2016年河南省顶级名校高考数学二模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年河南省顶级名校高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 1若集合 A=x| 2x+1） 1，集合 B=x|1 3x 9，则 AB=（ ） A（ 0， ） B（ ， ） C（ 0， 2） D（ ， 2） 2 i 是虚数单位，复数（ 1+3i）（ a i）在复平面内对应的点在第四象限，则 a 的范围（ ） A（ 3， +） B（ ， ） C（ 3， ） D（ 3， 1） 3若椭圆 （ a b 0）的离心率为 ，则双曲线 的离心率是（ ） A 2 B C D 3 4设直线 y= x+b 是曲线 y=一条切线，则 b 的值为（ ） A 1 B 2 C 21 D 22 5设 a R，则 “a=1 是 “f（ x） =a+ ）为奇函数 ”的（ ） A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6已知实数 x 1， 10，执行如图所示的程序框图，则输出 x 的值不小于 55 的概率为（ ）A B C D 7已知各项均为正数的等比数列 ， 0，则 ） A B 7 C 6 D 8若某几何体的三视图（单位： 图所示，则该几何体的体积等于（ ） 第 2 页（共 21 页） A 10 20C 30 40等差数列的前 n 项和为 满足 1 0 的正整数 n 为（ ） A 2015 B 2013 C 2014 D 2016 10已知 三个顶点在以 O 为球心的球面上，且 ， ， ，三棱锥 O 体积为 ，则球 O 的表面积为（ ） A 36 B 16 C 12 D 11在 ， ， ， 0，若 P 是 在平面内一点，且 ，则 的最大值为（ ） A 10 B 12 C 10+2 D 8 12设过点 P（ 1， 1）作两直线， 抛物线 x 任相切于点 A， B，若 F 为抛物线 x 的焦点， | | |=（ ） A B 5 C 8 D 9 二、填空题 :本大题共 4 小题。每小题 5 分，共 20 分 . 13用系统抽样的方法从 300 名学生中抽取容量为 20 的样本，将 300 名学生从 1 300 编号，按编号顺序平均分成 20 组，若第 16 组应抽出的号码为 231，则第一组中用抽签方法确定的号码是 14若实数 x， y 满足条件 ，则 2x+y 的最大值为 15已知点 A（ 0， 3），若圆 C：（ x a） 2+（ x 2a+4） 2=1 上存在点 M，使 |2|则 圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为 16在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 2ca+b，若 面积为 S= c，则 最小值为 三、解答题：解答写出文字说明、证明或验算步骤 17已知 =（ 21）， =（ 0 ），函数 f（ x） = 的图象经过点（ ， 1） （ ）求 及 f（ x）的最小正周期； 第 3 页（共 21 页） （ ）当 x 时，求 f（ x）的最大值和最小值 18某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分 100 分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是 85，乙班学生成绩的中位数是 83 （ 1）求 x 和 y 的值； （ 2）计算甲班 7 位学生成绩的方差 （ 3）从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率 19如图，四边形 矩形，平面 平面 D= ， D 的中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求点 A 到平面 距离 20设椭圆 的离心率 ，右焦点到直线 的距离， O 为坐标原点 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过点 O 作两条互相垂直的射线，与椭圆 C 分别交于 A， B 两点，证明点 O 到直线 求弦 度的最小值 21设函数 f（ x） = 2x2+a R）， g（ x） = +3 （ I）若函数 f（ x）在定义域内单调递减，求实数 a 的取值范围； （ 对任意 x （ 0， e），都有唯一的 e 4， e，使得 g（ x） =f（ +2立，求实数 a 的取值范围 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图 半圆的直径， C 是圆上一点， 点 H， 圆的切线， F 是 C，延长 E （ ）求证： （ ）求证： E 第 4 页（共 21 页） 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标系 ，过点 P（ 2， ）作倾斜角为 的直线 l 与曲线 C：（ x 1） 2+（ y 2） 2=1 相交于不同的两点 M， N （ ）写出直线 l 的参数方程与曲线 C 的极坐标方程； （ ）求 + 取值范围 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x 2|+2|x+a|（ a 0） （ 1）当 a=1 时，解不等式 f（ x） 8； （ 2）若不等式 f（ x） 3 在（ ， +）上恒成立，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 21 页） 2016 年河南省顶级名校高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 1若集合 A=x| 2x+1） 1，集合 B=x|1 3x 9，则 AB=（ ） A（ 0， ） B（ ， ） C（ 0， 2） D（ ， 2） 【考点】 交集及其运算 【分析】 先把集合 A， B 解出来，然后再求 AB 即可 【解答】 解： A=x| 2x+1） 1=x| x ， B=x|1 3x 9=x|0 x 2， AB=x|0 x ， 故选 A 2 i 是虚数单位，复数（ 1+3i）（ a i）在复平面内对应的点在第四象限，则 a 的范围（ ） A（ 3， +） B（ ， ） C（ 3， ） D（ 3， 1） 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 通过复数的运算得到关于 a 的不等式组， 求出 a 的范围即可 【解答】 解： （ 1+3i）（ a i） =（ a+3） +（ 3a 1） i， 又 在复平面内对应的点在第四象限， ，解得： 3 a ， 故选： C 3若椭圆 （ a b 0）的离心率为 ，则双曲线 的离心率是（ ） A 2 B C D 3 【考点】 椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合 【分析】 利用椭圆的离心率求出 系式，然后求解双曲线的离心率即可 【解答】 解：椭圆 （ a b 0）的离心率为 ， 可得 ， 第 6 页（共 21 页） 即： ，可得 ， 在则双曲线 中，由 ，即 ， 可得 ， e= 故选： C 4设直线 y= x+b 是曲线 y= 一条切线，则 b 的值为（ ） A 1 B 2 C 21 D 22 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 设切点为（ m， n），代入曲线的方程，求得曲线对应的函数的导数，可得切线的斜率，由切线的方程可得 m=2，求得 n，代入切线的方程可得 b 【解答】 解：设切点为（ m， n），则 n= y=导数为 y= ， 可得切线的斜率为 ， 由切线方程 y= x+b，可得 = ， 解得 m=2， n= b=n m=1 故选： A 5设 a R，则 “a=1 是 “f（ x） =a+ ）为奇函数 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【 考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据函数奇偶性的定义和性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断 【解答】 解：若 a=1 时， f（ x） =1+ ） = 由 ，解得 x 1 或 x 1， 函数 f（ x）的定义域为（ ， 1） （ 1， +）关于原点对称； 又 f（ x） +f（ x） = ） =， 即 f（ x） = f（ x）， 函数 f（ x）是奇函数即充分性成立 第 7 页（共 21 页） 若 f（ x） =a+ ）为奇函数，则 f（ x） +f（ x） =a+ ） +a+ ）=0， 化为（ a 1） （ a+1）（ 1） +4=0，此式对于定义域内的任意 x 皆成立，必有 a=1， 由上面可知 a=1 满足题意，即必要性成立 故 “a=1”是 “f（ x） =a+ ）为奇函数 ”的充要条件 故选： C 6已知实数 x 1， 10，执行如图所示的程序框图，则输出 x 的值不小于 55 的概率为（ ）A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于 54 得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的 x 不小于 55的概率 【解答】 解：设实数 x 0， 10， 经过第一次循环得到 x=2x+1， n=2 经过第二循环得到 x=2（ 2x+1） +1， n=3 经过 第三次循环得到 x=22（ 2x+1） +1+1， n=4 此时输出 x 输出的值为 8x+7 令 8x+7 55，得 x 6 由几何概型得到输出的 x 不小于 55 的概率为 = = 故选： C 7已知各项均为正数的等比数列 ， 0，则 ） A B 7 C 6 D 【考点】 等比数列 【分析】 由数列 等比数列，则有 ； 00 【解答】 解： ； 00， 第 8 页（共 21 页） ， ， 故选 A 8若某几何体的三视图（单位： 图所示，则该几何体的体积等于（ ） A 10 20C 30 40考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥，画出其直观图，根据棱柱的高为 5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为 3、 4，计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案 【解答】 解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图： 棱柱的高为 5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为 3、 4， 几何体的体积 V= 3 4 5 3 4 5=20（ 故选 B 9等差数列的前 n 项和为 满足 1 0 的正整数 n 为（ ） A 2015 B 2013 C 2014 D 2016 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 由已知可得 0， 0，再由等差数列的性质和求和公式可得得 0， 0，可得结论 【解答】 解：由题意可得 0，即 0， 再由 0，即 0， 由等差数列的求和公式和性质可得 20150， 同理可得 014（ a_1+a_2014） 2=1007（ 0， 满足 1 0 的正整数 n=2014， 第 9 页（共 21 页） 故选： C 10已知 三个顶点在以 O 为球心的球面上，且 ， ， ，三棱锥 O 体积为 ，则球 O 的表面积为（ ） A 36 B 16 C 12 D 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体 【分析】 根与余弦定理和勾股定理的逆定理即可判断三角形 直角三角形，根据棱锥的体积求出 O 到平面 距离，利用勾股定理计算 球的半径 出球的面积 【解答】 解：由余弦定理得 = = ，解得 ， 平面 在球截面的直径 作 平面 D 为 中点， = = ， =2 S 球 O=46 故选： B 11在 ， ， ， 0，若 P 是 在平面内一点，且 ，则 的最大值为（ ） A 10 B 12 C 10+2 D 8 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 可以 A 为坐标原点，边 在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，然后根据条件即可求出 A， B， C 三点的坐标，并可设 P（ R这样便可求出向量的坐标，从而求出 ，根据 两角和的正弦公式即可得到第 10 页（共 21 页） ，而 1 +） 1，从而便可得出 的最大值 【解答】 解：以点 A 为原点，边 在直线为 x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则： A（ 0， 0）， B（ ）， C（ 4， 0）， P（ 22 R； ， ； = = ，其中 为锐角，且 ， R； +） = 1 时， 取最大值 故选 C 12设过点 P（ 1， 1）作两直线， 抛物线 x 任相切于点 A， B，若 F 为抛物线 x 的焦点， | | |=（ ） A B 5 C 8 D 9 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 求出切线 方程，代入 P 点的坐标，结合韦达定理，向量的数量积公式，即可得出结论 【解答】 解：设切点 A、 B 坐标分别为（ （ 24， 两切线斜率分别为： 和 ， 于是：切线 方程为： 2x 代入 P 点的坐标为： 24=0 同理 24=0 由题意， y0+， 4， 第 11 页（共 21 页） | | |=（ 1 （ 1 = 1 （ +5 故选： B 二、填空题 :本大题共 4 小题。每小题 5 分，共 20 分 . 13用系统抽样的方法从 300 名学生中抽取容量为 20 的样本，将 300 名学生从 1 300 编号，按编号顺序平均分成 20 组，若第 16 组应抽出的号码为 231，则第一组中用抽签方法确定的号码是 6 【考点】 系统抽样方法 【分析】 根据题意设出在第 1 组中随机抽到的号码为 x，写出在第 16 组中应抽出的号码，根据第 16 组抽出的号码为 231，构造关于 x 的方程，得到 x 的值 【解答】 解：不妨设在第 1 组中随机抽到的号码为 x， 由于 300 名学生平均分成 20 组，故 每组 15 人 则在第 16 组中应抽出的号码为 15 15+x 即 225+x=231， x=6 故答案为： 6 14若实数 x， y 满足条件 ，则 2x+y 的最大值为 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 足约束条件 的平面区域，求出可行域中各个角点的坐标，分析代入后即可得到答案 【解答】 解：满足约束条件 的平面区域如下图所示： 由图可知：当 x=1， y=2 时， 2x+y 取最大值 4 故答案为： 4 第 12 页（共 21 页） 15已知点 A（ 0， 3），若圆 C：（ x a） 2+（ x 2a+4） 2=1 上存在点 M，使 |2|则圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为 0， 【考点】 圆的标准方程 【分析】 由圆的方程求出圆心坐标，设出 M 坐标，由 |2|得 M 的轨迹，再由两圆相交得到圆心距与半径的关系，求解不等式组得答案 【解答】 解：由 C：（ x a） 2+（ x 2a+4） 2=1，得圆心 C（ a， 2a 4）， 设 M（ x， y）， |2| ， 得 x2+y 3=0，即 y+1） 2=4 点 M 在以 D（ 0， 1）为圆心，以 2 为半径的圆上， 则圆 C 与圆 D 有公共点，满足 2 1 2+1， 即 1 ， 即 ，解得 0 故答案 为： 0， 16在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 2ca+b，若 面积为 S= c，则 最小值为 12 【考点】 正弦定理 【分析】 由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得 ， C= 根据 = abc，求得 c= 由余弦定理化简可得 a2+b2+3此求得 最小值 第 13 页（共 21 页） 【解答】 解：在 ，由条件里用正弦定理可得 2B+C）+ 即 2 2， ， C= 由于 面积为 S= abc， c= 再由余弦定理可得 c2=a2+2ab理可得 a2+b2+3 当且仅当 a=b 时，取等号， 12， 故答案为： 12 三、解答题：解答写出文字说明、证明或验算步骤 17已知 =（ 21）， =（ 0 ），函数 f（ x） = 的图象经过点（ ， 1） （ ）求 及 f（ x）的最小正周期； （ ）当 x 时，求 f（ x）的最大值和最小值 【考点】 三角函数的最值；平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法 【分析】 （ ）利用向量数量积的坐标运算易求 f（ x） =2x ），从而可求 f（ x）的最小正周期；又 y=f（ x）的图象经过点（ ， 1）， 0 ，可求得 ； （ ）由（ ）得 f（ x） =2x ）， x 2x ，利用余弦函数的单调性可求得 f（ x）的最大值和最小值 【解答】 解：（ ） f（ x） = =2x ）， f（ x）的最小正周期为 T=， y=f（ x）的图象经过点（ ， 1）， ） =1， 又 0 ， = ； （ ）由（ ）得 f（ x） =2x ）， x ， 2x ， 当 2x =0，即 x= 时， f（ x）取得最大值 1； 2x = ，即 x= 时， f（ x）取得最小值 第 14 页（共 21 页） 18某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分 100 分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是 85，乙班学生成绩的中位数是 83 （ 1）求 x 和 y 的值； （ 2）计算甲班 7 位学生成绩 的方差 （ 3）从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率 【考点】 古典概型及其概率计算公式；茎叶图；极差、方差与标准差 【分析】 （ 1）利用平均数求出 x 的值，中位数求出 y 的值，解答即可 （ 2）根据所给的茎叶图，得出甲班 7 位学生成绩，做出这 7 次成绩的平均数，把 7 次成绩和平均数代入方差的计算公式，求出这组数据的方差 （ 3）设甲班至少有一名学生为事件 A，其对立事件为从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有 一名学生；先计算出从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生的所有抽取方法总数，和没有甲班一名学生的方法数目，先求出从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生的概率，进而结合对立事件的概率性质求得答案 【解答】 解：（ 1） 甲班学生的平均分是 85， ， x=5， 乙班学生成绩的中位数是 83， y=3； （ 2）甲班 7 位学生成绩的方差为 40； （ 3）甲班成绩在 90 分以上 的学生有两名，分别记为 A， B， 乙班成绩在 90 分以上的学生有三名，分别记为 C， D， E， 从这五名学生任意抽取两名学生共有 10 种情况： （ A， B），（ A， C），（ A， D），（ A， E）， （ B， C），（ B， D），（ B， E）， （ C， D），（ C， E）， （ D， E） 其中甲班至少有一名学生共有 7 种情况：（ A， B），（ A， C），（ A， D），（ A， E），（ B， C），（ B， D），（ B， E） 记 “从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生， 甲班至少有一名学生 ”为事件 M，则 答：从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为 第 15 页（共 21 页） 19如图，四边形 矩形，平面 平面 D= ， D 的中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求点 A 到平面 距离 【考点】 点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1） 连结 点 H，连结 而 中位线，从而证明平面 （ 2）设 A 到平面 距离为 d，利用等积法进行转化解方程 S 可得到结论 【解答】 解：（ 1）证明：如图，连结 点 H，连结 四边形 矩形， H 是线段 中点， 又 点 F 是线段 中点， 中位线， 又 面 面 平面 （ 2）设 A 到平面 距离为 d， 则 |S ， ， ， S =3， 则 d= ， 即点 A 到平面 距离是 第 16 页（共 21 页） 20设椭圆 的离心率 ，右焦点到直线 的距离， O 为坐标原点 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过点 O 作两条互相垂直的射线，与椭圆 C 分别交于 A， B 两点，证明点 O 到直线 求弦 度的最小值 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ I）利用离心率求得 a 和 c 的关系式，同时利用点到直线的距离求得 a， b 和 c 的关系最后联立才求得 a 和 b，则椭圆的方程可得 （ 出 A， B 和直线 方程与椭圆方程联立消去 y，利用韦达定理表示出 x1+用 断 出 ， 求得 m 和 k 的关系式，进而利用点到直线的距离求得 O 到直线 距离为定值，进而利用基本不等式求得 B 时 度最小，最后根据 求得 坐标值 【解答】 解：（ I）由 ， 由右焦点到直线 的距离为 ， 得 ： ， 解得 所以椭圆 C 的方程为 （ A（ B（ 直线 方程为 y=kx+m， 与椭圆 联立消去 y 得 3（ 12=0， ， m）（ m） =0 即（ ） x1+， ， 整理得 72（ ） 所以 O 到直线 距离 为定值 第 17 页（共 21 页） 2B， 当且仅当 B 时取 “=”号 由 ， ， 即弦 长度的 最小值是 21设函数 f（ x） = 2x2+a R）， g（ x） = +3 （ I）若函数 f（ x）在定义域内单调递减，求实数 a 的取值范围； （ 对任意 x （ 0， e），都有唯一的 e 4， e，使得 g（ x） =f（ +2立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）根据题意即可得出 4 0 在（ 0， +）上恒成立，从而有 0 或者，这样便可解出实数 a 的取值范围； （ ）可求 g（ x），根据导数符号便可得出 g（ x）在（ 0， e）上的值域，并设 h（ x） =f（ x）+2x2=m=g（ x），从而可将问题转化为任意的 m （ 3， 4，存在唯一的，使得 h（ =m，求导数 ，然后可讨论 a 的取值：，和 ，在每种情况里可通过求函数 h（ x）的最大值或最小值，以及端点值即可求出满足条件的 a 的取值范围 【解答】 解：（ ） ，由题： f（ x） 0 在（ 0， +）上恒成立； 即 4 0 在（ 0， +）上恒成立； =4 4 1 0，得， 4 a 4； 或 ，故 a 4； 综上， a 4； （ ） g（ x） =x（ 1 x）， g（ x）在（ 0， 1） 上单调递增，在（ 1， e）上单调递减； 且 g（ 0） =3， g（ 1） =4， g（ e） =e+3 3； g（ x）的值域为（ 3， 4； 记 h（ x） =f（ x） +2x2=m=g（ x）； 原问题等价于 m （ 3， 4，存在唯一的 ，使得 h（ =m 成立； = ， x e 4， e； 第 18 页（共 21 页） 当 时， h（ x） 0 恒成立， h（ x）单调递减； 由 ， h（ x） h（ e） =1 3，解得 ； 当 a ， h（ x） 0 恒成立， h（ x）单调递增， ，不合题意，舍去； 当 时， h（ x）在 上单调递减，在 上单调递增； 且 h（ e 4） =4+4 4， h（ e） =1； 要满足条件，则 1 3； ； 综上所述， a 的取值范围是 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图 半圆的直径， C 是圆上一点， 点 H， 圆的切线， F 是 C，延长 E （ ）求证： （ ）求证： E 【考点】 与圆有关的比例线段；相似三角形的性质 【分析】 （ ）连结 明 得 （ ）设 半圆交于点 M，连结 明 得 B=M，即可证明 E 【解答】 证明：（ ）连结 圆的切线， 弦， C， 又 0， （ ）设 半圆交于点 M，连结 圆的切线， A 又 0， ， B=M， M= =M=B 第 19 页（共 21 页） 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标系 ，过点 P（ 2， ）作倾斜角为 的直线 l 与曲线 C：（ x 1） 2+（ y 2） 2=