四川省内江市2015-2016学年高一下期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 15 页） 2015年四川省内江市高一（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，每小题只有一个选项符合题意） 1不等式 2x 1 0 的解集是（ ） A（ ， 1） B（ 1， +） C（ ， 1） （ 2， +） D（ ， ） （ 1，+） 2设 =（ 1， 2）， =（ 1， 1）， = +k ，若 ，则实数 k 的值等于（ ） A B C D 3若 ） = ，则 ） A B C D 4已知点 A（ 0， 1）， B（ 3， 2），向量 =（ 4， 3），则向量 =（ ） A（ 7， 4） B（ 7， 4） C（ 1， 4） D（ 1， 4） 5已知非零实数 a， b 满足 a b，则下列不等式成立的是（ ） A C 6若向量 =（ 1， 2）， =（ 1， 1），则 2 + 与 的夹角等于（ ） A B C D 7已知 公差为 1 的等差数列； 前 n 项和，若 ） A B C 10 D 12 8 =（ ） A B C D 9已知：在 ， ，则此三角形为（ ） A直角三角形 B等腰直角三角形 C等腰三角形 D等腰或直角三角形 10设 D 为 在平面内一点， =3 ，若 =x +y ，则 x+y=（ ） A 1 B C 1 D 11已知 等差数列，公差 d 不为零，前 n 项和是 等比数列，则（ ） A 0， 0 B 0， 0 C 0， 0 D 0， 0 12已知 ，若 P 点是 在平面内一点，且，则 的最大值等于（ ） 第 2 页（共 15 页） A 13 B 15 C 19 D 21 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13函数 f（ x） =（ 2+最小正周期为 14 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 ， ， a=1，则b= 15在数列 ， ， =2 前 n 项和，若 26，则 n= 16设 内角 A、 B、 C 所对的边为 a、 b、 c，则下列命题正确的序号是 若 ab= C 若 a+b=2c，则 C 若 a3+b3= C 若（ a+b） c 2 C 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17已知等差数列 公差 d=1，前 n 项和为 （ ）若 1， 等比数列，求 （ ）若 取值范围 18已知向量 =（ ， ）， =（ 2， （ 1）试判断 与 能否平行？请说明理由 （ 2）若 x （ 0， ，求函数 f（ x） = 的最小值 19在 ，内角 A， B， C 所对 的边分别为 a， b， c，已知 面积为 3 ，b c=2， （ ）求 a 和 值； （ ）求 2A+ ）的值 20为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C（单位：万元）与隔热层厚度 x（单 位： 足关系： C（ x） = （ 0 x 10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元设 f（ x）为隔热层建造费用与 20年的能源消耗费用之和 （ ）求 k 的值及 f（ x）的表达式 （ ）隔热层修建多厚时，总费用 f（ x）达到最小，并求最小值 21已知向量 =（ =（ = A、 B、 C 分别为 a， b， c 所对的角 （ 1）求角 C 的大小； 第 3 页（共 15 页） （ 2）若 等比数列，且 =18，求 c 的值 22已知 递增的等比数列， 程 40x+256=0 的根 （ 1）求 通项公式； （ 2）设 ，求数列 前 n 项和 证明： 2 第 4 页（共 15 页） 2015年四川省内江市高一（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，每小题只有一个选项符合题意） 1不等式 2x 1 0 的解集是（ ） A（ ， 1） B（ 1， +） C（ ， 1） （ 2， +） D（ ， ） （ 1，+） 【考点】 一元二次不等式的解法 【分析】 将不等式的左边分解因式得 到相应的方程的根；利用二次方程解集的形式写出解集 【解答】 解：原不等式同解于 （ 2x+1）（ x 1） 0 x 1 或 x 故选： D 2设 =（ 1， 2）， =（ 1， 1）， = +k ，若 ，则实数 k 的值等于（ ） A B C D 【考点】 数量积判断两个平面向量的垂直关系 【分析】 由题意可得 的坐标，进而由垂直关系可得 k 的方程，解方程可得 【 解答】 解： =（ 1， 2）， =（ 1， 1）， = +k =（ 1+k， 2+k） ， =0， 1+k+2+k=0，解得 k= 故选： A 3若 ） = ，则 ） A B C D 【考点】 三角函数的恒等变换及化简求值 【分析】 利用诱导公式化 2），再利用二倍角的余弦可得答案 【解答】 解： ） = ， 2） = ） =2 ） 1=2 1= ， 故选： D 第 5 页（共 15 页） 4已知点 A（ 0， 1）， B（ 3， 2），向量 =（ 4， 3），则向量 =（ ） A（ 7， 4） B（ 7， 4） C（ 1， 4） D（ 1， 4） 【考点】 平面向量的坐标运算 【分析】 顺序求出有向线段 ，然后由 = 求之 【解答】 解：由已知点 A（ 0， 1）， B（ 3， 2），得到 =（ 3， 1），向量 =（ 4， 3）， 则向量 = =（ 7， 4）； 故答案为： A 5已知非零实数 a， b 满足 a b，则下列不等式成立的是（ ） A C 【考点】 不等关系与不等式 【分析】 举特列，令 a=1， b= 2，经检验 A、 B、 C 都不成立，只有 D 正确，从而得到结论 【解答】 解：令 a=1， b= 2，经检验 A、 B、 C 都不成立，只有 D 正确， 故选 D 6若向量 =（ 1， 2）， =（ 1， 1），则 2 + 与 的夹角等于（ ） A B C D 【考点】 数量积表示两个向量的夹角 【分析】 由已知中向量 =（ 1， 2）， =（ 1， 1），我们可以计算出 2 + 与 的坐标，代入向量夹角公式即可得到答案 【解答】 解： =（ 1， 2）， =（ 1， 1）， 2 + =2（ 1， 2） +（ 1， 1） =（ 3， 3）， =（ 1， 2）（ 1， 1） =（ 0， 3）， （ 2 + ）（ ） =0 3+3 9=9， |2 + |= =3 ， | |=3， = ， 0 ， = 故选： C 7已知 公差为 1 的等差数列； 前 n 项和，若 ） A B C 10 D 12 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出 第 6 页（共 15 页） 【解答】 解： 公差为 1 的等差数列， =4 （ 4）， 解得 则 = 故选： B 8 =（ ） A B C D 【考点】 两角和与差的正弦函数 【分析】 将原式分子第一项中 的度数 47=17+30，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值 【解答】 解： = = = 故选 C 9已知：在 ， ，则此三角形为（ ） A直角三 角形 B等腰直角三角形 C等腰三角形 D等腰或直角三角形 【考点】 三角形的形状判断 【分析】 由条件可得 C B） =0，再由 C B ，可得 C B=0，从而得到此三角形为等腰三角形 【解答】 解：在 ， ，则 正弦定理可得 C B） =0，又 C B ， C B=0，故此三角形为等腰三角形， 故选 C 10设 D 为 在平面内一点， =3 ，若 =x +y ，则 x+y=（ ） A 1 B C 1 D 【考点】 平面向量 的基本定理及其意义 【分析】 根据题意，画出图形，结合图形用向量 、 表示出 ，即可求出 x、 y 的值 【解答】 解：画出图形，如图所示： 第 7 页（共 15 页） =3 ， = + = ， = + = + =x +y ， x= ， y= ， x+y=1 故选： A 11已知 等差数列，公差 d 不为零，前 n 项和是 等比数列，则（ ） A 0， 0 B 0， 0 C 0， 0 D 0， 0 【考点】 等差数列与等比数列的综合 【分析】 由 等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断 符号 【解答】 解：设等差数列 首项为 a3=d， a4=d， a8=d， 由 等比数列，得 ，整理得： d 0， ， ， = 0 故选： B 12已知 ，若 P 点是 在平面内一点，且，则 的最大值等 于（ ） A 13 B 15 C 19 D 21 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 建系，由向量式的几何意义易得 P 的坐标，可化 =（ 1） 4（ t 4）=17（ +4t），由基本不等式可得 第 8 页（共 15 页） 【解答】 解：由题意建立如图所示的坐标系， 可得 A（ 0， 0）， B（ ， 0）， C（ 0， t）， ， P（ 1， 4）， =（ 1， 4）， =（ 1， t 4）， =（ 1） 4（ t 4） =17（ +4t）， 由基本 不等式可得 +4t 2 =4， 17（ +4t） 17 4=13， 当且仅当 =4t 即 t= 时取等号， 的最大值为 13， 故选： A 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13函数 f（ x） =（ 2+最小正周期为 【考点】 三角函数的周期性及其求法 【分析】 利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用函数 y=x+）的周期为 ，得出结论 【解答】 解：函数 f（ x） =（ 2+ 2x+ ）的最小正周期为 =， 故答案为： 第 9 页（共 15 页） 14 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 ， ， a=1，则 b= 【考点】 解三角形 【分析】 运用同角的平方关系可得 由诱导公式和两角和的正弦公 式，可得用正弦定理可得 b= ，代入计算即可得到所求值 【解答】 解：由 ， ，可得 = = ， = = ， A+C） = + = ， 由正弦定理可得 b= = = 故答案为： 15在数列 ， ， =2 前 n 项和，若 26，则 n= 6 【考点】 等比数列的前 n 项和；等比关系的确定 【分析】 由 =2合等比数列的定义可知数列 为首项，以 2 为公比的等比数列，代 入等比数列的求和公式即可求解 【解答】 解： =2 ， ， 数列 为首项，以 2 为公比的等比数列， = =2n+1 2=126， 2n+1=128， n+1=7， n=6 故答案为： 6 16设 内角 A、 B、 C 所对的边为 a、 b、 c，则下列命题正确的序号是 第 10 页（共 15 页） 若 ab= C 若 a+b=2c，则 C 若 a3+b3= C 若（ a+b） c 2 C 【考点】 余弦定理 【分析】 利用余弦定理，将 大为 结合均值定理即可证明 ，从而证明C ； 由已知可得 用余弦定理，即可证明 ，从而证明 C ； 利用反证法，假设 C 时，推出与题设矛盾，即可证明此命题正确 只需举反例即可证明其为假命题，可举符合条件的等边三角形； 【解答】 解： ab=c2 = C ，故 正确； a+b=2c， 2c 2 ，可得： = C ，故 正确； 当 C 时， a2+b2a3+ a3+b3=盾，故 正确； 取 a=b=2， c=1，满足（ a+b） c 2： C ，故 错误； 故答案为： 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17已知等差数列 公差 d=1，前 n 项和为 （ ）若 1， 等比数列，求 （ ）若 取值范围 【考点】 等差数列与等比数列的综合；不等关系与不等式 【分析】 （ I）利用等差数列 公差 d=1，且 1， 等比数列，建立方程，即可求 （ 用等差数列 公差 d=1，且 立不等式，即可求 取值范围 【解答】 解：（ I） 等差数列 公差 d=1，且 1， 等比数列， 第 11 页（共 15 页） 1 或 ； （ 等差数列 公差 d=1，且 5 2 18已知向量 =（ ， ）， =（ 2， （ 1）试判断 与 能否平行？请说明理由 （ 2）若 x （ 0， ，求函数 f（ x） = 的最小值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算 【分析】 （ 1）判断出 与 不能平行，利用向量平行的坐标运算列出方程，由二倍角的余弦公式化简后，由余弦函数的值域进行判断； （ 2）由向量的数量积坐标运算、二倍角的余弦公式以及变形化简 f（ x），由正弦函数的性质和 f（ x）的单调性求出 f（ x）的最小值 【解答】 解：（ 1） 与 不能平行，原因如下： 若向量 =（ ， ）， =（ 2， 行， 则 =0， ， ， =0，即 2 不成立， 与 不能平行； （ 2） f（ x） = = = = = ， 由 x （ 0， 得， （ 0， ， f（ x） = 随着 增大而减小， 当 时， f（ x）取到最小值是 19在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 面积为 3 ，b c=2， 第 12 页（共 15 页） （ ）求 a 和 值； （ ）求 2A+ ）的值 【考点】 余弦定理的应用；正弦定理的应用 【分析】 （ ）通过三角形的面积以及已知条件求出 b， c，利用正弦定理求解 值； （ ）利用两角和的余弦函数化简 2A+ ），然后直接求解即可 【解答】 解：（ ）在三角形 ，由 ，可得 ， 面积为3 ，可得： ， 可得 4，又 b c=2，解得 b=6， c=4，由 a2=b2+2得 a=8， ，解得 ； （ ） 2A+ ） = = 20为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C（单位：万元）与隔热层厚度 x（单位： 足关系： C（ x） = （ 0 x 10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元设 f（ x）为隔热层建造费用与 20年的能源消耗费用之和 （ ）求 k 的值及 f（ x）的表达式 （ ）隔热层修建多厚时，总费用 f（ x）达到最小，并求最小值 【考点】 函数模型的选择与应用；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ I）由建筑物每年的能源消耗费用 C（单位：万元）与隔热层厚度 x（单位： 足关系： C（ x） = ，若不建隔热层， 每年能源消耗费用为 8 万元我们可得 C（ 0） =8，得 k=40，进而得到 建造费用为 x） =6x，则根据隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f（ x），我们不难得到 f（ x）的表达式 （ （ 1）中所求的 f（ x）的表达式，我们利用导数法，求出函数 f（ x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用 f（ x）的最小值 【解答】 解：（ ）设隔热层厚度为 题设，每年能源消耗费用为 再由 C（ 0） =8，得 k=40， 因此 而建造费用为 x） =6x， 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 第 13 页（共 15 页） （ ） ，令 f（ x） =0，即 解得 x=5， （舍去） 当 0 x 5 时， f（ x） 0，当 5 x 10 时， f（ x） 0，故 x=5 是 f（ x）的最小值点，对应的最小值为 当隔热层修建 5时，总费用达到最小值为 70 万元 21已知向量 =（ =（ = A、 B、 C 分别为 a， b， c 所对的角 （ 1）求角 C 的大小； （ 2）若 等比数列，且 =18，求 c 的值 【考点】 平面向量数量积的运算；等比数列的通项公式；正弦定理 【分析】 （ 1）由