角三角函数的关系求出 2+ ）； （ 2）使用和角的余弦公式计算 【解答】 解：（ 1） 2+ ） =2+ ） + ） = （ ， ）， 2+ （ ， ）， 2+ ） = = = （ 2） （ ， ）， 2 （ ， ）， 2 ） = = 2+2） = 2+ ） +（ 2 ） =2+ ） 2 ） 2+ ） 2 ） = = 【点评】 本 题考查了三角函数的恒等变换，两角和的余弦公式，观察角的特点是解题关键 20某种产品的成本 x）（万元）与年产量 x（吨）之间的函数关系是 x） = 产品的销售单价 x）可以表示为关于年销量的一次函数，其部分图象如图所示，且生产的产品都能在当年销售完 （ 1）求 x）的解析式及定义域； （ 2）当年产量为多少吨时，所获利润 s（万元）最大（注：利润 =收入成本）；并求出 s 的最大值 【考点】 函数解析式的求解及常用方法；函数的图象 【专题】 数形结合；转化思想；待定系数法；函数的性质 及应用 【分析】 （ 1）由题意可设： x） =kx+b（ k0），由于图象经过点（ 0， 3），（ 100， 2）代入解出即可得出令 x） 0，解得函数的定义域 （ 2）设年产量为 x 吨， s=xx） x） = （ x 75） 2+ ，利用二次函数的单调性即可得出 【解答】 解：（ 1）由题意可设： x） =kx+b（ k0），由于图象经过点（ 0， 3），（ 100， 2） ，解得 ， x） = +3，令 x） = +3 0，解得 0 x 300，其定义域为（ 0， 300） （ 2）设年产量为 x 吨， s=xx） x） = +3x= （ x75） 2+ ， 当 x=75 时， s 取得最大值 （万元） 【点评】 本题考查了一次函数与二次函数的图象与性质 ，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 21将函数 y=中 m0）的图象上的所有点向左平移 个单位，再将所得图象上所有点的横坐标压缩到原来的 倍，纵坐标保持不变，得到了函数 y=f（ x）的图象 （ 1）写出函数 f（ x）的表达式； （ 2）当 m= 时，求函数 f（ x）的最小正周期及对称中心； （ 3）若 x ， 时，函 数 f（ x）的最大值为 2，试求函数 f（ x）的最小值 【考点】 函数 y=x+）的图象变换；正弦函数的图象 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】 （ 1）由调件利用 y=x+）的图象变换规律，求得函数 f（ x）的表达式 （ 2）由条件利用正弦函数的周期性，正弦函数的图象的对称性，得出结论 （ 3）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得函数 f（ x）的最小值 【解答】