河南省驻马店市2015-2016学年高一下期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2015年河南省驻马店市高一（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1若向量 =（ 1， 2）， =（ 3， 1），则 2 =（ ） A（ 5， 3） B（ 5， 1） C（ 1， 3） D（ 5， 3） 2 值是（ ） A B C D 3一个年级有 12 个班，每个班的同学从 1 至 50 排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为 14 的同学留下进行交流，这里运用的是（ ） A系统抽样 B分层抽样 C抽签抽样 D随机抽样 4一扇形的中心角为 2，对应的弧长为 4，则此扇形的面积为（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 5执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（ ） A 3 B C D 2 6甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均环数 x 差 这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 7函数 y= ， 上的图象是（ ） A B CD 第 2 页（共 17 页） 8某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出 400 人参加笔试，再按笔试 成绩择优选出 100人参加面试现随机抽取 24 名笔试者的成绩，如表所示： 分数段 60，65） 65，70） 70，75） 75，80） 80，85） 85，90） 人数 2 3 4 9 5 1 据此估计允许参加面试的分数线大约是（ ） A 90 B 85 C 80 D 75 9已知函数 f（ x） =x+）， x R（其中 0， | ）的部分图象如图所示设点 C（ ， 4）是图象上 y 轴右侧的第一个最高点， 面积是（ ） A 3 B 4 C 6 D 12 10有长度分别为 13579五条线段，任取三条线段，能以它们构成三角形的概率是（ ） A B C D 11已知实数 a， b 均不为零， = 2= ，则 =（ ） A B C D 12已知 O 是三角形 部一点，满足 +2 +m = ， = ，则实数 m=（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 二、 填空题 :本大题共 4 小题。每小题 5 分，共 20 分 . 13某电视传媒公司为了了解某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100 名观众进行调查，如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该类体育节目时间的频率分布直方图，其中收看时间分组区间是： 0， 10）， 10， 20）， 20， 30）， 30， 40）， 40， 50）， 50， 60将日均收看该类体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为 “体育迷 ”则抽取的 100 名观众中 “体育迷 ”有 名 第 3 页（共 17 页） 14在区间 1， 3上任取一个实数，则该数是不等式 4 的解的概率为 15已知在 ， A= ， ， ， = ， = ， = ，则 的值为 16下面有五个命题： 函数 y=最小正周期是 ； = 函数 y=图象均关于点（ ， 0）成中心对称； 把函数 y=32x+ ）的图象向右平移 个单位得到 y=3图象 其中正确命题的编号是 （写出所有正确命题的编号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答写出文字说明、证明或验算步骤 17已知向量 =（ 1， 2）， =（ x， 1）， = +2 ， =2 （ ）当 时，求 x 的值； （ ）当 时且 x 0 时，求向量 与 的夹角 18如图，点 A， B 是单位圆上的两点， A， B 两点分别在第一、二象限，点 C 是圆与 x 轴正半轴的交点，角 ，若点 A 的坐标为（ ， ），记 （ ）求 的值； （ ）求点 B 的坐标 19某种产品的广告费用支出 x 万元与销售额 y 万元之间有如下的对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 （ 1）画出散点图； （ 2）求回归直线方程； （ 3）据此估计广告费用为 12 万元时，销售收入 y 的值 第 4 页（共 17 页） 20已知向量 =（ =（ 1， 函数 f（ x） =2 +m，且当 x 0，时， f（ x）的最小值为 2 （ ）求 m 的值，并求 f（ x）图象的对称轴方程； （ ）设函数 g（ x） =f（ x） 2 f（ x）， x 0， ，求 g（ x）的最大值 21某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 60 名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组 90， 100）， 100， 110）， ， 140， 150后得到如图部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题 （ ）从该校高三模拟考试的成绩中随机抽取一份，利用随机事件频率估计概率，求数学分数恰在 120， 130）内的频率； （ ）估计本次考试的中位数； （ ）用分层抽样的方法在分数段为 110， 130）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取 2 人，求至多有 1 人在分数段 120， 130）内的概率 22已知 A（ f（ B（ f（ 是函数 f（ x） =2x+）（ 0， 0）图象上的任意两点，且初相 的终边经过点 P（ 1， ），若 |f（ f（ |=4时， |最小值为 （ ）求函数 f（ x）的解析式； （ ）当 x 0， 时，求函数 f（ x）的单调递增区间； （ ）当 x 0， 时，不等式 x） +2m f（ x）恒成立，求实数 m 的取值范围 第 5 页（共 17 页） 2015年河南省驻马店市高一（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1若向量 =（ 1， 2）， =（ 3， 1），则 2 =（ ） A（ 5， 3） B（ 5， 1） C（ 1， 3） D（ 5， 3） 【考点】 平面向量的坐标运算 【分析】 直接利用向量的坐标运算求解即可 【解答】 解：向量 =（ 1， 2）， =（ 3， 1），则 2 =（ 2， 4）（ 3， 1） =（ 5， 3） 故选： A 2 值是（ ） A B C D 【考点】 两角和与差的正弦函数 【分析】 由条件利用两角和的正弦公式化简所给的式子，可得结果 【解答】 解： 30+15） = ， 故选： C 3一个年级有 12 个班，每个班的同学从 1 至 50 排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为 14 的同学留下进行交流，这里运用的是（ ） A系统抽样 B分层抽样 C抽签抽样 D随机抽样 【考点】 系统抽样方法；收集数据的方法 【分析】 学生人数比较多，把每个班级学生从 1 到 50 号编排，要求每班编号为 14 的同学留下进行交流，这样选出的样本是具有相同的间隔的样本，是采用系统抽样的方法 【解答】 解：当总体容量 N 较大时，采用系统抽样将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为预先制定的，在第 1 段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号 本题中，把每个班级学生从 1 到 50 号编排， 要求每班编号为 14 的同学留下进行交流， 这样选出的样本是采用系统抽样的方法， 故选 A 4一扇形的中心角为 2，对应的 弧长为 4，则此扇形的面积为（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 【考点】 扇形面积公式 【分析】 通过弧长公式求出半径，再由扇形面积公式求出结果 【解答】 解： 弧长 l=|r=2r=4 第 6 页（共 17 页） r=2 由扇形的面积公式可得： S= 4 2=4， 故选： C 5执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（ ） A 3 B C D 2 【考点】 循环结构 【分析】 i=0，满足条件 i 4，执行循环体，依此类推，当 i=4， s=2，此时不满足条件 i 4，退出循环体，从而得到所求 【解答】 解： i=0，满足条件 i 4，执行循环体， i=1， s= 满足条件 i 4，执行循环体， i=2， s= 满足条件 i 4，执行循环体， i=3， s= 3 满足条件 i 4，执行循环体， i=4， s=2 不满足条件 i 4，退出循环体，此时 s=2 故选： D 6甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均环数 x 差 这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【考点】 极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数 【分析】 丙的射击水平最高且成绩最稳定，故从这四个人中选择 一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是丙 【解答】 解： 甲、乙、丙、丁四人的平均环数乙和丙均为 ，最大， 甲、乙、丙、丁四人的射击环数的方差中丙最小， 丙的射击水平最高且成绩最稳定， 从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛， 第 7 页（共 17 页） 最佳人选是丙 故选： C 7函数 y= ， 上的图象是（ ） A B CD 【考点】 函数的图象 【分析】 本题可采用排除法解答，先分析出函数的奇偶性，再求出 和 f（ ）的值，排除不满足条件的答案，可得结论 【解答】 解： y=x 和 y=为奇函数 根据 “奇 奇 =偶 ”可得函数 y=f（ x） =偶函数， 图象关于 y 轴对称，所以排除 D 又 ，排除 B 又 f（ ） =，排除 C， 故 选 A 8某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出 400 人参加笔试，再按笔试成绩择优选出 100人参加面试现随机抽取 24 名笔试者的成绩，如表所示： 分数段 60，65） 65，70） 70，75） 75，80） 80，85） 85，90） 人数 2 3 4 9 5 1 据此估计允许参加面试的分数线大约是（ ） A 90 B 85 C 80 D 75 【考点】 频率分布表 【分析】 根据题意，求出参加面试的频率，再计算对应频率的分数段，即可得出分数线大约是多少 【解答】 解：参加面试的频率 为 = 样本中 80， 90）的频率为 = 由样本估计总体知，分数线大约为 80 分 故选： C 9已知函数 f（ x） =x+）， x R（其中 0， | ）的部分图象如图所示设点 C（ ， 4）是图象上 y 轴 右侧的第一个最高点， 面积是（ ） 第 8 页（共 17 页） A 3 B 4 C 6 D 12 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由函数的图象的顶点坐标求出 A，根据五点法作图求得 的值，可得函数 f（ x）的解析式，从而求得 面积是 D 的值 【解答】 解：由题意可得 += ，求得 = 再根据点 C 是最高点可得 A=4，函数 f（ x） =4x+ ） 又 T= =3， 可得 面积是 D=6， 故选： C 10有长度分别为 13579五条线段，任取三条线段，能以它们构成三角形的概率是（ ） A B C D 【考点】 列举法计算基本事件数及事 件发生的概率 【分析】 统计出从 511 条线段中抽取 3 条线段的所有可能情况，再统计出能构成三角形的三条线段的所有组合，利用概率公式解答即可 【解答】 解：从长度分别为 13579 4 条线段中任取 3 条，所有的取法有 =10 种，能构成三角形的有以下情况 357 379 579 P= 故选 C 11已知实数 a， b 均不 为零， = 2= ，则 =（ ） A B C D 【考点】 正弦定理 【分析】 由题意和两角和的正 切公式求出 用商的关系化简已知的等式，即可求出的值 第 9 页（共 17 页） 【解答】 解：由 2= 得， 2+ ） = ， = = ， 则 = ， 故选 D 12已知 O 是三角形 部一点，满足 +2 +m = ， = ，则实数 m=（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 向量的线性运算性质及几何意义 【分析】 根据条件可以得出 ，并设 ，这样即可得出 A， B，M 三点共线，画出图形，并得到 ，从而解出 m 的值 【解答】 解：如图，令 ，则： A， B， M 三点共线； 与 共线反向， ； ； 解得 m=4 故选 C 二、填空题 :本大题共 4 小题。每小题 5 分，共 20 分 . 13某电视传媒公司为了了解某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100 名观众进行调查，如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该类体育节目时间 的频率分布直方图，其中收看时第 10 页（共 17 页） 间分组区间是： 0， 10）， 10， 20）， 20， 30）， 30， 40）， 40， 50）， 50， 60将日均收看该类体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为 “体育迷 ”则抽取的 100 名观众中 “体育迷 ”有 15 名 【考点】 频率分布直方图 【分析】 由频率分布直方图先求出 “体育迷 ”的频率，由此能求出抽取的 100 名观众中 “体育迷 ”有多少名 【解答】 解：由频率分布直方图得： “体育迷 ”的频率为： 1（ 10= 抽取的 100 名观众中 “体育迷 ”有 100 5 名 故答案为： 15 14在区间 1， 3上任取一个实数，则该数是不等式 4 的解的概率为 【考点】 几何概型 【分析】 根据题意利用几何概型计算对应的概率值即可 【解答】 解：在区间 1， 3范围内，不等式 4 的解集为 1， 2， 所以，所求的概率为 P= = 故答案为： 15已知在 ， A= ， ， ， = ， = ， = ，则 的值为 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 首先建立平面直角坐标系，根据向量间的关系式，求出向量的坐标，最后求出向量的数量积 【解答】 解：在 ， A= ， 第 11 页（共 17 页） 建立直角坐标系， ， ， = ， = ， = ， 根据题意得到： 则： A（ 0， 0）， F（ 0， 1）， D（ 1， ）， E（ 2， 0） 所以： ， 所以： 故答案为： 16下面有五个命题： 函数 y=最小正周期是 ； = 函数 y=图象均关于点（ ， 0）成中心对称； 把函数 y=32x+ ）的图象向右平移 个单位得到 y=3图象 其中正确命题的编号是 （写出所有正确命题的编号） 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 将三角函数进行化简，结合周期公式进行求解 利用三角函数的诱导公式进行化简即可 利用辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的对称性进行求解 根据三角函数的图象关系进行 平移化简即可 【解答】 解： 函数 y= 函数的最小正周期是 T=；故 正确， = = 错误 函数 y=x+ ），由 x+ = x=， k Z，则函数的图象均关于点（ ， 0）不成中心对称；故 错误， 把函数 y=32x+ ）的图象向右平移 个单位得到 y=3（ x ） + =3 正确， 故答案为： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答写出文字说明、证明或验算步骤 17已知向量 =（ 1， 2）， =（ x， 1）， = +2 ， =2 （ ）当 时，求 x 的值； 第 12 页（共 17 页） （ ）当 时且 x 0 时，求向量 与 的夹角 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 （ ）进行向量坐标的加法和减法运算便可求出 的坐标，根据向量平行时的坐标关系即可求出 x 的值； （ ）根据向量垂直时的坐标关系即可求出 x 的值，从而得出向量 的坐标，进而求出，这样便可得出向量 的夹角 【解答 】 解：（ ）根据条件， ， ； 时， 3（ 1+2x） 4（ 2 x） =0； ； （ ）当 时， ； 解得 x= 2，或 （舍去）； ； ； 18如图，点 A， B 是单位圆上的两点， A， B 两点分别在第一、二象限，点 C 是圆与 x 轴正半轴的交点，角 ，若点 A 的坐标为（ ， ），记 （ ）求 的值； （ ）求点 B 的坐标 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【分析】 （ ）由已知，根据三角函数的定义可求 值，利用二倍角公式即可计算得解 （ ）利用特殊角的三角函数值，两角和的正弦函数余弦函数公式分别求出 值即可得解 【解答】 （本题满分为 12 分） 第 13 页（共 17 页） 解：（ ） A 的坐标为（ ， ），根据三角函数的定义可知： ， ， = =326 分 （ ） 角 ， + ） = ， + ） = ， 点 B（ ， ） 12 分 19某种产品的广告费用支出 x 万元与销售额 y 万元之间有如下的对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 （ 1）画出散点图； （ 2）求回归直线方程； （ 3）据此估计广告费用为 12 万元时，销售收入 y 的值 【考点】 回归分析的初步应用；线性回归方程 【分析】 （ 1）根据所给的数据，写出 5 组坐标，作出散点图如图所示 （ 2）根据所给的数据先做出横标和纵标 的平均数，利用最小二乘法写出线性回归方程系数的表达式，把样本中心点代入求出 a 的值，得到线性回归方程 （ 3）根据所给的变量 x 的值，把值代入线性回归方程，得到对应的 y 的值，这里的 y 的值是一个预报值 【解答】 解：（ 1）根据所给的数据，写出 5 组坐标，作出散点图如图所示： （ 2）求回归直线方程 =50 b= = a=50 5= 因此回归直线方程为 y= （ 3）当 x=12 时，预报 y 的值为 y=12 元 即广告费用为 12 万元时，销售收入 y 的值大约是 元 第 14 页（共 17 页） 20已知向量 =（ =（ 1， 函数 f（ x） =2 +m，且当 x 0，时， f（ x）的最小值为 2 （ ）求 m 的值，并求 f（ x）图象的对称轴方程； （ ）设函数 g（ x） =f（ x） 2 f（ x）， x 0， ，求 g（ x）的最大值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象 【分析】 （ ）根据平面向量数量积的坐标运算，利用三角恒等变换公式，即可求出结果； （ ）求出 f（ x）的值域，再用换元法计算设 f（ x） =t，求 y=g（ t）的最大值即可 【解答】 解：（ ） =（ =（ 1， f（ x） =2 +m =2 m =m+1 =22x+ ） +m+1， 又 x 0， ， 2x+ ） ， 1， f（ x）的最小值为 m+2=2，解得 m=0； f（ x） =22x+ ） +1； 令 2x+ =， k Z， 得 f（ x）图象的对称轴方程为 x= + ， k Z； （ ）由（ ）知 x 0， 时， 2x+ ） ， 1， f（ x） 2， 3； 设 f（ x） =t，则 y=g（ t） =t， t 2， 3， t=3 时 y 取得最大值 6； 即函数 g（ x）的最大值为 6 21某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 60 名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组 90， 100）， 100， 110）， ， 140， 150后得到如图部分频率分布直方图观察图形的信息，回 答下列问题 （ ）从该校高三模拟考试的成绩中随机抽取一份，利用随机事件频率估计概率，求数学分数恰在 120， 130）内的频率； （ ）估计本次考试的中位数； （ ）用分层抽样的方法在分数段为 110， 130）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取 2 人，求至多有 1 人在分数段 120， 130）内的概率 第 15 页（共 17 页） 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （ ）利用频率分布直方图能求出分数在 120， 130） 内的频率 （ ）由频率分布直方图能估计本次考试的中位数 （ ） 110， 120）分数段的人数为 9 人，在 120， 130）分数段的人数为 18 人，用分层抽样的方法在分数段为 110， 130）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，需在 110， 120）分数段内抽取两人，在 120， 130）分数段内抽取 4 人，由此能求出至多有 1 人在分数段 120，130）内的概率 【解答】 解：（ ）分数在 120， 130）内的频率为： 1（ 10= 数学分数恰在 120， 130）内的频率为 （ ）由频率分