江西省南昌市2015-2016学年高一下期中数学试卷含答案解析

第 1 页（共 13 页） 2015年江西省南昌市高一（下）期中数学试卷 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A= 2， 1， 0， 1， B=x| 2x 1，则 AB=（ ） A 1， 0 B 1， 0， 1 C 2， 1， 0 D 2， 1， 1 2设函数 f（ x） = ，则 ff（ 3） 等于（ ） A 1 B 1 C 5 D 5 3函数 y= （ ） A最小正周期为 2的偶函数 B最小正周期为 2的奇函数 C最小正周期为 的偶函数 D最小正周期为 的奇函数 4已知 b a c，则（ ） A a b c B c a b C b a c D b c a 5函数 f（ x） =2x 1+x 5 的零点所在的区间为（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 6要得到函数 y=x ）的图象，只需将函数 y=图象（ ） A向左平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向右平移 个单位 7在数列 ， ， =， 前 n 项和，若 00，则 n 等于（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 8设 a， bR，且 a b，则下列结论中正确的是（ ） A l B C |a| |b| D 下列表达式中，正确的是（ ） A +） = +） = ） = ） =0函数 f（ x） =3x+）的部分图象如图，则 f（ x）的单调递增区间为（ ）A（ ， ）， k 2， 2）， kZ C（ 2k ， 2k ）， kZ D（ k ， k ）， kZ 第 2 页（共 13 页） 11已知等比数列 ， 3n 1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前 n 项和 ） A 3n 1 B 3（ 3n 1） C D 12菱形 长为 2， 20，点 E， F 分别别在 ， = ， = ，若 =1， = ，则 +=（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 13 8 = 14不等式 0 的解集是 15函数 y=最大值为 16设 x 0， y 0，若 等差中项，则 + 的最小值为 三、解答题：本大题共 6个题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17向量 =（ 4， 3）， =（ 2x， y）， =（ x+ ， 2），已知 ， ，求 x， y 的值 18已知函数 f（ x） = 的定义域是集合 A，函数 g（ x） =x a）的定义域是集合 B （ 1）求集合 A、 B； （ 2）若 C=x|2 1，求 AC 19已知函数 f（ x） =b中 a， b 为正实数且 a1）的图象经过点 A（ 1， 27）， B（ 1，3） （ 1）试求 a、 b 的值； （ 2）若不等式 ax+bxm 在 x1， +）时恒成立，求实数 m 的取值范围 20在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 a （ 1）求角 B 的大小； （ 2）若 b=3， 别求 a 和 c 的值 21已知等比数列 满足 a1+， a2 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）求数列 （ 2n 1） 前 n 项和 22某渔业公司年初用 98 万元 购买一艘捕鱼船，第一年各种费用 12 万元，以后每年都增加4 万元，每年捕鱼收益 50 万元 （ 1）问第几年开始获利？ （ 2）若干年后，有两种处理方案： 年平均获利最大时，以 26 万元出售该渔船； 第 3 页（共 13 页） 总纯收入获利最大时，以 8 万元出售该渔船 问哪种方案更合算？ 第 4 页（共 13 页） 2015年江西省南昌市高一（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A= 2， 1， 0， 1， B=x| 2x 1，则 AB=（ ） A 1， 0 B 1， 0， 1 C 2， 1， 0 D 2， 1， 1 【考点】 交集及其运算 【分析】 由 A 与 B，求出两集合的交集即可 【解答】 解： A= 2， 1， 0， 1， B=x| 2x 1， AB= 2， 1， 0， 故选： C 2设函数 f（ x） = ，则 ff（ 3） 等于（ ） A 1 B 1 C 5 D 5 【考点】 函数的值 【分析】 根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可 【解答】 解： f（ 3） =32 3 5=9 3 5=1， f（ 1） =1 2= 1， 即 ff（ 3） =f（ 1） = 1， 故选： A 3函数 y=（ ） A最小正周期为 2的偶函数 B最小正周期为 2的奇函数 C最小正周期为 的偶函数 D最小正周期为 的奇函数 【考点】 三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性 【分析】 根据三角函数的周期公式算出最小正周期 T=，结合正弦函数的奇偶性即可得到本题答案 【解答】 解： 函数 y= =2 最小正周期为 T= = 又 y=足 f（ x） = f（ x） 函数 y=奇函数 因此，函数 y=最小正周期为 的奇函数 故选： D 4已知 b a c，则（ ） A a b c B c a b C b a c D b c a 【考点】 对数值大小的比较 第 5 页（共 13 页） 【分析】 直接利用对数函数的单调性结合已 知得答案 【解答】 解： 函数 y= 是减函数， 由 b a c， 得 c a b 故选： B 5函数 f（ x） =2x 1+x 5 的零点所在的区间为（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 根据零点的判定定理，对选项 逐一验证即可 【解答】 解： f（ 0） f（ 1） =（ ）（ 1+1 5） 0，排除 A f（ 1） f（ 2） =（ 1+1 5）（ 2+2 5） 0，排除 B f（ 2） f（ 3） =（ 2+2 5）（ 4+3 5） 0，一定有零点 故选 C 6要得到函数 y=x ）的图象，只需将函数 y=图象（ ） A向左平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向右平移 个单位 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由条件利用 y=x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】 解：将函数 y=图象向右平移 个单位，可得函数 y=x ） 的图象， 故选： B 7在数列 ， ， =， 前 n 项和，若 00，则 n 等于（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 【考点】 数列的求和 【分析】 由已知可得数列 首项为 1，公差为 2 的等差数列，求出其前 n 项和后得答案 【解答】 解：由 ， =，得数列 首项为 1，公差为 2 的等差数列， 则 ， 由 00，得 n=10 故选： D 8设 a， bR，且 a b，则 下列结论中正确的是（ ） A l B C |a| |b| D 考点】 不等式的基本性质 第 6 页（共 13 页） 【分析】 对于 A， B， C，举反例即可判断，对于 D，根据幂函数的性质即可判断 【解答】 解：对于 A，若 a=1， b= 1，则 1，故 A 不成立， 对于 B，若 a=1， b= 1，则 ，故 B 不成立， 对于 C，若 a=1， b= 1，则 |a|=|b|，故 C 不成立， 对于 D，对于幂函数 y= D 成立， 故选： D 9下列表达式中，正确的是（ ） A +） = +） = ） = ） =考点】 两角和与差的余弦函数 【分析】 由条件根据根据两角和差的正弦、余弦公式，得出结论 【解答】 解：根据两角和差的正弦、余弦公式可得， +） = 而 +） = ） = ） = 故选： A 10函数 f（ x） =3x+）的部分图象如图，则 f（ x）的单调递增区间为（ ）A（ ， ）， k 2， 2）， kZ C（ 2k ， 2k ）， kZ D（ k ， k ）， kZ 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，再利用正弦函数的单调性，求得 f（ x）的增区间 【解答】 解：根据函数 f（ x） =3x+）的部分图象，可得 = ，求得 = 再根据五点法作图可得 +=，求得 = ， （ x） =3x+ ） 令 2x+ 2，求得 2k x2k ，故函数的增区间为 2k ， 2k ），kZ， 故选： C 11已知等比数列 ， 3n 1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前 n 项和 ） 第 7 页（共 13 页） A 3n 1 B 3（ 3n 1） C D 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 求出等比数列 的第二项和第四项，求得新数列的公比，由等比数列的求和公式，即可得到所求 【解答】 解：等比数列 ， 3n 1， 即有 ， 4， 则新数列的公比为 9， 即有 = 故选： D 12菱形 长为 2， 20，点 E， F 分别别在 ， = ， = ，若 =1， = ，则 +=（ ） A B C D 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【分析】 利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由若 =1，求得 4+4 2=3 ；再由 = ，得 2 2+2= ，结合 求得 +的值 【解答】 解：由题意可得 = = + + =22 + = 2+4+4+22=4+4 2 2=1， 4+4 2=3 = （ ） =（ 1 ） =（ 1 ） （ 1 ） （ 1 ）（ 1 ） 22（ 1 +）（ 2） = ， 即 2 2+2= ， 由 求得 += ， 故选： C 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 第 8 页（共 13 页） 13 8 = 2 【考点】 对数的运算性质 【分析】 利用对数的运算法则及有理数指数幂的运算法 则即可求得 【解答】 解：原式 =49） =2 22= 2 故答案为： 2 14不等式 0 的解集是 【考点】 其他不等式的解法 【分析】 解不等式转化为不等式组，解出即可 【解答】 解：原不等式可化为： 或 ， 解得： x ， 故答案为： 15函数 y=最大值为 2 【考点】 两角和与差的正弦函数 【分析】 变形可得 y=2（ =2x ），易得最值 【解答】 解：化简可得 y=2（ =2（ =2x ） 当 x ） =1 时，原函数取最大值 2 故答案为： 2 16设 x 0， y 0，若 等差中项，则 + 的最小值为 【考点】 基本不等式；对数的运算性质 【分析】 由已知结合等差中项的概念求得 ，再 利用不等式的性质求得 + 的最小值 【解答】 解： 等差中项， 则 第 9 页（共 13 页） 则 + 故答案为： 三、解答题：本大题共 6个题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17向量 =（ 4， 3）， =（ 2x， y）， =（ x+ ， 2），已知 ， ，求 x， y 的值 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算 【分析】 由已知向量的坐标，结合向量共线与垂直的坐标表示列关于 x， y 的方程组，求解方程组得答案 【解答】 解： =（ 4， 3）， =（ 2x， y）， =（ x+ ， 2）， 由已知 a b， a c， 可得 ， 解得： x=6， y= 9 18已知函数 f（ x） = 的定义域是集合 A，函数 g（ x） =x a）的定义域是集合 B （ 1）求集合 A、 B； （ 2）若 C=x|2 1，求 AC 【考点】 交集及其运算；函数的定义域及其求法 【 分析】 根据函数的定义域的求法，求出集合 A， B， C，再根据交集的定义即可求出 【解答】 解：（ 1）因为（ 1+x）（ 2 x） 0 所以 1x2，集合 A=x| 1x2； 因为 x a 0，所以 x a，集合 B=x|x a （ 2）因为 ， 所以 2x 3 0 解得： x| 1 x 3， 则 AC=x| 1 x2 19已知函数 f（ x） =b中 a， b 为正实数且 a1）的图象经过点 A（ 1， 27）， B（ 1，3） （ 1）试 求 a、 b 的值； （ 2）若不等式 ax+bxm 在 x1， +）时恒成立，求实数 m 的取值范围 【考点】 指数函数的图象与性质；函数恒成立问题 【分析】 （ 1）根据点 A、 B 在图象列出方程组，求出 a、 b 的值； （ 2）由（ 1）可得 m3x+9x，令 u（ x） =3x+9x，由指数函数的单调性判断出函数 u（ x）在1， +）上单调性，求出 u（ x） 恒成立求出实数 m 的取值范围 第 10 页（共 13 页） 【解答】 解：（ 1）由已知可得， ， 解得 a=3， b=9 （ 2）由（ 1）可得 m3x+9x， x1， +）， 令 u=（ x） 3x+9x， x1， +），只需 m 因为函数 u（ x） =3x+91， +）为单调增函数， 所以 u（ x） 2， 即实数 m 的取值范围是： m|m12 20在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 a （ 1）求角 B 的大小； （ 2）若 b=3， 别求 a 和 c 的值 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ 1）由 a正弦定理可得： 简整理即可得出 （ 2）由 得 c=2a，由余弦定理可得： b2=a2+2入计算即可得出 【解答】 解：（ 1） a正弦定理可得： ， B（ 0， ）， 可知： ，否则矛盾 ， B= （ 2） c=2a， 由余弦定理可得： b2=a2+2 9=a2+ 把 c=2a 代入上式化为： ，解得 a= ， 21已知等比数列 满足 a1+， a2 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）求数列 （ 2n 1） 前 n 项和 【考点】 数列的求和；等比数列的通项公式 【分析】 （ 1）由已知求得 值，进一步求得公比，代入等比数列的通项公式得答案； （ 2）直接利用错位相减法求数列 （ 2n 1） 前 n 项和 【解答】 解：（ 1）在等比数列 ， ， ， 解得： 或 （舍去）， ，得 q=2， 第 11 页（共 13 页） ； （ 2）设 ， 则 Tn=c1+c2+32+522+（ 2n 1） 2n 1， ， 由 得： =1+22+23+2n（ 2n 1） 2n =2+22+23+2n（ 2n 1） 2n 1 = ， 22某渔业公司年初用 98 万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用 12 万元，以后每年都增加4 万元，