天津市蓟县2015-2016学年高二下期中考试数学试题(理)含答案

第 1页（共 16页） 2015年浙江省宁波市高二（下）期中数学试卷 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分 有一个选项是符合题目要求的 . 1设集合 M=x|x 8 0， N=y|y=2x，则 MN=（ ） A（ 0， 4） B 0， 4） C（ 0， 2） D 0， 2） 2下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） A y= y=x3+x C y=3x D y= 3已知 a， b 均为实数，则 “a b） 0”是 “a b 0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4函数 （ 0 a 1）的图象的大致形状是（ ） A B CD 5在（ 1+x） 6（ 1+y） 4 的展开式中，记 的系数为 f（ m， n），则 f（ 3， 0） +f（ 2， 1）+f（ 1， 2） +f（ 0， 3） =（ ） A 45 B 60 C 120 D 210 6 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A 60 B 48 C 42 D 36 7设实数 a， b， t 满足 |a+1|=|t则（ ） A若 t 确定，则 一确定 B若 t 确定，则 a 唯一确定 C若 t 确定，则 一确定 D若 t 确定，则 a2+a 唯一确定 8已知函数 f（ x） = k+1） 2x+1，若存在 k， k+1， k+2， k+4，使得 f（ f（ 则实数 k 的取值范围为（ ） A ， B ， 1 1， 3 C 2， 1 1， 2 D ， ， 第 2页（共 16页） 二、填空题：本大题共 7 小题，共 36 分 ： 12 题，每小题 6分；第 13： 15题，每小题 6 分 . 9已知集合 A=|m|， 0， B= 2， 0， 2， C= 2， 1， 0， 1， 2， 3，若 AB，则 m= ；若集合 P 满足 BPC，则集合 P 的个数为 个 10已知 C =36，则 n= ；已知 6p=2， q，则 = 11若 f（ x） = ，则 f（ f（ 1） = ， f（ f（ x） 1 的解集为 12如图所示：有三根针和套在一根针上的若干金属片按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上 （ 1）每次只能移动一个金属片； （ 2）在每次移动过程中，每根针上较大的 金属片不能放在较小的金属片上面将 n 个金属片从 1 号针移到 3 号针最少需要移动的次数记为 f（ n）； f（ 3） = ； f（ n） = 13将 5 名志愿者分成 4 组，其中一组有 2 人，其余各组各 1 人，到 4 个路口协助交警执勤，则不同的分配方法有 种（用数字作答） 14若存在 1， 1使得不等式 |4 a2 +1|2 成立，则实数 a 的取值范围是 15已知 f（ x）的定义域为 R， f（ 1） = ，且满足 4f（ x） f（ y） =f（ x+y） +f（ x y），则f 函数 f（ x） = （ 1）求函数 f（ x）的定义域 A； （ 2）设 B=x| 1 x 2，当实数 a、 b（ B，证明： | 17 若不等式 对一切正整数 n 都成立，求正整数 a 的最大值，并证明结论 18已知函数 f（ x） =3（ k 1） x+k+5 （ 1）求函数 f（ x）在 0， 3上最大值； （ 2）若函数 f（ x）在 0， 3上有零点，求实数 k 的取值范围 19已知 椭圆 的左、右焦点， 圆心， 1 为半径的圆 ，且 |2a （ ）求椭圆 方程； 第 3页（共 16页） （ ）过点 P（ 0， 1）的直线 椭圆 A， P 与 直的直线 圆 ， D 两点， M 为线段 点，求 20若函数 x）的定义域为 A=a， b），且 x） =（ + 1） 2 +1，其中 a， a b （ 1）求函数 x）的最小值和最大值； （ 2）若 k= k+1） 2）， k+1=（ k+1） 2，（ k+2） 2），其中 k 是正整数，对一切正整数 k，不等式 f （ +f （ m 都有解，求 m 的取值范围； （ 3）若对任意 ，都有 ， ， 为三边长构成三角形，求 的取值范围 第 4页（共 16页） 2015）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分 有一个选项是符合题目要求的 . 1设集合 M=x|x 8 0， N=y|y=2x，则 MN=（ ） A（ 0， 4） B 0， 4） C（ 0， 2） D 0， 2） 【考点】 交集及其运算 【分析】 分 别求出集合 p， q 的范围，取交集即可 【解答】 解： M=x|x 8 0=x| 4 x 2， N=y|y=2x=y|y 0， 则 MN=（ 0， 2）， 故选： C 2下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） A y= y=x3+x C y=3x D y= 【考点】 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明 【分析】 运用奇偶性的定义和导数的运用，结合常见函数的奇偶性和单调性，即可得到既是奇函数又是 增函数的函数 【解答】 解：对于 A则为对数函数，定义域为（ 0， +），则函数没有奇偶性，故 对于 B定义域为 R， f（ x） = x= f（ x），即有 f（ x）为奇函数， 又 f（ x） =3 0，则 f（ x）在 R 上递增，故 对于 C则为指数函数， f（ x） f（ x），则不为奇函数，故 C 不满足条件； 对于 D则为反比例函数，定义域为（ ， 0） （ 0， +）， f（ x） = f（ x），则 f（ x）为奇函数， 且在（ ， 0）和（ 0， +）均为增函数，故 D 不满足条件 故选 B 3已知 a， b 均为实数，则 “a b） 0”是 “a b 0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断 【解答】 解：由 “a b 0”可得 a b 0， a b） 0，故由 “a b 0”a b） 0， 当 0 a b 时，满足 a b） 0，故由 “a b） 0”推不出 “a b 0”， 故 “a b） 0”是 “a b 0”的必 要不充分条件， 故选： B 4函数 （ 0 a 1）的图象的大致形状是（ ） 第 5页（共 16页） A B CD 【考点】 函数的图象 【分析】 分 x 0 与 x 0 两种情况将函数解析式化简，利用指数函数图象即可确定出大致形状 【解答】 解：当 x 0 时， |x|=x，此时 y=0 a 1）； 当 x 0 时， |x|= x，此时 y= 0 a 1）， 则函数 （ 0 a 1）的图象的大致形状是： ， 故选： D 5在（ 1+x） 6（ 1+y） 4 的展开式中，记 的系数为 f（ m， n），则 f（ 3， 0） +f（ 2， 1）+f（ 1， 2） +f（ 0， 3） =（ ） A 45 B 60 C 120 D 210 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 由题意 依次求出 的系数，求和即可 【解答】 解：（ 1+x） 6（ 1+y） 4 的展开式中，含 系数是： =20 f（ 3， 0） =20； 含 系数是 =60， f（ 2， 1） =60； 含 系数是 =36， f（ 1， 2） =36； 含 系数是 =4， f（ 0， 3） =4； f（ 3， 0） +f（ 2， 1） +f（ 1， 2） +f（ 0， 3） =120 第 6页（共 16页） 故选： C 6 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A 60 B 48 C 42 D 36 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【分析】 从 3 名女生中任取 2 人 “捆 ”在一起，剩下一名女生记作 B，两名男生分别记作甲、乙，则男生甲必须在 A、 后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙 【解答】 解：从 3 名女生中任取 2 人 “捆 ”在一起记作 A， （ 32 种不同排法）， 剩下一名女生记作 B，两名男生分别记作甲、乙； 则男生甲必须在 A、 甲在 A、 为使 A、 有把男生乙排在A、 时就不能满足男生甲不在两端的要求） 此时共有 62=12 种排法（ 右和 左） 最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙， 共有 124=48 种不同排法 故选 B 7设实数 a， b， t 满足 |a+1|=|t则（ ） A若 t 确定，则 一确定 B若 t 确定，则 a 唯一确定 C若 t 确定，则 一确定 D若 t 确定，则 a2+a 唯一确定 【考点】 四种命题 【分析】 根据代数式得出 a=1， 用条件，结合三角函数可判断答案 【解答】 解： 实数 a， b， t 满足 |a+1|=t， （ a+1） 2= a=1， t 确定，则 1 为定值 A， C 不正确， 若 t 确定，则 a 唯一确定， 故选： B 8已知函数 f（ x） = k+1） 2x+1，若存在 k， k+1， k+2， k+4，使得 f（ f（ 则实数 k 的取值范围为（ ） A ， B ， 1 1， 3 C 2， 1 1， 2 D ， ， 【考点】 二次函数的性质 【分析】 由函数的表达式求出函数的对称轴，由函数的对称性得到不等式组，解不等式组求出即可 【解答】 解：由题意得：对称轴 x= ， 又 f（ =f（ ， 第 7页（共 16页） 解得： 2k 1， 1k2， 故答案选； C 二、填空题：本大题共 7 小题，共 36 分 ： 12 题，每小题 6分；第 13： 15题，每小题 6 分 . 9已知集合 A=|m|， 0， B= 2， 0， 2， C= 2， 1， 0， 1， 2， 3，若 AB，则 m= 2 ；若集合 P 满足 BPC，则集合 P 的个数为 8 个 【考点】 集合的包含关系判断及应用 【分析】 利用集合 A=|m|， 0， B= 2， 0， 2， AB，可得 m 的值；利用 BPC，得 2， 0， 2，可能含有 1， 1， 3，即可得出结论 【解答】 解： 集合 A=|m|， 0， B= 2， 0， 2， AB， m=2 B= 2， 0， 2， C= 2， 1， 0， 1， 2， 3， BPC， P 中一定含有 2， 0， 2，可能含有 1， 1， 3， 集合 P 的个数为 23=8 故答案为： 2， 8 10已知 C =36，则 n= 8 ；已知 6p=2， q，则 = 5 【考点】 对数的运算性质 【分析】 由已知得 = =36，由此能求出 n由 6p=2， q， 得 p=此利用对数的性质、运算法则和换底公式能求出 【解答】 解： C =36， = =36， 由 n 0，解得 n=8 6p=2， q， p= = = =10 故答案为： 8， 5 11若 f（ x） = ，则 f（ f（ 1） = ， f（ f（ x） 1 的解集为 【考点】 函数的值 【分析】 （ 1）先求 f（ 1），再求 f（ f（ 1）即可； （ 2）由 f（ f（ x） 1 先解出 f（ x）的范围，再由 f（ x）的范围求 x 的范围即 可 【解答】 解：（ 1） f（ 1） =（ 1） 2=1， 第 8页（共 16页） f（ f（ 1） =f（ 1） = ； （ 2）由 f（ f（ x） 1 得， f（ x） 2 或 f（ x） 1（舍去）； 由 f（ x） 2 得， 2 或 ； 解得， x4 或 x ； 故 f（ f（ x） 1 的解集为 ； 故答案为：（ 1） ，（ 2） 12如图所示：有三根针和套在一根针上的若干金属片按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上 （ 1）每次只能移动一个金属片； （ 2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面将 n 个金属片从 1 号针移到 3 号针最少需要移动的次数记为 f（ n）； f（ 3） = 7 ； f（ n） = 2n 1 【考点】 归纳推理 【分析】 根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减 1 的移动次数都移动到 2 柱，然后把最大的盘子移动到 3 柱，再用同样的次数从 2 柱移动到 3 柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可 【解答】 解：设 h（ n）是把 n 个盘子从 1 柱移到 3 柱过程中移动盘子之最少次数 n=1 时， h（ 1） =1； n=2 时，小盘 2 柱，大盘 3 柱，小柱从 2 柱 3 柱，完成，即 h（ 2） =3=22 1； n=3 时，小盘 3 柱，中盘 2 柱，小柱从 3 柱 2 柱， 用 h（ 2）种方法把中、小两盘移到2 柱，大盘 3 柱；再用 h（ 2）种方法把中、小两盘从 2 柱 3 柱，完成 ， h（ 3） =h（ 2） h（ 2） +1=32+1=7=23 1， h（ 4） =h（ 3） h（ 3） +1=72+1=15=24 1， 以此类推， h（ n） =h（ n 1） h（ n 1） +1=2n 1， 故答案为： 7； 2n 1 13将 5 名志愿者分成 4 组，其中一组有 2 人，其余各组各 1 人，到 4 个路口协助交警执勤，则不同的分配方法有 240 种（用数字作答） 【考点】 计数原理的应用 【分析】 由题意，先分组，再到 4 个路口 协助交警执勤，即可求得不同的分配方案 【解答】 解：由题意，先分组，再到 4 个路口协助交警执勤， 则不同的分配方案有 40 种 第 9页（共 16页） 故答案为： 240 14若存在 1， 1使得不等式 |4 a2 +1|2 成立，则实数 a 的取值范围是 0， 【考点】 函数恒成立问题 ；特称命题 【分析】 将不等式进行等价转化，利用换元法，结合基本不等式的性质进行转化求解，建立不等式关系进行求解即可得到结论 【解答】 解：不等式 |4 a2 +1|2 等价为 2， 即 |2 + a|2， 即 22 + a2， 即 a 22 + 2+a， 设 t=2 ，当 1， 1是 t ， 2， 设 y=t+ ， 则函数在 ， 1上是减函数，在 1， 2上是增函数， 则当 t=1 时，函数取得最小值 y=1+1=2， 当 t=2 或 t= ，函数取得最大值 y= +2= ， 则 2y ， 即 a 2y2+a， 若 a 2， a+2与 2， 没有公共点， 则 a+2 2 或 a 2 ， 即 a 0 或 a ， 则若 a 2， a+2与 2， 有公共点， 则 0a ， 第 10页（共 16页） 故答案为： 0， 15已知 f（ x）的定义域为 R， f（ 1） = ，且满足 4f（ x） f（ y） =f（ x+y） +f（ x y），则f= ，即可求出 0） =f（ 1） +f（ 1）， f（ 1） = ， f（ 0） = 取 x=n， y=1，有 f（ n） =f（ n+1） +f（ n 1）， 同理 f（ n+1） =f（ n+2） +f（ n） 联立得 f（ n+2） = f（ n 1） 所以 f（ n） = f（ n+3） =f（ n+6） 所以函数是周期函数，周期 T=6， 故 f= 故答案为： 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分 明过程或演算步骤 . 16函数 f（ x） = （ 1）求函数 f（ x）的定义域 A； （ 2）设 B=x| 1 x 2，当实数 a、 b（ B，证明： | 【考点】 交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法 【分析】 （ 1）分类讨论 x 的范围，根据负数没有平方根，利用绝对值的代数意义求出 x 的范围，即可确定出 A； （ 2）求出 补集的交集，得到 a、 b 满足的集合，把所证等式两边平方，利用作差法验证即可 【解答】 （ 1）解：由题意得： |x+1|+|x+2| 50， 当 x 2 时，得 x 4；当 2 x 1 时，无解；当 x 1 时，得 x1， A=x|x 4 或 x1； （ 2）证： B=x| 1 x 2， x| 4 x 1， Bx| 1 x 1， a、 bx| 1 x 1， 要证 |1+ |，只需证 4（ a+b） 2（ 4+2， 4（ a+b） 2（ 4+2=416=（ 4）（ 4 a、 b x| 1 x 1， （ 4）（ 4 0， 4（ a+b） 2（ 4+2， |1+ |成立 第 11页（共 16页） 17若不等式 对一切正整数 n 都成立，求正整数 a 的最大值，并证明结论 【考点】 数学归纳法 【分析】 直接利用数学归纳法的证明步骤，通过 n=1，假设 n=k 时等式成立，证明 n=k+1时等式也成立，即可证明结果 【解答】 解：当 n=1 时， ，即 ，所以 a 26 而 a 是正整数， 所以取 a=25， 下面用数学归纳法证明： （ 1）当 n=1 时，已证； （ 2）假设当 n=k 时，不等式成立，即 则当 n=k+1 时，有 = 因为 ， 所以 所以当 n=k+1 时不等式也成立 由（ 1）（ 2）知，对一切正整数 n，都有 ； 18已知函数 f（ x） =3（ k 1） x+k+5 （ 1）求函数 f（ x）在 0， 3上最大值； （ 2）若函数 f（ x）在 0， 3上有零点，求实数 k 的取值范围 【考点】 二次函数的性质；函数零点的判定定理 【分析】 （ 1） 由已知，函数 f（ x）的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线 ，分类讨论，即可求出函数 f（ x）在 0， 3上最大值； （ 2）分类讨论函数 f（ x）在区间 0， 3上有两相同的零点、两不同的零点、函数 f（ x）有两个不同零点且在 0， 3上仅有一个零点，根据函数性质组成不等式组求解即可或利用分离参数求最值的方法求解 【解答】 解：（ 1）由已知，函数 f（ x）的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线 当 ，即 时， f（ x） f（ 3） =7k+26 第 12页（共 16页） 当 ，即 时， f（ x） f（ 0） =k+5 综上： . （ 2） 1当函数 f（ x）在 0， 3上有两相同的零点时： ， 解得 k= 2 2当函数 f（ x）在 0， 3上有两不同的零点时： ， 解得 . 3当函数 f（ x）有两个不同零点且在 0， 3上仅有一个零点时： 由零点存在定理得： f（ 0） f（ 3） 0，解得 而当 k= 5 时， f（ x） =312x，此时该函数的零点为 0 和 4，符合要求 综上： 5k 2. 解法 2：函数 f（ x）在 0， 3上有零点等价于 方程 3（ k 1） x+k+5=0 在 0， 3上有解 即 k（ 2x+1） =（ 32x+5） 所以 令 t=2x+11， 7，则 在 1， 3单调递增，在 3， 7单调递减 所以 k 5， 2 19已知 椭圆 的左、右焦点， 圆心， 1 为半径的圆 ，且 |2a （ ）求椭圆 方程； （ ）过点 P（ 0， 1）的直线 椭圆 A， P 与 直的直线 圆 ， D 两点，