2016年广东省茂名市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年广东省茂名市高考数学二模试卷（文科） 一 大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5，集合 A=（ 1， 2， 5， 1， 3， 5，则 AB=（ ） A 2 B 5 C 1， 2， 4， 5 D 3， 4， 5 2已知 Z= （ i 为虚数单位），则 Z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D 第四象限 3已知非零向量 与向量 平行，则实数 m 的值为（ ） A 1 或 B 1 或 C 1 D 4执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） A 1 B C D 5设 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c若 a=2， c=2 ， ，且 b c，则 B=（ ） A B C D 6设数列 的等差数列， 其前 n 项和若 ，则 ） A 4 B 36 C 74 D 80 7设函数 ，则 f（ 7） +f（ =（ ） A 7 B 9 C 11 D 13 8已知命题 p：存在 x （ 1， 2）使得 a 0，若 p 是真命题，则实数 a 的取值范围为（ ） 第 2 页（共 21 页） A（ ， e） B（ ， e C（ +） D +） 9已知函数 f（ x） =x+） 的部分图象如图所示，若将 f（ x）的图象上所有点向右平移 个单位得到函数 g（ x）的图象，则函数 g（ x）的单调增区间为（ ） A ， k Z B ， k Z C ， k Z D ， k Z 10如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A 31 B 32 C 34 D 36 11算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求 “囷盖 ”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一 ，该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V 实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3，那么，近似公式 V 当于将圆锥体积公式中的 近似取为（ ） A B C D 12已知抛物线 x 的焦点为 F， A、 B 为抛物线上两点，若 ， O 为坐标原点，则 面积为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 . 13已知直线 l 过圆 y 3） 2=4 的圆心，且与直线 x+y+1=0 垂直，则 l 的方程是 第 3 页（共 21 页） 14实数 x， y 满足 ，则 z=x+y+1 的最大值为 15设 内角 A， B， C，所对的边分别是 a， b， c若（ a+b c）（ a+b+c） =角 C= 16设函数 f（ x）是奇函数 f（ x）（ x R）的导函数， f（ 1） =0，当 x 0 时， x）f（ x） 0，则使得 f（ x） 0 成立的 x 的取值范围是 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17等差数列 前 n 项和为 ， 0，数列 足 + ）求 （ ）设 cn=bn，求数列 前 n 项和 18 2015 年 8 月 12 日天津发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级（一级为优，二级为良，三级为中等，四级为差），该港口消防安全等级的统计结 果如下表所示： 等 级 一级 二级 三级 四级 频 率 m m 从该港口随机抽取了 n 家公司，其中消防安全等级为三级的恰有 20 家 （ 1）求 m， n 的值； （ 2）按消防安全等级利用分层抽样的方法从这 n 家公司中抽取 10 家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意抽取 2 家，求抽取的这 2 家公司的消防安全等级都是二级的概率 19如图，三棱柱 ， B， 0 （ ）证明： （ ）若 B=1， ，求三棱锥 A 体积 20如图，圆 C 与 x 轴相切于点 T（ 2， 0），与 y 轴正半轴相交于两点 M， N（点 M 在点 且 |3 （ ）求圆 C 的方程； （ ）过点 M 任作一条直线与椭圆 相交于两点 A、 B，连接 证： 第 4 页（共 21 页） 21已知函数 f（ x） =x， a R （ ）当 a=1 时，求函数 f（ x）的图象在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ ）讨论函数 f（ x）的单调区间； （ ）已知 a 0，对于函数 f（ x）图象上任意不同的两点 A（ B（ 其中线 斜率为 k，记 N（ u， 0），若 ，求证 f（ u） k 请考生在第 22， 23， 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请在答题卡中用 2B 铅笔把所选做题的后面的方框涂黑，并写清题号再作答 选 修 4何证明选讲 22如图所示， O 的直径， D 为 的中点， E 为 中点 （ ）求证： （ ）求证： C=2D 选修 4标系与参数方程 23已知曲线 C 的极坐标方程是 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是 （ 1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （ 2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、 B 两点，且 ，求直线的倾斜角 的值 选修 4等式选讲 24已知函数 （ ）当 时，解不等式 f（ x） x+10； （ ）关于 x 的不等式 f（ x） a 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 21 页） 2016 年广东省茂名市高考数学二模 试卷（文科） 参考答案与试题解析 一 大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5，集合 A=（ 1， 2， 5， 1， 3， 5，则 AB=（ ） A 2 B 5 C 1， 2， 4， 5 D 3， 4， 5 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出集合 B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算 【解答】 解：因为全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 1， 3， 5，所以 B=2， 4， 所以 AB=2， 故选： A 2已知 Z= （ i 为虚数单位），则 Z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 把已知的等式变形，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 ，得到其坐标得答案 【解答】 解： Z= （ i 为虚数单位）， =1 i，对应的点为（ 1， 1）在第四象限 故选： D 3已知非零向量 与向量 平行，则实数 m 的值为（ ） A 1 或 B 1 或 C 1 D 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 【分 析】 根据平面向量共线定理的坐标表示，列出方程解方程，求出 m 的值 【解答】 解：非零向量 与向量 平行， 2（ 1） 1 （ m+1） =0， 解得 m= 或 m= 1（不合题意，舍去）； 实数 m 的值为 故选： D 4执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） 第 6 页（共 21 页） A 1 B C D 【考点】 程序框图 【分析】 从框图赋值入手，先执行一次运算，然后判断运算后的 i 的值与 2 的大小，满足判断框中的条件，则跳出循环，否则继续执行循环，直到条件满足为止 【解答】 解：框图首先给变量 i 和 S 赋值 0 和 1 执行 ， i=0+1=1； 判断 1 2 不成立，执行 ， i=1+1=2； 判断 2 2 成立，算法结束，跳出循环，输出 S 的值为 故选 C 5设 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c若 a=2， c=2 ， ，且 b c，则 B=（ ） A B C D 【考点】 余弦定理 【分析】 由正弦定理可求 用同角三角函数基本关系式可求 ，可得 C 为或 ，又 b c， B 为锐角，分类讨论由三角形内角和定理即可解得 B 的值 【解答】 解：在 ， a=2， c=2 ， ， a c，可得 A= ， ， 第 7 页（共 21 页） = = ，可得 ，即 C 为 或 ， b c， B 为锐角， 当 C= ， B= ，矛盾，舍去，故 C= ， B= A C= 故选： A 6设数列 的等差数列， 其前 n 项和若 ，则 ） A 4 B 36 C 74 D 80 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 利用等差数列前 n 项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出 【解答】 解： 数列 的等差数列， 其前 n 项和若 ， ， 解得 ， d= 4， 9d=2 4 19= 74 故选： C 7设函数 ，则 f（ 7） +f（ =（ ） A 7 B 9 C 11 D 13 【考点】 函数的值 【分析】 由 7 1， 1 f（ 7） +f（ 值 【解答】 解： 7 1， 1 f（ 7） +f（ =1+ =1+2+4=7， 故选： A 8已知命题 p：存在 x （ 1， 2）使得 a 0，若 p 是真命题，则实数 a 的取值范围为（ ） A（ ， e） B（ ， e C（ +） D +） 【考点】 命题的真假判断与应用；命题的否定 【分析】 写出命题的否定命题，利用命题的真假关系，通过函数的最值求解即可 【解答】 解：命题 p：存在 x （ 1， 2）使得 a 0，则命题 p 为：任意 x （ 1， 2）使得 a 0， 第 8 页（共 21 页） 因为 p 是真命题，所以 a 0 恒成立，即 a 可得 a 故选： D 9已知函数 f（ x） =x+） 的部分图象如图所 示，若将 f（ x）的图象上所有点向右平移 个单位得到函数 g（ x）的图象，则函数 g（ x）的单调增区间为（ ） A ， k Z B ， k Z C ， k Z D ， k Z 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用 y=x+）的图象特征，求出函数 y=x+）的解析式，再根据y=x+）的图象变换规律及正弦函数的图象和性质，即可求得函数 g（ x）的单调增区间 【解答】 解：由图可知 A=2， T=4（ ） =， = =2 由图可得点（ ， 2）在函数图象上，可得： 22 +） =2，解得： 2 +=2，k Z， 由 | ，可得： = ， f（ x） =22x+ ） 若将 y=f（ x）的图象向右平移 个单位后，得到的函数解析式为： g（ x） =2（ x ）+ =22x+ ） 由 2 2x+ 2， k Z，可得 x ， k Z， 函数 g（ x）的单调增区间为： ， ， k Z 故选： A 第 9 页（共 21 页） 10如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A 31 B 32 C 34 D 36 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 首先还原几何体为底面边长为 3 的正方形，高为 4 是四棱锥，明确其外接球的半径，然后计算表面积 【解答】 解：由几何体的三视图得到几何体是底面是边长为 3 的正方形，高为 4 是四棱锥，所以其外接球的直径为 ， 所以其表面积为 34； 故选 C 11算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求 “囷盖 ”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之 ，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V 实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3，那么，近似公式 V 当于将圆锥体积公式中的 近似取为（ ） A B C D 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 根据近似公式 V 立方程，即可求得结论 【解答】 解：设圆锥底面圆的半径为 r，高为 h，则 L=2r， = （ 2r） 2h， = 故选： B 12已知抛物线 x 的焦点为 F， A、 B 为抛物线上两点，若 ， O 为坐标原点，则 面积为（ ） A B C D 【考点】 抛物线的简单性质 第 10 页（共 21 页） 【分析】 根据抛物线的定义，不难求出， |2|由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线 倾斜角为 60，可得直线 方程，与抛物线的方程联立，求出 A， B 的坐标，即可求出 面积 【解答】 解：如图所示，根据抛物线的定义，不难求出， |2|由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线 倾斜角为 60，直线 方程为 ， 联立直线 抛物线的方程可得： ，解之得： ， 所以 ， 而原点到直线 距离为 ， 所以 ，当直线 倾斜角为 120时，同理可求 故应选 C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 . 13已知直线 l 过圆 y 3） 2=4 的圆心，且与直线 x+y+1=0 垂直，则 l 的方程是 xy+3=0 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 由圆的方程求出圆心坐标，由直线垂直的条件求出直线 l 的斜率，代入点斜式方程再化为一般式方程 【解答】 解：由题意得，圆 y 3） 2=4 的圆心为（ 0， 3）， 又直线 l 与直线 x+y+1=0 垂直，所以直线 l 的斜率是 1， 则直线 l 的方程是： y 3=x 0，即 x y+3=0， 故答案为： x y+3=0 14实数 x， y 满足 ，则 z=x+y+1 的最大值为 4 第 11 页（共 21 页） 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应 的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域， 由 z=x+y+1，即 y= x 1+z， 由图象可知当直线 y= x 1+z 经过点 B（ 3， 0），和直线 x+y 3=0 平行时， 直线 y= x 1+z 的截距最大， 此时 z 最大 代入目标函数 z=x+y+1 得 z=3+1=4 即目标函数 z=x+y+1 的最大值为 4 故答案为： 4 15设 内角 A， B， C，所对的边分别是 a， b， c若（ a+b c）（ a+b+c） =角 C= 【考点】 余弦定理 【分析】 利用已知条件（ a+b c）（ a+b+c） =及余弦定理，可联立解得 值，进一步求得角 B 【解答】 解：由已知条件（ a+b c）（ a+b+c） =得 a2+ab= a2+ 余弦定理得： = 又因为 0 C ，所以 C= 故答案为： 16设函数 f（ x）是奇函数 f（ x）（ x R）的导函数， f（ 1） =0，当 x 0 时， x）f（ x） 0，则使得 f（ x） 0 成立的 x 的取值范围是 （ ， 1） （ 0， 1） 【考点】 函数的单调性与导数的关系 【分析】 构造函数 g（ x） = ，利用 g（ x）的导数判断函数 g（ x）的单调性与奇偶性， 画出函数 g（ x）的大致图象， 结合图形求出不等式 f（ x） 0 的解集 第 12 页（共 21 页） 【解答】 解：设 g（ x） = ，则 g（ x）的导数为： g（ x） = ， 当 x 0 时总有 x） f（ x）成立， 即当 x 0 时， g（ x）恒小于 0， 当 x 0 时，函数 g（ x） = 为减函数， 又 g（ x） = = = =g（ x）， 函数 g（ x）为定义域上的偶函数 又 g（ 1） = =0， 函数 g（ x）的大致图象如图所示： 数形结合可得，不等式 f（ x） 0xg（ x） 0 或 ， 0 x 1 或 x 1 f（ x） 0 成立的 x 的取值范围是（ ， 1） （ 0， 1） 故答案为：（ ， 1） （ 0， 1） 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17等差数列 前 n 项和为 ， 0，数列 足 + ）求 （ ）设 cn=bn，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式 【分析】 （ I）利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出； （ 用递推关系与 “裂项求和 ”即可得出 【 解答】 解：（ I）设等差数列 公差为 d， ， 0， 第 13 页（共 21 页） ，解得 a1=d=2 +2（ n 1） =2n （ + 当 n=1 时， b1=； 当 n 2 时， +（ n 1） 1=1， 1=2， 解得 cn=bn= =4 数列 前 n 项和 + + =4 = 18 2015 年 8 月 12 日天津发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失某港口组织消防人员对该港口的公司的集 装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级（一级为优，二级为良，三级为中等，四级为差），该港口消防安全等级的统计结果如下表所示： 等 级 一级 二级 三级 四级 频 率 m m 从该港口随机抽取了 n 家公司，其中消防安全等级为三级的恰有 20 家 （ 1）求 m， n 的值； （ 2）按消防安全等级利用分层抽样的方法从这 n 家公司中抽取 10 家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意抽取 2 家，求抽取的这 2 家公司的消防安全等级都是二级的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事 件发生的概率；分层抽样方法 【分析】 （ 1）由已知先求出 m，由频率 = ，能求出 n （ 2）由分层抽样的方法得到消防安全等级为一级的有 3 家，二级的有 4 家，三级的有 2 家，四级的有 1 家记消防安全等级为二级的 4 家公司分别为 A， B， C， D，三级的 2 家公司分别记为 a， b，从中抽取 2 家公司，利用列举法能出抽取的 2 家公司的消防安全等级都是二级的概率 【解答】 解：（ 1）由已知可得： m+m+， 解得： m= 所以 n= =100 （ 2）由（ 1）知，利用分层抽样的方法从中抽取 10 家公司， 则消防安全等级为一级的有 3 家，二级的有 4 家，三级的有 2 家，四级的有 1 家 记消防安全等级为二级的 4 家公司分别为 A， B， C， D，三级的 2 家公司分别记为 a， b， 第 14 页（共 21 页） 则从中抽取 2 家公司，不同的结果为： （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ 共 15 种， 记 “抽取的 2 家公司的消防安全等级都是二级 ”为事件 M， 则事件 M 包含的结果有：（ （ （ （ （ （ 共 6 种， 所以 P（ M） = = 19如图，三棱柱 ， B， 0 （ ）证明： （ ）若 B=1， ，求三棱锥 A 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征 【分析】 （ I）取 中点 O，连接 B 得 平面 是 （ 据等边三角形性质求出 勾股定理逆定理得出 出 S ，于是 V =2V 【解答】 （ ）证明：取 中点 O，连接 B， 0 等边三角形 又 面 面 平面 面 （ ）解： C=， ， ， 0， ， 11 S = = V =2V =2 =2 = 第 15 页（共 21 页） 20如图，圆 C 与 x 轴相切于点 T（ 2， 0），与 y 轴正半轴相交于两点 M， N（点 M 在点 且 |3 （ ）求圆 C 的方程； （ ）过点 M 任作一条直线与椭圆 相交于两点 A、 B，连接 证： 【考点】 直线与圆锥曲线的关系； 圆的标准方程 【分析】 （ ）设圆 C 的半径为 r（ r 0），依题意，圆心坐标为（ 2， r），根据 |3，利用弦长公式求得 r 的值，可得圆 C 的方程 （ ）把 x=0 代入圆 C 的方程，求得 M、 N 的坐标，当 y 轴时，由椭圆的对称性可知 y 轴不垂直时，可设直线 方程为 y=，代入椭圆的方程，利用韦达定理求得 ，可得 【解答】 解：（ ）设圆 C 的半径为 r（ r 0），依题意，圆心坐标为（ 2， r） |3， ，解得 ， 故圆 C 的方程为 （ ）把 x=0 代入方程 ，解得 y=1 或 y=4， 即点 M（ 0， 1）， N（ 0， 4） （ 1）当 y 轴时，由椭圆的对称性可知 （ 2）当 y 轴不垂直时，可设直线 方程为 y= 联立方程 ，消去 y 得，（ 1+26=0 设直线 椭圆 于 A（ B（ 点， 则 ， 第 16 页（共 21 页） =0， 综上所述， 21已知函数 f（ x） =x， a R （ ）当 a=1 时，求函数 f（ x）的图象在点（ 1， f（ 1）处的 切线方程； （ ）讨论函数 f（ x）的单调区间； （ ）已知 a 0，对于函数 f（ x）图象上任意不同的两点 A（ B（ 其中线 斜率为 k，记 N（ u， 0），若 ，求证 f（ u） k 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）根据导数的几何意义即可求出切线方程， （ ）先求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，得到函数的单调区间， （ ）要证： f（ u） k，只需证 ，构造函数令，通过讨论函数的单调性，从而证出结论 【解答】 解：（ ）当 a=1 时， f（ x） =x2+x， ， f（ 1） =4 又 f（ 1） =2+1=2， 函数 f（ x）的图象在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为： y 2=4（ x 1）， 即 4x y 2=0 （ ） f（ x）的定义域为（ 0， +） ， 当 a 0 时， f（ x） 0 在（ 0， +）上恒成立， f（ x）在定义域内单调递增； 当 a 0 时，令 f（ x） =0，解得， ， x 0， 则 时， f（ x） 0， f（ x）单调递增； 时， f（ x） 0， f（ x）单调递减； 第 17 页（共 21 页） 综上， a 0 时， f（ x）的单调递增区间为（ 0， +）； a 0 时， f（ x）的单调递增区间为 ， f（ x）的单调递增区间为（ ）证明： = ， ， （ u ， 又 ， ， ， a 0， 1 2， 要证： f（ u） k，只需证 即证： ，设 令 ， 则 ， 令 h（ t） = 2 2+2） t（ 1） 2， t 1， 1 2 对称轴 h（ t） h（ 1） =0， g（ t） 0， 第 18 页（共 21 页） 故 g（ t）在（ 1， +）内单调递减，则 g（ t） g（ 1） =0， 故 f（ u） k 请考生在第 22， 23， 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请在答题卡中用 2B 铅笔把所选做题的后面的方框涂黑，并写清题号再作答 选修 4何证明选讲 22 如图所示， O 的直径， D 为 的中点， E 为 中点 （ ）求证：