山西省太原市2016届高三(上)期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2015年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1已知全集 U=Z，集合 A=3， 4， A B=1， 2， 3， 4，那么（ B=（ ） A 1， 2 B 3， 4 C 1， 2， 3， 4 D 2已知复数 z= ，则 |z|等于（ ） A 1 B 2 C D 3已知命题 p： x 0， x+ 4；命题 q： R， 2 1则下列判断正确的是（ ） A p 是假命题 B q 是真命题 C p （ q）是真命题 D（ p） q 是真命题 4设 a=b=c=则（ ） A a b c B c a b C b c a D c b a 5执行如图的程序框图输出的 T 的 值为（ ） A 4 B 6 C 8 D 10 6函数 y=|（ 0 x ）的图象大致是（ ） A B C D 7设变量 x， y 满足 |x a|+|y a| 1，若 2x y 的最大值为 5，则实数 a 的值为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 8某几何体三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（ ） 第 2 页（共 21 页） A 16 B 16+ C 16 2 D 16+2 9已知函数 f（ x） =ax+b（ a 0， b 0）有两个不同的零点 m， n，且 m， n 和 2 三个数适当排序后，即可成为等差数列，也可成为等比数列，则 a+b 的值为（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 10已知平面内点 A， B， O 不共线， ，则 A， P， B 三点共线的必要不充分条件是（ ） A = B |=| C = D =1 11在四面体 ，已知 0， D=3， ，则四面体外界球的半径为（ ） A B 2 C 3 D 12已知函数 f（ x）在 R 上的导函数为 f（ x），若 f（ x） 2f（ x）恒 成立，且 f（ =2，则不等式 f（ x） e 的解集是（ ） A（ +） B（ 2+） C（ ， D（ ， 2 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分 0 分 . 13（ ） 6 的展开式中，常数项为 （用数字作答） 14若 a b c，且 a+2b+c=0，则 的取值范围是 15定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x+6） =f（ x）当 3 x 1 时，当 f（ x） =（ x+2）2，当 1 x 3 时 f（ x） =x，则 f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +f 如图，正方形 边长为 2， O 为 中点，射线 发，绕着点 O 顺时针方向旋转至 旋转的过程中，记 x（ x 0， ）， 经过正方形 的区域（阴影部分）的面积 S=f（ x），那么对于函数 f（ x）有以下三个结论： f（ ） = ； 任意 x 0， ，都有 f（ x） +f（ +x） =4； 任意 （ ， ），且 有 0 其中所有正确结论的序号是 第 3 页（共 21 页） 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17设数列 各项均为正数的等比数列，且 ， a2+6 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）若数列 任意的正整数 n 都有 + + + =2n+1，求 b1+b2+值 18已知 a， b， c 分别为 角 A， B， C 的对边，且 cb （ 1）其 的值； （ 2）若 等差数列，求 的值 19已知平行四边形 ， A=45，且 D=1，将 起，使得平面平面 图所示： （ 1）求证： （ 2）若 M 为 中点，求二面角 A C 的余弦值 20某校高一年级开设 A， B， C， D， E 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选 A 课程，不选 B 课程，另从其余课程中随机任选两门课程乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程 （ ）求甲同学选中 C 课程且乙同学未选中 C 课程的概率； （ ）用 X 表示甲、乙、丙选中 C 课程的人数之和，求 X 的分布列和数学期望 21函数 f（ x） =1 x）（ x 0， n N*），当 n= 2 时， f（ x）的极大值为 （ 1）求 a 的值； （ 2）求证： f（ x） +0； （ 3）求证： f（ x） 请在 22、 23、 24 三体中任选一题作答，注意：只能做选做给定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分 选修 4何证明选讲 第 4 页（共 21 页） 22如图，四边形 接于 O， 延长线相交于点 E， 与 ， O 于 G （ 1）求证： F=F； （ 2）求证： G 选修 4标系与参数方程 23已知曲线 参数方程为 ，当 t= 1 时，对应曲线 一点A，且点 A 关于原点的对称点为 B以原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 极坐标方程为 （ 1）求 A， B 两点的极坐标； （ 2）设 P 为曲线 的动点，求 |+| 的最大值 选修 4不等式选讲 24设函数 f（ x） =|x 2| 2|x+1| （ 1）求 f（ x）的最大值； （ 2）若 f（ x） +m 恒成立，求 m 的取值范围 第 5 页（共 21 页） 2015年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1已知全集 U=Z，集合 A=3， 4， A B=1， 2， 3， 4，那么（ B=（ ） A 1， 2 B 3， 4 C 1， 2， 3， 4 D 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 根据集合与它的补集关系，利用并集与交集的定义，即可求出结果 【解答】 解： 全集 U=Z，集合 A=3， 4， A B=1， 2， 3， 4， （ B=1， 2 故选： A 2已知复数 z= ，则 |z|等于（ ） A 1 B 2 C D 【考点】 复数求模 【分析】 利用复数代数形式的 乘除运算化简，然后代入复数模的公式计算 【解答】 解： z= = ， |z|=1 故选： A 3已知命题 p： x 0， x+ 4；命题 q： R， 2 1则下列判断正确的是（ ） A p 是假命题 B q 是真命题 C p （ q）是真命题 D（ p） q 是真命题 【考点】 特称命题；全称命题 【分析】 首先，判断命题 p 和命题 q 的 真假，然后，结合由逻辑联结词 “且 ”、 “或 ”、 “非 ”构成的复合命题的真值表进行判断即可 【解答】 解：对于命题 p： x 0， x+ 2 =4， 命题 p 为真命题； 对于命题 q： 对 x R， 2x 0， 命题 q 为假命题， q 为真命题， 故只有选项 C 为真命题 故选： C 第 6 页（共 21 页） 4设 a=b=c=则（ ） A a b c B c a b C b c a D c b a 【考点】 对数值大小的比较；运用诱导公式化简求值 【分析】 利用指数函数、对数函数与三角函数的单调性即可得出 【解答】 解： a=1， 0 b=1， c= 0， a b c 故选： D 5执行如图的程序框图输出的 T 的值为（ ） A 4 B 6 C 8 D 10 【考点】 循环结构 【分析】 根据框图的流程依次 计算程序运行的结果，直到满足条件 S 15，计算输出 T 的值 【解答】 解：由程序框图知：第一次运行 S=0+0+1=1， T=0+2=2； 第二次运行 S=1+2 2+1=6， T=2+2=4； 第三次运行 S=6+2 4+1=15 15， T=4+2=6； 满足条件 S 15，程序终止运行，输出 T=6， 故选： B 6函数 y=|（ 0 x ）的图象大致是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 对函数去掉绝对值符号，再结合余弦函数的图象，进而画出函数 y=|（ 0 x ）的图象即可 第 7 页（共 21 页） 【解答】 解： 函数 y=|（ 0 x ）， 函数 y= ， 根据余弦函数的图象可得其图象为： 故选： B 7设变量 x， y 满足 |x a|+|y a| 1，若 2x y 的最大值为 5，则实数 a 的值为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 绝对值三角不等式 【分析】 满足条件的点（ x， y）构成趋于为平行四边形及其内部区域，令 z=2x y，显然当直线 y=2x z 过点 C（ 1+a， a）时， z 取得最大值为 5，即 2（ 1+a） a=5，由此求得 a 的值 【解答】 解：设点 M（ a， a） 则满足 |x a|+|y a| 1 的点（ x， y） 构成区域为平行四边形及其内部区域，如图所示： 令 z=2x y，则 z 表示直线 y=2x z 在 y 轴上的截距的相反数， 故当直线 y=2x z 过点 C（ 1+a， a）时， z 取得最大值为 5， 即 2（ 1+a） a=5，解得 a=3 故选： D 8某几何体三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（ ） 第 8 页（共 21 页） A 16 B 16+ C 16 2 D 16+2 【考点】 由三视图 求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，求出底面周长和面积，进而可得该几何体的表面积 【解答】 解：由三视图可知：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体， 底面面积 S 底 =2 2 2 =4 ， 底面周长 C=4 1+2 2 1=4+， 由该几何体的高 h=2， 故该几何体的侧面积 S 侧 =+2， 故该几何 体的表面积 S=S 侧 +2S 底 =16+， 故选： B 9已知函数 f（ x） =ax+b（ a 0， b 0）有两个不同的零点 m， n，且 m， n 和 2 三个数适当排序后，即可成为等差数列，也可成为等比数列，则 a+b 的值为（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 【考点】 函数零点的判定定理；二次函数的性质 【分析】 由一元二次方程根与系数的关系得到 m+n=a， mn=b，再由 m， n， 2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于 m， n 的方程组，求得 m， n 后得答案 【解答】 解：由题意可得： m+n=a， mn=b， a 0， b 0， 可得 m 0， n 0， 又 m， n， 2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， 可得 或 解 得： m=4， n=1；解 得： m=1， n=4 a=5， b=4， 则 a+b=9 故选： C 10已知平面内点 A， B， O 不共线， ，则 A， P， B 三点共线的必要不充分条件是（ ） A = B |=| C = D =1 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【分析】 利用平面向量共线定理，将 用 表示出来，再用 ， 将 表示出来，进而根据题干信息推出 A， B， P 三点共线的充要条件 【解答】 解： A， B， P 三 点共线， 存在一个数 m，满足 即 m（ ） = 第 9 页（共 21 页） A， B， O 三点不共线 m =0， m+=0 即 = = m A， B， P 三点共线的充要条件为 = A， B， P 三点共线的必要不充分条件为 |=| 故选： B 11在四面体 ，已知 0， D=3， ，则四面体外界球的半径为（ ） A B 2 C 3 D 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 设四面体 外接球球心为 O，则 O 在过 外心 N 且垂直于平面 点 N 为 中心设 P， M 分别为 中 点，则 N 在 ，且而可求 而可求四边形 外接圆的直径，即可求得球 O 的半径 【解答】 解：设四面体 外接球球心为 O，则 O 在过 外心 N 且垂直于平面 垂线上 由题设知， 正三角形，则点 N 为 中心 设 P， M 分别为 中点，则 N 在 ，且 因为 0，设 平面 成角为 ， ， 在 ， =1， = 由余弦定理得 = 四边形 外接圆的半径 = 故球 O 的半径 R= 故选： D 12已知函数 f（ x）在 R 上的导函数为 f（ x），若 f（ x） 2f（ x）恒成立，且 f（ =2，则不等式 f（ x） e 的解集是（ ） A（ +） B（ 2+） C（ ， D（ ， 2 【考点】 利用导数研究函数的单调性 第 10 页（共 21 页） 【分析】 构造函数 g（ x） = ，利用导数可判断 g（ x）的单调性，再根据 f（ =2，求得 g（ =1，继而求出答案 【解答】 解： x R，都有 2f（ x） f（ x）成立， f（ x） f（ x） 0，于是有（ ） 0， 令 g（ x） = ，则有 g（ x）在 R 上单调递增， 不等式 f（ x） ， g（ x） 1， f（ =2， g（ =1， x 故选： B 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分 0 分 . 13（ ） 6 的展开式中，常数项为 15 （用数字作答） 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 本题是二项式展开式求项的问题，可由给出的式子求出通项表达式 =（ 1）r ，令 x 的次数为 0 即可 【解答】 解： =（ 1） r ， 由 6 3r=0 得 r=2，从而得常数项 5， 故答案为： 15 14若 a b c，且 a+2b+c=0，则 的取值范围是 （ 3， ） 【考点】 不等式的基本性质 【分析】 先将 a+2b+c=0 变形为 b= （ a c） ，代入不等式 a b， b c，得到两个不等关系，解这两个不等式，即可求得 a 与 c 的比值关系 【解答】 解： a+2b+c=0， a 0， c 0， b= （ a+c），且 a 0， c 0 a b c 第 11 页（共 21 页） a （ a+c），即 c 3a， 解得 3， 将 b= （ a+c）代入 b c，得 （ a+c） c，即 a 3c， 解得 ， 3 故答案为：（ 3， ） 15定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x+6） =f（ x）当 3 x 1 时，当 f（ x） =（ x+2）2，当 1 x 3 时 f（ x） =x，则 f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +f=f（ x）知函数的周期为 6，求出 f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +f（ 4） +f（ 5） +f（ 6）的值 【解答】 解： f（ x+6） =f（ x）， T=6， 当 3 x 1 时，当 f（ x） =（ x+2） 2，当 1 x 3 时 f（ x） =x， f（ 1） =1， f（ 2） =2 f（ 3） =f（ 3） = 1， f（ 4） =f（ 2） =0， f（ 5） =f（ 1） = 1， f（ 6） =f（ 0） =0， f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +f（ 4） +f（ 5） +f（ 6） =1； f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +f+f（ 2） +f（ 3） +f（ 4） +f（ 5） =336 故答案为： 336 16如图，正方形 边长为 2， O 为 中点，射线 发，绕着点 O 顺时针方向旋转至 旋转的过程中，记 x（ x 0， ）， 经过正方形 影部分）的面积 S=f（ x），那么对于函数 f（ x）有以下三个结论： f（ ） = ； 任意 x 0， ，都有 f（ x） +f（ +x） =4； 任意 （ ， ），且 有 0 其中所有正确结论的序号是 第 12 页（共 21 页） 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 当 0 x ， f（ x） = ；当 x ，在 ， f（ x）=S 矩形 S ；当 x= 时， f（ x） =2；当 x ，同理可得 f（ x） =2 当 x 时， f（ x） =4 =4+ 即可判断出 【解答】 解：当 0 x ， f（ x） = = ； 当 x ，在 ， f（ x） =S 矩形 S =2 ； 当 x= 时， f（ x） =2； 当 x ，同理可得 f（ x） =2 当 x 时， f（ x） =4 =4+ 于是可得： = = ，正确； 由图形可得： x 0， ）， f（ x） +f（ x） =4， 因此对任意 x 0， ，都有 f（ x） +f（ +x） =4，故正确； 不妨设 0f（ f（ 显然不正确 综上只有： 正确 故答案为： 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17设数列 各项均为正数的等比数列，且 ， a2+6 （ 1）求数列 通项公式； 第 13 页（共 21 页） （ 2）若数列 任意的正整数 n 都有 + + + =2n+1，求 b1+b2+值 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）设等比数列 公比为 q 0，由于 ， a2+6根据等比数列的通项公式即可得出 （ 2）由于数列 任意的正整数 n 都有 + + + =2n+1，当 n=1 时， =3，解得 n 2 时，可得 =2，再利用等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：（ 1）设等比数列 公比为 q 0， ， a2+6 3（ q+=36，解得 q=3 n （ 2） 数列 任意的正整数 n 都有 + + + =2n+1， 当 n=1 时， =3，解得 当 n 2 时， + + + =2n 1， =2， 3n b1+b2+2（ 32+33+32015） =3+ =32016 18已知 a， b， c 分别为 角 A， B， C 的对边，且 cb （ 1）其 的值； （ 2）若 等差数列，求 的值 第 14 页（共 21 页） 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）由正弦定理化简已知等式可得： 理可得：用同角三角函数基 本关系式即可得解 的值； （ 2）利用等差数列的性质可得 2 x，由（ 1）可得 x，解得x，由 A+C），可得 3x= ，解得 值，由题设可知， A 为锐角，可求 用余弦定理即可得解 的值 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ 1） cb 由正弦定理可得： A+C） = （ 3分 整理可得： = = 6 分 （ 2） 等差数列， 2 若设 x，由（ 1）可得 x，可得： x， A+C）， 3x= ，解得 x= ，即 ， 10 分 由题设可知， A 最小，一定为锐角 ， ， = 2 12 分 19已知平行四边形 ， A=45，且 D=1，将 起，使得平面平面 图所示： （ 1）求证： （ 2）若 M 为 中点，求二面角 A C 的余弦值 第 15 页（共 21 页） 【考点】 二面角的平面角及 求法；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ 1）推导出 而 面 此能证明 （ 2）以 B 为原点，在平面 过 B 作 垂线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 A C 的余弦值 【解答】 证明：（ 1） D， A=45， 又 平面 平面 平面 平面 交线， 面 面 解：（ 2）以 B 为原点，在平面 过 B 作 垂线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 则 B（ 0， 0， 0）， C（ 1， 1， 0）， D（ 0， 1， 0）， A（ 0， 0， 1）， M（ 0， ）， ， 面 法向量为 =（ 1， 0， 0）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 x=1， 得 =（ 1， 1， 1）， = = = ， 观察知二面角 A C 为钝角， 故二面角 A C 的余弦值为 20某校高一年级开设 A， B， C， D， E 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选 A 课程，不选 B 课程，另从其余课程中随机任选两门课程乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程 （ ）求甲同学选中 C 课程且乙同学未选中 C 课程的概率； （ ）用 X 表示甲、乙、丙选中 C 课程的人数之和，求 X 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）设事件 A 为 “甲同学选中 C 课程 ”，事件 B 为 “乙同学选中 C 课程 ”求出 A，B 的 概率，然后求解甲同学选中 C 课程且乙同学未选中 C 课程的概率 （ ） X 的可能取值为： 0， 1， 2， 3求出概率，得到 X 为分布列，然后求解期望 【解答】 （共 13 分） 第 16 页（共 21 页） 解：（ ）设事件 A 为 “甲同学选中 C 课程 ”，事件 B 为 “乙同学选中 C 课程 ” 则 ， 因为事件 A 与 B 相互独立， 所以甲同学选中 C 课程且乙同学未选中 C 课程的概率为 （ ）设事件 C 为 “丙同学选中 C 课程 ” 则 X 的可能取值为： 0， 1， 2， 3 = = X 为分布列为： X 0 1 2 3 P 21函数 f（ x） =1 x）（ x 0， n N*），当 n= 2 时， f（ x）的极大值为 （ 1）求 a 的值； （ 2）求证： f（ x） +0； （ 3）求证： f（ x） 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ 1）求出函数的对数，根据 n=2 时， f（ x）的极大值为 ，得到 f（ ） =a = ，解出即可； （ 2）问题转化为证 1 x） +0，设 g（ x） =1 x） +据函数的单调性证明即可； （ 3）求出 f（ x）的最大值，问题转化为证明： ，通过取对数结合换元思想以及函数的单调性证明即可 【解答】 解：（ 1） n=2 时， f（ x） =1 x）， f（ x） =2 3x）， 第 17 页（共 21 页） 令 f（ x） =0 得： x=0 或 x= ， n=2 时， f（ x）的极大值为 ， 故 a 0，且 f（ ） =a = ，解得： a=1； （ 2）要证 f（ x） +0，即证 1 x） +0， 设 g（ x） =1 x） +义域是（ 0， +）， 则 g（ x） = ， x 0， x （ 0， 1）时， g（ x） 0， g（ x）递增， x （ 1， +）时， g（ x） 0， g（ x）递减， g（ x）的最大值是 g（ 1） =0， g（ x） 0 成立，命题得证； （ 3） f（ x） =1 x）， f（ x） =1（ n+1） n+1） 1（ x）， 显然， f（ x）在 x= 处取得最大值， f（ ） = ， 因此只需证： ，即证： ， 两边取对数，原式 ， 设 t= （ 0 t 1），则 n= ， =1 t， 因此只需证： t 1 即可， 令 （ t） =t+1， 0 t 1， （ t） = 1 0， （ t）在（ 0， 1）递增， 故 （ t） （ 1） =0 成立， 即 t 1，结论成立 请在 22、 23、 24 三体中任选一题作答，注意：只能做选做给定的题目