广东省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练：导数及其应用

广东省 2017 届高三数学理一轮复习专题突破训练 导 数 及其应用 一、选择、填空题 1、（ 2016 年全国 I 卷） 函数 y=2x2e|x|在 2,2的图像大致为 （ A）（ B）（ C）（ D）2、（ 2016 年全国 ） 若直线y kx b是曲线是曲线 的切线，b 3、（ 2015 年全国 I 卷） 设函数 ()( 2 1 )xe x a x a ,其中 a 1，若存在唯一的整数 得0() a 的取值范围是（ ） 4、（广州市 2016 届高三二模） 曲线 2 3f x 在点 1, 1f 处的切线方程为 . 5、（ 汕头 市 2016 届高三二模） 已知 等 比数列 1a ， 2016 2a ， 函数 ()y f x 的导函数为 / ()y f x ，且 1 2 2 0 1 6( ) ( ) ( ) ( )f x x x a x a x a ，那么 )0(/f 6、（深圳市 2016 届高三二模） 设定义在 (0, ) 上的函数 ()足 ( ) ( ) l nx f x f x x x ，11()f ，则 () ） A 有极大值，无极小值 B 有极小值，无极大值 C 既有极大值，又有极小值 D 既无极大值，也无极小值 7、（佛山市 2016 届高三 教学质量 检测（一） 已知30 2s )( 一个极大值点，则 )(一个单调递减区间是（ ） A )32,6( B )65,3( C ),2( D ),32( 8、（广州市 2016届高三 1月模拟考试 ） 已知 y f x 为 0x f x f x ，则函数 1g x x f x 0x 的零点个数为 _ 9、（惠州市 2016 届 高三第三次调研考试 ） 设点 P 在曲线 ，点 Q 在曲线 )2 上，则 |最小值为 10、（揭阳市 2016 届高三上期末） 若函数 32( ) 2 1f x x a x 存在唯一的零点，则实数 a 的取值范围为 （ A） 0, ) （ B） 0,3 （ C） ( 3,0 （ D） ( 3, ) 二、解答题 1、（ 2016 年全国 I 卷） 已知函数 有两个零点 . (I)求 a 的取值范围； ( 的两个零点， 学科 明： +x2 g ( n ) 5、（广州市 2016 届高三二模） 已知函数 e x (x R) . ( ) 当 1a 时， 求函数 ( ) 若 0x 时 , l n 1 1f x x ,求实数 a 的取值范 围； （）求证： 2. 6、（茂名市 2016 届高三二模） 已知函数 , x 1 (I) 将 )(成分段函数的形式 （不用说明理由）， 并求 () （ 111 1 比较 )( )(大小。 7、（深圳市 2016 届高三二模） 已知函数 2()e ， 直线 1为曲线 ()y f x 的切线 （ 1）求实数 a 的值； （ 2）用 , 示 ,函数 1( ) m i n ( ) , ( 0 )g x f x x ，若函数2( ) ( )h x g x c x为增函数，求实数 c 的取值范围 8、（潮州市 2016 届高三上期末） 已知函数 ( ) x 。 （ I）若 ()x 1 处取得极值，求实数 a 的值； （ ()5 3x 恒成立 ，求实数 a 的 取值范围 ； 9、（东莞市 2016 届高三上期末） 已知函数 21( ) l n , ( )2f x x g x x k x 。 （ I）设 1 ( 0 )k m ，若函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x在区间（ 0,2）内有且仅有一个极值点，求实数 m 的取值范围； （ 设 ( ) ( ) ( )M x f x g x，若函数 ()点1 2 2 1, ( )x x x x，且满足0 1 22x x x，问：函数 (), ( )x M y 1，若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由。 10、（佛山市 2016 届高三 教学质量 检测（一） 设常数 0 ， 0a ， 2 （ 1）当 43 )(最小值为 0 ，求 的值； （ 2）对于任意给定的正实数 、 a ，证明：存在实数0x，当0， 0)( 11、（广州市 2016 届高三 1 月模拟考试 ） 已知函数 e xf x a x（ e 为自然对数的底数 ， a 为常数）在点 0,1 处的切线斜率为 1 . （ ）求 a 的值及函数 极值； （ ）证明：当 0x 时， 2 ； （ 证明：对任意给定的正数 c ，总存在0x，使得当 ，0有 2 . 12、（惠州市 2016 届 高三第三次调研考试 ） 已知函数 2( ) l n 0 , 1xf x a x x a a a （ ） 求函数 ()调区间； （ ） 若存在 12, 1,1，使得12( ) ( ) 1f x f x e （ e 是自然对数的底数）， 求实数 a 的取值范围 。 参考答案 一、选择、填空题 1、 222 8 8 2 . 8 0 ， 排除 A 222 8 8 2 . 7 1 ， 排除 B 0x 时 ， 22 xf x x e 4 xf x x e ， 当 10,4x 时 ， 01 404f x e 因此 0,4单调递减 ， 排除 C 故选 D 2、 【解析】 1 的切线为：111 y x （设切点横坐标为1x） 的切线为： 22221 11xy x 122122111 1 解得1 12x2 12x 1 1 3、 【答案】 D 【解析】 试题分析：设 () (2 1)， y ax a，由题知存在唯一的整数0x，使得0()y ax a的下方 . 因为 ( ) ( 2 1 )xg x e x ，所以当 12x时， () 0，当 12x时， () 0，所以当12x 时， ( ) 12， 当 0x 时， (0)g =(1) 3 0，直线 y ax a恒过（ 1,0）斜率且 a ，故 (0 ) 1 ，且 1( 1 ) 3g e a a ，解得 32ea 1，故选 D. 考点：导数的综合应用 4、 40 5、 6、 【答案】 D 【解析】 ()0, ) ， ( ) ( ) l nx f x f x x x ， 2( ) ( ) l nx f x f x ， ( ) f x ， 2( ) 1 ， 21( ) l x x x c x 21 1 1 1 1( ) l e e e e ， 12c 221 1 1( ) l n l n ( l n 1 ) 02 2 2f x x x x ， ()0, ) 上单调递增， ()0, ) 上既无极大值也无极小值 7、 B 8、 0 9、 )2 【解析】函数 函数 )2 互为反函数图像关于 对称 ， 则只有直线 直线 垂直时 |能取得最小值。设 1( , )2 xP x e，则点 P 到直线 的距离为 122，令 1 , ( 0 )2 xg x e x x ，则 112 xg x e， 令 1 1 02 xg x e 得 ；令 1 1 02 xg x e 得 0 x ， 则 0,单调递减，在 上单调递增。 则 时 l n 2m i n1 l n 2 1 l n 2 02g x e ，所以m 2d 。 则m i ( 1 l n 2 )P Q d 。 （备注：也可以用平行于 的切线求最值 ） 10、 D 【解析】 函数 32( ) 2 1f x x a x 存在唯一的零点，即方程 322 1 0x a x 有唯一的实根 直线 与函数 3221() x 的图象有唯一的交点，由 332 ( 1)( ) x ，可得 () ( , 1) 上单调递增，在 ( 1,0) 上单调递减，在 (0, ) 上单调递增，所以当 1x 时， ()极小值，( ) ( 1 ) 3g x g 极 小 ，故当 3a 时，直线 与函 数 3 221() x 的图象有唯一的交点 . 或因 2( ) 6 2 ,f x x a x 由 ( ) 0 得 0x 或 3，若 0a 显然 ()若0a ， () ,0) 和 ( , )3a 上单调递减，在 (0, )3 (0) 1 0,f 故 ()若 0a ，要使 ()有 ( ) 0,3解得 3a ，综上得 3a . 二、解答题 1、 由已知得： 1 2 1 1 2x x e a x x e a 若 0a ，那么 0 2 0 2xf x x e x ， x ，不合题意； 若 0a ，那么 20a e ， 所以当 1x 时， 0， 当 1x 时， 0， 即： x ,1 1 1, 0 极小值 故 1, 上至多一个零点 ，在 ,1 上至多一个零点 由于 20 ， 10 ，则 2 1 0， 根据零点存在性定理， 1,2 上有且仅有一个零点 而当 1x 时， ， 2 1 0x ， 故 2 2 22 1 2 1 1 1xf x x e a x e x a x a x e x e 则 0的两根 214 12e e a et a ， 224 12e e a et a ， 12， 因为 0a ，故当12， 21 1 0a x e x e 因此，当 1x 且1， 0 又 10 ，根据零点存在性定理， ,1 有且只有一个零点 此时， 上有且只有两个零点，满足题意 若 02e a ，则 ， 当 时， 1 l n 2 1 0 ， l n 22 2 0a e a ， 即 1 2 0xf x x e a ， 当 1 时， 10x ， l n 22 2 0a e a ，即 1 2 0xf x x e a ， 当 1x 时， 10x ， l n 22 2 0a e a ，即 0， 即： x , a a ,1a 1 1, 0 - 0 + 极大值 极小值 而极大值 22l n 2 2 l n 2 2 l n 2 1 l n 2 2 1 0f a a a a a a a 故当 1x 时， 处取到最大值 ，那么 l n 2 0f x f a恒成立，即 0无解 而当 1x 时， 多一个零点 此时 上至多一个零点，不合题意 若2，那么 1a 当 1 时， 10x ， l n 22 2 0a e a ，即 0， 当 1 时， 10x ， l n 22 2 0a e a ，即 0， 又 x 处有意义，故 上单调递增，此时至多一个零点，不合题意 若2，则 1a 当 1x 时， 10x ， l n 212 2 2 0a e a e a ，即 0， 当 1 时， 10x ， l n 22 2 0a e a ，即 0， 当 时， 1 l n 2 1 0 ， l n 22 2 0a e a ，即 0， 即： x ,1 1 1, a a ,a 0 - 0 + 极大值 极小值 故 当 时， x 处取到最大值 1 ，那么 0f x e 恒成立，即 0无解 当 时， 多一个零点 此时 上至多一个零点，不合题意 综上所述，当且仅当 0a 时符合题意，即 a 的取值范围为 0, 由已知得： 120f x f x，不难发现1 1x，2 1x ， 故可整理得： 1212222211e x 设 221，则 12g x g x那么 23211x ，当 1x 时， 0， 1x 时， 0， 设 0m ，构造代数式 ： 1 1 1 22 2 21 1 1 11 1 11m m m mm m m mg m g m e e e em m m m 设 21 11 m ， 0m 则 2 22201 m ，故 00h m h 因此，对于任意的 0m ， 11g m g m 由 12g x g x可知1x、2 妨设12则必有121令110 ，则有 1 1 1 1 21 1 1 1 2g x g x g x g x g x 而121x，2 1x ， 1, 上单调递增，因此： 1 2 1 222g x g x x x 整理 得：122 2、 【答案】 （） 34a；（） 当 34a或 54a时 ， () 34a或 54a时 ， () 5344a 时 ， () 解析： （）设曲线 ()y f x 与 x 轴相切于点0( ,0)x， 则0( ) 00( ) 0，即300201 0430x a ， 解得0 13,24. 因此，当 34a时 ， x 轴是曲线 ()y f x 的切线 . 5 分 （）当 (1, )x 时 ， ( ) g x x ， 从而 ( ) m i n ( ) , ( ) ( ) 0h x f x g x g x ， () 1， +）无零点 . 当 x =1 时，若 54a， 则 5(1) 04 ， ( 1 ) m i n ( 1 ) , ( 1 ) ( 1 ) 0h f g g ,故 x =1 是 () 若 54a， 则 5(1) 04 ， ( 1 ) m i n ( 1 ) , ( 1 ) ( 1 ) 0h f g f ,故 x =1 不是 ()零点 . 当 (0,1)x 时 ， ( ) g x x ， 所以只需考虑 () 0,1）的零点个数 . ( )若 3a 或 0a ， 则 2( ) 3f x x a 在 （ 0,1）无零点，故 () 0,1）单调，而 1(0)4f ，5(1) 4 ， 所以当 3a 时 ， ()0， 1）有一个零点；当 a 0 时， ()0， 1）无零点 . ( )若 30a ，则 ()0，3a ） 单调递减，在（3a ， 1）单调递增，故当 x =3a时， ()小值为 ()3= 213 3 4. 若 ()3 0，即 34 a 0， ()0,1）无零点 . 若 ()3=0，即 34a， 则 ()0,1）有唯一零点； 若 ()3 0，即 334a ， 由于 1(0)4f ， 5(1)4， 所以当 5344a 时 ，()0,1） 有两个零点；当 53 4a 时 ， ()0,1）有一个零点 . 10 分 综上，当 34a或 54a时 ， () 34a或 54a时 ， ()两个零点；当5344a 时 ， () 12 分 3、 【解析】 证明： 2 e2 x 2222 4 22 xx 当 x 2 2 , ，时， 02 , ， 和上单调递增 0x时， 2 e 0 = 12 xx e 2 0 2 4e 2 x x ax x 4e 2e 2x ax 322 01a ，由 (1)知，当0x时， 2 e2 x 的值域为 1 ，只有一解 使得2 e2 tt ， 02t ，当(0, ) 0，()单调减；当( , )时( ) 0，()单调增 222e 1 t t t 记 e 2t ，在 0, 2t时， 22t t ， 21a k t ， 4、 5、 ( )解 :当 1a 时， e x x ,则 1 1e . 1 分 令 0 ，得 0x . 当 0x 时 , 0 ; 当 0x 时 , 0 . 2 分 函数 ,0 上单调递减 ,在区间 0, 上单调递增 . 当 0x 时 ,函数 其值为 01f . 3 分 ( )解 :若 0x 时 , l n 1 1f x x ,即 l n 1 1 0xe a x x .(*) 令 l n 1 1xe a x x , 则 11xg x e . 若 2a ,由 ( )知 1,即 1 ,故 1 . 1 1 11 2 1 2 01 1 1xg x e a x a x a ax x x . 4 分 函数 0, 上单调递增 . 00g x g. (*)式成立 . 5 分 若 2a ,令 11xx e , 则 222111 011xx . 函数 x 在区间 0, 上单调递增 . 由于 0 2 0a , 1 1 11 1 01 1 1aa e a a aa a a . 6 分 故 0 0, ,使得 0 0x . 7 分 则当00 时 , 0 0,即 0 . 函数 00, 0 00g x g,即 (*)式不恒成立 . 8 分 综上所述 ,实数 a 的取值范围是 2, . 9 分 ( )证明 :由 ( )知 ,当 2a 时 , 2 l n 1 1xe x x 在 0, 上单调递增 . 则 1 02,即 12 11 l n 1 1 02e . 10 分 32 e. 11 分 232 ,即 2 32 . 12 分 6、 解：（ 1） 1 分 0,1)(22 2 分 当 0 时 0)( )(调递减， 当 时 0)( )(调递增 3 分 所以 )(单调增区间为 ,e ,单调减区间为 e,0 4 分 （ 2）令 ,1,x 11111 1 1 x e x x e x e , 记 1() xx e x ， 则 1x 时 /1( ) 1 0 ， ()x 在 (1, ) 是增函数， ( ) (1) 0x 所以在 (1, ) 上， 0， ,1 内单调递增。 而 11 , 5 分 111 , 1 1 0 , 且 011 e . 又因为 e,1 上是增函数且连续不间断 ,所以 e,1 内有唯一的零点 , 不妨设为 1c ,即 01 1 c ,其中 11 . 6 分 又由于 ,1 内单调递增 ,则当 1,1 时 , 01 当 ,1 , 01 那么 , 再令 ,1, 则有 ,11111 7 分 1) 当 11,， 1 ,x ep x e 021 x , 1,1c 上递增 . 又 11 1e c 所以1， 0 c. 故当 11,时， 0, 8 分 2) 当 1,x c e时， 11( ) ( 1 ) 0 , 0 ,e x e x 1 212 1 10x x e x x x e ， 上单调递增 . 0 c, 0112 11 上单调递增且连续不间断，知 有唯一个零点 ,不妨设为 2c ,则 0 c,其中 12 . 故当 21, 时 , 02 g x f x ; 9 分 当 2 时 , 2 0p x p c ， g x f x 10 分 3) 当 , 时， 1 ,x ep x e 易知 ,e 上单调递减。 又 011 e , 01211221212 221 上单调递减且连续不间断 , 有唯一的零点 ,不妨设为 3c , 即 031 3 c,其中 ,3 ,e 上单调递减 , 有当 3, , 03 g x f x 11 分 当 ,3 3 0p x p c. g x f x 12 分 7、 【解析】（ 1）对 ()22 ( 2 )()()e x e x xf x a ， 设直线 1曲线 ()y f x 切于点00( , )P x y， 则 00200001( 2 x )1 ， 解得0 1 所以 a 的 值为 1 （ 2）记函数 211( ) ( ) ( ) , 0x f x x x xx e x ， 下面考察函数 ()y F x 的符号 对函数 ()y F x 求导得2( 2 ) 1( ) 1 , 0x 当 2x 时 ( ) 0 恒成立 当 02x时， 2( 2 )( 2 ) 12 ， 从而2 2 2 2( 2 x ) 1 1 1 1 1( x ) 1 1 1 1 0e x e x x x ( ) 0 在 (0, ) 上恒成立，故 ()y F x 在 (0, ) 上单调递减 21 4 3( 1 ) 0 , ( 2 ) 02 ， (1) (2 ) 0 又曲线 ()y F x 在 1,2 上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知 惟一的 0 (1,2)x ， 使 0( ) 0 00( 0 , ) , ( ) 0 ; ( , ) , ( ) 0x x F x x x F x 0201 01( ) m i n ( ) , ,xx x x f x xx x ， 从而2022201 ) ( ),xx c x x x g x c xx c x x ， 02011 2 0()( 2 ) 2,xc x x c x x ，由函数 2( ) ( )h x g x c x为增函数，且曲线 ()y h x 在 (0, ) 上连续不断知 ( ) 0 在0(0, )x，0( , )x 上恒成立 当0， ( 2 ) 20在 0( , )x 上恒成立，即 22e 在 0( , )x 上恒成立 记02( ) ,x xu x x ， 则03( ) ,x x ， 当 x 变化时， ()， () x 0( ,3)x 3 (3, ) () 0 ()极小值 m i n 31( ) ( ) ( 3 )u x u x u e 极 小 故“ 22e 在 0( , )x 上恒成立”只需 m i )c u x e ， 即312c e 当00 时，21( ) 1 2h x c ， 当 0c 时， ( ) 0 在 0(0, )x 上恒成立 综合（ 1）（ 2）知，当312c e 时，函数 2( ) ( )h x g x c x为增函数 故实数 c 的取值范围是31( , 2e ） ( ) x ， 221( ) a x x x x . 1 分 由题意得(1) 0f ，即 1 01a，解得 1a . 2 分 经检验，当1数()x 取得极大值 . 3 分 1a . （ ）设( ) ( ) 3 5 l n 3 5ag x f x x x ，则函数 ()定义域为 (0, ) 当0x时，( 0成立 于是(1) 2 0 ，故2a .5 分 213( ) 3a x x ax x x 方程( ) 0有一负根12其中1 当2( 0 , )， ( ) 0，函数 ()调递减 当2( , ) 时， ( ) 0，函数 ()调递增 ()在定义域上的最小值为2 .7 分 依题意2( ) 0即2 2 22( ) l n 3 5 0ag x x 又22230x x a ， 于是22 31又0x， 所以312 2 2 2 2( ) 3 1 l n 3 5 0g x x x x ，即6 6 ， .9 分 令 ( ) 6 6 x x x ，则1 6 1( ) 6 当1( , )3 时，( ) 0所以) 又 (1 ) 6 6 l n 1 0h ，所以226 6 的解集为1, ) . 11 分 又函数 23y x x在 1( , )6 上单调递增， 223 3 1 1 2a x x 故, ) .12 分 解法二：由于 ( ) x 的定义域为(0, )， 于是( ) 5 3f x x可化为3 .5 分 设3 2 则( ) 6g x x x 设( ) ( )h x g x，则1 1 6( ) 6 当(1,x 时，( ) 0所以()在1, )减函数 又( (1) 0， 当( , )时， ( ) (1) 0h x h，即 当(1, )x 时， ( ) 0， , )上是减函数 当1, )x 时，( ) (1 ) 1 l n 1 3 5 2g x g .8 分 当(0,1)时，先证1 设)1( ( ) 0x， )( ，0)( F，即1 当0,1)x时， 22)1(253)1(53 222 综上所述 ()最大值为 2 , ) .12 分 9、 10、 【 解析 】 222 x x x 222x x 1 分 2222x x a 3 2 2222x a x a x 将 34a 代入得 233 2 2 322 4 9 34 5 6 344 x x xx x x x x x , 3 分 由 0 ,得 x ,且当 0,x 时 , 0 , 4 分 ,x 时 , 0 , 当 x 时 , 13 , 因此 13 ,令 0f ,解得 23e . 6 分 ( )因为 22l n l n l x a x x a x x a , 7 分 记 x x a x ,故只需证明 :存在实数0x,当0 , 0, 方法 1 l n l nh x x a x x a x a x x , 8 分 设 x x, 0x ,则 1 1 222 易知当 4x 时 ,m i n 2 2 l n 2 0y ,故 y x x 10 分 又由 0x a x 解得 : 2 42 ,即 22 42 取 22042 ,则当0 , 恒有 0. 即当0 , 恒有 0成立 . 12 分 方法 2 由 x x a x ,得 : 1 a x ,