青岛市市北区2015年中考数学二模试卷含答案解析

第 1 页（共 29 页） 2015 年山东省青岛市市北区中考数学二模试卷 一、选择题（本题满分 24 分，共有 8 道小题，每小题 3 分）下列每小题给出标号为 A、 B、 C、 中只有一个是正确的，每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分。 1 2 是 2 的（ ） A倒数 B相反数 C绝对值 D平方根 2下列各图中，经过折叠能围成立方体的是（ ） A B C D 3已知空气的单位体积质量为 /厘米 3， 科学记数法表示为（ ） A 102 B 103 C 10 2 D 10 3 4将一副直角三角尺如图放置，已知 度数是（ ） A 45 B 50 C 60 D 75 5如图，是一些相同的小立方体拼接成的几何体的三种视图，拼 接这个几何体所用的小立方体的个数是（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 6如图，在方格纸上， 过变换得到 列对变换过程的叙述正确的是（ ） A 着点 A 顺时针旋转 90，再向右平移 6 格 第 2 页（共 29 页） B 右平移 4 格，再向上平移 6 格 C 着点 A 逆时针旋转 90，再向右平移 6 格 D 右平移 4 格，再绕着点 B 逆时针旋转 90 7如图，双曲线 y= （ k 0）上有一点 A，过点 A 作 x 轴于点 B， 面积为 2，则该双曲线的表达式为（ ） A y= B y= C y= D y= 8如图，在正方形纸片 ，对 角线 于点 O，折叠正方形纸片 在 ， A 恰好与 的点 F 重合，展开后，折痕 别交 点 E、 G，连接 下列结论： S 四边形 菱形；中正确结论的序号是（ ） A B C D 二、填空题（本题满分 18 分，共有 6 道小题，每小题 3 分） 9 2 1+ = 10如图，若 O 的直径， O 的弦， 8，则 第 3 页（共 29 页） 11货车行驶 25 千米与小车行驶 35 千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶 20 千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为 x 千米 /小时，依题意可列方程 12如图，在 ， C=2， 0，则图中阴影部分的面积是 13新华商场销售某种品牌的童装，每件进价为 60 元，市场调研表明：在一个阶段内销售这种童装时，当售价为 80 元，平均每月售出 200 件；售价每降低 1 元，平均每月多售出 20 件设售价为 这种童装在这段时间内，平均每月的销售量 y（件）与 x 满足的函数关系式是 ；平均每月的销售利润 W（元）与 x 满足的函数关系式是 14图 是乙瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图 铺成了一个 2 2 的近似正方形，其中完整菱形共有 5 个；若铺成 3 3 的近似正方形图案 ，其中完整的菱形有 13 个；铺成 4 4 的近似 正方形图案 ，其中完整的菱形有 25 个；如此下去，可铺成一个 n n 的近似正方形图案铺成的 n n 的近似正方形图案中，完整的菱形有 个；当得到完整的菱形共有 181 个时， n 的值为 三、解答题 (本题共有 10 道小题，满分 78 分 ) 15作图题 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 为美化城市，准备在一块空地上修建一个经过 A、 B、 C 三个亭子的圆形花坛，请在图中画出这个圆形花坛 第 4 页（共 29 页） 16化简：（ ） 17已知直线 y=（ 2m 1） x+1 3m，求当该直线经过原点时， m 的值 18为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图 和图 ，请根据相关信息，解答下列问题： （ ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图 中 m 的值为 ； （ ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数； （ ）根据样本数据，若学校计划购买 200 双运动鞋，建议购买 35 号运动鞋多少双？ 19如图，有两个可以自由转动的均匀转盘 A、 B，分别被分成 2 等份和 3 等份，每份内均都有数字小明和小亮用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别转动转盘 A 和 B，两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止），若和为偶数，则小明获胜；如果和为奇数 ，那么小亮获胜 （ 1）求小明获胜的概率； （ 2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由 20如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与地面的夹角为 a（ a= 当梯顶下滑 1m 时，这架梯子与地面的夹角为 b（ b= A、 C、 E 三点在一条直线上），求梯子的长 （参考数据： ， ， ； ， ， ） 第 5 页（共 29 页） 21如图所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，按照图中的直角坐标系，右面的一条抛物线可以用 y=0 表示，而且左、右两条抛物线关于 y 轴对称 （ 1）确定 b、 c 的值： b= ， c= ； （ 2）求钢缆的最低点到桥面的距离； （ 3）求两条钢缆最低点之间的距离 22已知：如图， 等边三角形，点 D 在线段 （点 D 不与点 B、 C 重合）， D 为边的等边三角形，过点 E 作 平行线，分别交 点 F、 G， 接 （ 1）求证： （ 2）判断并证明四边形 形状 23小颖和小华进行百米赛跑，小颖的平均速度是 7m/s，小华的平均速度是 6m/s，小颖让小华先跑10 米 （ 1）求小颖何时追上小华； （ 2）求从什么时间开始，小颖到终点的距离不超过 16 米； （ 3）求小颖何时和小华相距 5 米 24我们借助学习 “三角形全等的判定 ”获得的经验与方法，对 “全等四边形的判定 ”进行探究 规定： 第 6 页（共 29 页） （ 1）四条边对应相等，四个角对应相等的两个四边形全等 （ 2）在两个四边形中，我们把 “一条边对应相等 ”或 “一个角对应相等 ”称为一个条件 【初步思考】 满足 4 个条件的两个四边形不一定全等，如边长相等的正方形与菱形就不一定全等类似地，我们容易 知道两个四边形全等至少需要 5 个条件 【深入探究】 小莉所在学习小组进行了研究，她们认为 5 个条件可分为以下四种类型： 一条边和四个角对应相等； 二条边和三个角对应相等； 三条边和二个角对应相等； 四条边和一个角对应相等 （ 1）小明认为 “ 一条边和四个角对应相等 ”的两个四边形不一定全等，请你举例说明 （ 2）小红认为 “ 四条边和一个角对应相等 ”的两个四边形全等，请你结合下图进行证明 已知：如图， 求证： 证明： （ 3）小刚认为还可以对 “ 二条边和三个角对应相等 ”进一步分类，他以四边形 四边形例，分为以下几类： 11 A= B= C= 11 A= B= D= 11 B= C= D= 11 A= B= C= 其中能判定四边形 四边形 等的是 （填序 号），概括可得一个 “全等四边形的判定方法 ”，这个判定方法是 第 7 页（共 29 页） （ 4）小亮经过思考认为也可以对 “ 三条边和二个角对应相等 ”进一步分类，请你仿照小刚的方法先进行分类，再概括得出一个不同于（ 3）中所示的全等四边形的判定方法 25如图，在直角三角形 ， 0， ， 动点 P 从点 A 出发沿 终点 时动点 Q 从点 B 出发沿 点 A 运动，到达 A 点后立刻以原来的速度沿 回点 P，Q 运动速度均为每秒 1 个单位长度，当点 P 到达 C 时停止运动，点 Q 也同时停止连接 运动时 间为 t（ 0 t 5）秒 （ 1）当点 Q 从 B 点向 A 点运动时（未到达点 A）求 S t 的函数关系式；写出 t 的取值范围； （ 2）在（ 1）的条件下，四边形 面积能否为 积的 ？若能，求出相应的 t 值；若不能，说明理由； （ 3）伴随点 P、 Q 的运动，设线段 垂直平分线为 l，当 l 经过点 B 时，求 t 的值 第 8 页（共 29 页） 2015 年山东省青岛市市北区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 （本题满分 24 分，共有 8 道小题，每小题 3 分）下列每小题给出标号为 A、 B、 C、 中只有一个是正确的，每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分。 1 2 是 2 的（ ） A倒数 B相反数 C绝对值 D平方根 【考点】相反数 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数 【解答】解： 2 是 2 的相反数， 故选： B 【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数 2下列各图中，经过折叠能围成立方体的是（ ） A B C D 【考点】展开图折叠成几何体 【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题 【解答】解： A、可以折叠成一个正方体； B、是 “田 ”字格，故不能折叠成一个正方体； C、折叠后有两个面重合，缺少一个底面，所以也不能折叠成一个正方体； D、是 “凹 ”字格，故不能折叠成一个正方体 故选： A 【点评】本题考查了展开图折叠成几何体注意只要有 “田 ”、 “凹 ”字格的展开图都不是正方体的表面展开图 3已知空气的单位体积质量为 /厘米 3， 科学记数法表示为（ ） 第 9 页（共 29 页） A 102 B 103 C 10 2 D 10 3 【考点】科学记数法 表示较小的数 【专题】应用题 【分析】小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a 10 n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解： 4=10 3故选 D 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a 10 n，其中 1 |a| 10， n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 4将一副直角三角尺如图放置，已知 度数是（ ） A 45 B 50 C 60 D 75 【考点】三角形内角和定理；平行线的性质 【专题】计算题 【分析】本题主要根据直角尺各角的度数及三角形内 角和定理解答 【解答】解： C=30， 5， C=30， 5 30=15， 在 根据三角形内角和定理得到： 80 90 15=75 故选 D 【点评】本题主要考查两直线平行，内错角相等，以及三角形的内角和定理 5如图，是一些相同的小立方体拼接成的几何体的三种视图，拼接这个几何体所用的小立方体的个数是（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 【考点】由三视图判断几 何体 第 10 页（共 29 页） 【专题】图表型 【分析】易得这个几何体共有 2 层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图和左视图可得第二层立方体的个数，相加即可 【解答】解：由俯视图易得最底层有 6 个立方体，第二层有 2 个立方体，那么搭成这个几何体所用的小立方体个数是 8 故选 B 【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查如果掌握口诀 “俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章 ”就更容易得到答案注意俯视图中有几个立方形，底层就有几个立方体 6如图，在方格纸上， 过变换得 到 列对变换过程的叙述正确的是（ ） A 着点 A 顺时针旋转 90，再向右平移 6 格 B 右平移 4 格，再向上平移 6 格 C 着点 A 逆时针旋转 90，再向右平移 6 格 D 右平移 4 格，再绕着点 B 逆时针旋转 90 【考点】几何变换的类型 【专题】网格型 【分析】观察图象可知，先把 着点 A 逆时针方向 90旋转，然后再向右平移即可得到 【解答】解：根据图象， 着点 A 逆时针方向 90旋转与 状相同，向右平移 6 格就可以与 合 故选： C 【点评】本题考查了几何变换的类型，几何变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，本题用到了旋转变换与平移变换，对识图能力要求比较高 7如图，双曲线 y= （ k 0）上有一点 A，过点 A 作 x 轴于点 B， 面积为 2，则该双曲线的表达式为（ ） 第 11 页（共 29 页） A y= B y= C y= D y= 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义 【分析】先根据反比例函数图象所在的象限判断出 k 的符号，再根据 S 求出 k 的值即可 【解答】解： 反比例函数的图象在二、四象限， k 0， S ， |k|=4， k= 4，即可得双曲线的表达式为： y= ， 故选 D 【点评】本题考查的是反比例系数 k 的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保持不变 8如图，在正方形纸片 ，对角线 于点 O，折叠正方形纸片 在 ， A 恰好与 的点 F 重合，展开后，折痕 别交 点 E、 G，连接 下列结论： S 四边形 菱形；中正确结论的序号是（ ） A B C D 【考点】四边形综合题 【分析】 根据正方形性质和折叠性质得出 可求解； 根据直角三角形的直角边小于斜边，即可得出结论； 第 12 页（共 29 页） 根据角平分线的性质得出三角形的高相等，再分析底边长即可； 证明四条边相等即可； 由折叠的性质设 F=，进一步表示 长度，结合相似三角形进行求解即可 【解答】解：因为在正方形纸片 ，折叠正方形纸片 在 ，点 A 恰好与 的点 F 重合， 所以 5， ， 可求， 所以 正确 因为 ， 因为 F 所以 因为 B，因此 错 因为 G 高， 所以 S S 以 错 根据题意可得： F， G，又因为 所以 因为 所以 以 G=G， 所以四边形 菱形，因此 正确 由折叠的性质设 F=，则 + ， + ， + ， 由此可求， = ， 因为 所以 所以 ， 在直角三角形 ， 5， 所以 等腰直角三角形，同理可证 等腰直角三角形， 在等腰直角三角形 等腰直角三角形 ， 2 第 13 页（共 29 页） 所以 此 正确 故答案为： C 【点评】此题主 要考查四边形综合问题，熟悉正方形性质和菱形的判定，会用勾股定理进行线段求值，会根据平行论证相似是解题的关键 二、填空题（本题满分 18 分，共有 6 道小题，每小题 3 分） 9 2 1+ = 3 【考点】二次根式的乘除法；负整数指数幂 【专题】计算题；实数 【分析】原式利用负整数指数幂法则，以及二次根式除法法则计算即可得到结果 【解答】解：原式 = +3=3 ， 故答案为： 3 【点评】此题考查了二次根式的除法，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键 10如图，若 O 的直径， O 的弦， 8，则 32 【考点】圆周角定理 【专题】压轴题；探究型 【分析】根据圆周角定理求得 16（同弧所对的圆周角是所 对的圆心角的一半）、 弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；根据平角是 180知 80 2 【解答】解：连接 0 的直径， O 的弦， 8， 16（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）； 又 80 弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）； 2； 第 14 页（共 29 页） 另法： 直径， 0， 8， A=90 58=32， A 都是 对圆周角， 2 故答案为： 32 【点评】本题考查了圆周角定理解答此题时，通过作辅助线 隐含在题中的圆周角与圆心角的关系（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）显现出来 11货车行驶 25 千米与小车行驶 35 千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶 20 千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为 x 千米 /小时，依题意可列方程 【考点】由实际问题抽象出分式方程 【专题】行程问题 【分析】因为货车的速度为 x 千米 /小时，根据小车每小时比货车多行驶 20 千米，所以小车的速度为（ x+20）千米 /小时再根据时间 = 及货车行驶 25 千米与小车行驶 35 千米所用时间相同，列出等量关系式 【解答】解：由题意得 故答案为 【点评】找到关键描述语，找到等量关系是解决问题 的关键本题用到的等量关系为：货车行驶 25千米与小车行驶 35 千米所用时间相同 12如图，在 ， C=2， 0，则图中阴影部分的面积是 2 第 15 页（共 29 页） 【考点】扇形面积的计算；等腰直角三角形 【专题】几何图形问题 【分析】通过图形知 S 阴影部分面积 =S 半圆 面积 +S 半圆 面积 S 面积 ，所以由圆的面积公式和三角形的面积公式可以求得阴影部分的面积 【解答】解： 在 ， C=2， 0， 等腰直角三角形， 图中阴影部分的面积是： S 阴影部分面积 =S 半圆 面积 +S 半圆 面积 S 面积 = = 2 故答案为： 2 【点评】本题考查了扇形面积的计算、勾股定理解题的关键是推知 S 阴影部分面积 =S 半圆 面积 +S 半圆面积 S 面积 13新华商场销售某种品牌的童装，每件进价为 60 元，市场调研表明：在一个阶段内销售这种童装时，当售价为 80 元，平均每月售出 200 件；售价每降低 1 元，平均 每月多售出 20 件设售价为 这种童装在这段时间内，平均每月的销售量 y（件）与 x 满足的函数关系式是 y= 20x+1800 ；平均每月的销售利润 W（元）与 x 满足的函数关系式是 W= 20000x 10800 【考点】根据实际问题列二次函数关系式 【分析】设售价为 x 元，根据售价每降低 1 元，平均每月多售出 20 件可得平均每月的销售量 y（件）与 x 满足的函数关系式；根据销售利润 =一件童装的利润 销售童装的数量可得平均每月的销售利润W（元）与 x 满足的函数关系式 【解答】解：设售价为 x 元， 则平均每 月的销售量 y（件）与 x 满足的函数关系式为： y=200+20（ 80 x）， 化简整理，得 y= 20x+1800； 第 16 页（共 29 页） 平均每月的销售利润 W（元）与 x 满足的函数关系式是： W=（ x 60）（ 20x+1800）， 化简整理，得 W= 20000x 10800 故答案为 y= 20x+1800； W= 20000x 10800 【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，本题关键是会表示销售量增加的部分，进而得出平均每月的销售量再根据销售利润 =一件童装的利润 销售童装的数量列出表示利润的式子 14图 是乙瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图 铺成了一个 2 2 的近似正方形，其中完整菱形共有 5 个；若铺成 3 3 的近似正方形图案 ，其中完整的菱形有 13 个；铺成 4 4 的近似正方形图案 ，其中完整的菱形有 25 个；如此下去，可铺成一个 n n 的近似正方形图案铺成的 n n 的近似正方形图案中，完整的菱形有 n 1） 2 个；当得到完整的菱形共有 181 个时， 10 【考点】规律型：图形的变化类 【分析】（ 1）组成大正方形的每个小正方形 上有一个完整的菱形，因此菱形的数目是大正方形边长的平方，即为 每四个小正方形组成一个完整的菱形，这样的菱形的个数是大正方形边长减 1的平方，即为（ n 1） 2，可得这样铺成一个 n n 的正方形图案中菱形个数； （ 2）由（ 1）知所得到的完整菱形的个数共有： n 1） 2即 n 1） 2=181，解方程可得 【解答】解：（ 1） 图 中菱形个数 1=12+02； 图 中菱形个数 5=22+12； 图 中菱形个数 13=32+22； 图 中菱形个数 25=42+32； 铺成的 n n 的近似正方形图案中，完整 的菱形有： n 1） 2； （ 2）根据题意， n 1） 2=181， 解得： n= 9（舍）或 n=10； 故答案为：（ 1） n 1） 2；（ 2） 10 第 17 页（共 29 页） 【点评】本题主要考查总结图形的变化规律及解方程的能力，根据图形弄清前 4 个图形中菱形数目的构成是发现规律、总结规律的关键 三、解答题 (本题共有 10 道小题，满分 78 分 ) 15作图题 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 为美化城市，准备在一块空地上修建一个经过 A、 B、 C 三个亭子的圆形花坛，请在图中画出这个圆形花坛 【考点】作图 应用与设计作图；三角形的外接圆与外心 【分析】作线段 垂直平分线确定圆心 O，再以 半径画圆即可 【解答】解：作法 作线段 垂直平分线 作线段 垂直平分线 线 直线 于点 O， 以点 O 为圆心 半径作 O， O 就是所以求作的圆（如图所示） 【点评】本题考查作图应用与设计，三角形的外接圆等知识，解题的关键是确定圆心和半径，利用垂直平分线的性质确定 圆心，属于中考常考题型 16化简：（ ） 【考点】分式的乘除法 【专题】计算题；分式 第 18 页（共 29 页） 【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果 【解答】解：原式 = =（ a 1） =1 a 【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键 17已知直线 y=（ 2m 1） x+1 3m，求当该直线经过原点时， m 的值 【考点】一次函数图象上点的坐标特征 【分析】图象经过原点，常数项 b 等于 0 【解答】解： 函数图象经过原点， 1 3m=0，解得 m= 答：当 m= ，该直线经过原点 【点评】本题考查了一次函数的性质，了解一次函数 y=kx+b 的比例系数 k 及常数项 b 对函数图象的影响是解题的关键 18为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操 场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图 和图 ，请根据相关信息，解答下列问题： （ ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 40 ，图 中 m 的值为 15 ； （ ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数； （ ）根据样本数据，若学校计划购买 200 双运动鞋，建议购买 35 号运动鞋多少双？ 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数；众数 第 19 页（共 29 页） 【专题】图表 型 【分析】（ ）根据条形统计图求出总人数即可；由扇形统计图以及单位 1，求出 m 的值即可； （ ）找出出现次数最多的即为众数，将数据按照从小到大顺序排列，求出中位数即可； （ ）根据题意列出算式，计算即可得到结果 【解答】解：（ ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 6+12+10+8+4=40，图 中 m 的值为 100 30 25 20 10=15； 故答案为： 40； 15； （ ） 在这组样本数据中， 35 出现了 12 次，出现次数最多， 这组样本数据的众数为 35； 将这组样本数据从小到大得顺序排列，其中处于中 间的两个数都为 36， 中位数为 =36； （ ） 在 40 名学生中，鞋号为 35 的学生人数比例为 30%， 由样本数据，估计学校各年级中学生鞋号为 35 的人数比例约为 30%， 则计划购买 200 双运动鞋，有 200 30%=60 双为 35 号 【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键 19如图，有两个可以自由转动的均匀转盘 A、 B，分别被分成 2 等份和 3 等份，每份内均都有数字小明和小亮用这两个转盘做游戏，游戏规则 如下：分别转动转盘 A 和 B，两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止），若和为偶数，则小明获胜；如果和为奇数，那么小亮获胜 （ 1）求小明获胜的概率； （ 2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由 【考点】游戏公平性；列表法与树状图法 第 20 页（共 29 页） 【分析】（ 1）根据题意画树形图，根据概率 =所求情况数与总情况数之比即可求出小明获胜的概率， （ 2）求出小亮获胜的概率，根据小明获胜的概率 =小亮获胜的概率， 即可得出这个游戏对双方是否公平 【解答】解：（ 1）根据题意画树形图： 共有 6 种情况，和为偶数的情况有 3 种，和为奇数的情况有 3 种， 和为偶数的概率 = = ，和为奇数的概率 = = ， 小明获胜的概率 = ， （ 2） 和为奇数的概率 = ， 小亮获胜的概率 = ， 小明获胜的概率 =小亮获胜的概率， 这个游戏对双方公平 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平；注意概率 =所求情况数与总情况数之比 20如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与地面的夹角为 a（ a= 当梯顶下滑 1m 时，这架梯子与地面的夹角为 b（ b= A、 C、 E 三点在一条直线上），求梯子的长 （参考数据： ， ， ； ， ， ） 【考点】解直角三角形的应用 【分析】设梯子的长度为 x通过解直角 得线段 长度；通过解直角 到线段长度；然后结合 列出方程，通过解方程求得 x 的值 【解答】解：在直角 ， b， DE=x，则 AD=x= x 第 21 页（共 29 页） 在直角 ， a， BC=x，则 AB=x= x 依题意得： x x=1， 解得 x=5 答：梯子的长度为 5m 【点评】本题考查了解直角三角形的应用主要是正弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算 21如图所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，按照图中的直角坐标系，右面的一条抛物线可以用 y=0 表示，而且左、右两条抛物线关于 y 轴对称 （ 1）确定 b、 c 的值： b= c= 10 ； （ 2）求钢缆的最低点到桥面的距离； （ 3）求两条钢缆最低点之间的距离 【考点】二次函数的应用 【分析】（ 1）根据两抛物线关于 y 轴对称及右边抛物线解析式可得； （ 2）根据抛物线顶点的坐标公式进行求解可得顶点坐标，可得出钢缆的最低点到桥面的距离； （ 3）根据两最低点的横坐标可得出两条钢缆最低点之间的距离 【解答】解：（ 1） 左、右两条抛物线关于 y 轴对称，且右面抛物线解析式为 y=0， 左边抛物线解析式为： y= x） 2+ x） +10=0 故 b= c=10； （ 2）抛物线的顶点坐标为（ ， ）， 故可得左面的一条抛物线的顶点坐标是：（ 20， 1） 由顶点的纵坐标为 1，可得钢缆的最低点到桥面的距离是 1 米； （ 3）由两条抛物线的顶点的横坐标为 20、 20，可得两条钢缆最低点之间的距离是： 40 米 故答案为：（ 1） 10 第 22 页（共 29 页） 【点评】本题主要考查二次函数的实际应用能力，熟知抛物线的顶点坐标求 法是解题的根本，本题中抓住两抛物线个关于 y 轴对称是关键 22已知：如图， 等边三角形，点 D 在线段 （点 D 不与点 B、 C 重合）， D 为边的等边三角形，过点 E 作 平行线，分别交 点 F、 G， 接 （ 1）求证： （ 2）判断并证明四边形 形状 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定 【分析】（ 1）由 是等边三角形，所以 C， D， C=60，所以 此可以对称结论 （ 2）欲证明四边形 平行四边形只要证明 要证明 0， 20即可 【解答】（ 1）证明： 是等边三角形， C， D， C=60， 在 ， ， （ 2）结论四边形 平行四边形， 证明： C=60 C=60， 0， C+ 20 第 23 页（共 29 页） 等边三角形， 20 0， 80， 四边形 平行四边形 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键，需要记住平行四边形的判定方法 ，属于中考常考题型 23小颖和小华进行百米赛跑，小颖的平均速度是 7m/s，小华的平均速度是 6m/s，小颖让小华先跑10 米 （ 1）求小颖何时追上小华； （ 2）求从什么时间开始，小颖到终点的距离不超过 16 米； （ 3）求小颖何时和小华相距 5 米 【考点】一元一次不等式组的应用 【分析】（ 1）设经过 x 秒小颖追上小华，利用路程差为 10 列出方程解答即可； （ 2）设经过 y 秒后，小颖到终点的距离不超过 16 米，根据题意列出不等式组解决问题即可； （ 3）分两种情况：小颖追上小华之前，小颖追上小华之后，分别列出方程解 答即可 【解答】解：（ 1）设经过 x 秒小颖追上小华，由题意得 7x 6x=10 解得： x=10 答：经过 10 秒小颖追上小华 （ 2）设经过 y 秒后，小颖到终点的距离不超过 16 米，由题意得 0 100 7y 16 第 24 页（共 29 页） 解得： 12 y 14 答：从 12 秒开始，小颖到终点的距离不超过 16 米 （ 3）设小颖追上小华之前，经 a 秒小颖和小华相距 5 米， 7a 6a=10 5 解得： a=5 设小颖追上小华之后，经 b 秒小颖和小华相距 5 米， 7b 6b=10+5 解得： b=15（不合题意，舍去） 答：经 5 秒小颖和小华相距 5 米 【点评】此题考查一元一次方程与一元一次不等式组的实际运用，掌握行程问题中的基本数量关系是解决问题的关键 24我们借助学习 “三角形全等的判定 ”获得的经验与方法，对 “全等四边形的判定 ”进行探究 规定： （ 1）四条边对应相等，四个角对应相等的两个四边形全等 （ 2）在两个四边形中，我们把 “一条边对应相等 ”或 “一个角对应相等 ”称为一个条件 【初步思考】 满足 4 个条件的两个四边形不一定全等，如边长相等的正方形与菱形就不一定全等类似地，我们容易知道两个四 边形全等至少需要 5 个条件 【深入探究】 小莉所在学习小组进行了研究，她们认为 5 个条件可分为以下四种类型： 一条边和四个角对应相等； 二条边和三个角对应相等； 三条边和二个角对应相等； 四条边和一个角对应相等 （ 1）小明认为 “ 一条边和四个角对应相等 ”的两个四边形不一定全等，请你举例说明 （ 2）小红认为 “ 四条边和一个角对应相等 ”的两个四边形全等，请你结合下图进行证明 已知：如图， 四边形 四边形 ， 1111 B= 第 25 页（共 29 页） 求证： 四边形 四边形 证明： （ 3）小刚认为还可以对 “ 二条边和三个角对应相等 ”进一步分类，他以四边形 四边形例，分为以下几类： 11 A= B= C= 11 A= B= D= 11 B= C= D= 11 A= B= C= 其中能判定四边形 四边形 等的是 （填序号），概括可得一个 “全等四边形的判定方法 ”，这个判定方法是 有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等 （ 4）小亮经过思考认为也可以对 “ 三条边和二个角对应相等 ”进一步分类，请你仿照小刚的方法先进行分类，再概括得出一个不同于（ 3）中所示的全等四边形的判定方法 【考点】四边形综合题 【分析】（ 1）可以利用正方形与矩形进行说明； （ 2）根据四条边对应相等，和一个角对应相等，结合 图形即可写出已知与求证证明时可以连接1，转化为证明 可证得； （ 3）根据条件能证明 中 和 从而利用全等三角形的性质与等式的性质得出两个四边形四条边对应相等，四个角对应相等，因而这两个四边形全等； （ 4）写出三条边对应相等，和二个角对应相等分情况进行讨论的情况即可 【解答】解：（ 1）如正方形与矩形有一条边对应相等，但显然不一定全等 （ 2）已知：如图，四边 形 四边形 1 1 中， 1111 B= 求证：四边形 四边形 第 26 页（共 29 页） 证明：连接 1 B= 1 1 又 11 D= 四边形 四边形 （ 3） ； 有一组邻