上海市虹口区2016年高考数学二模试卷（理科）含答案解析

上海市虹口区 2016 年高考数学二模试卷（理科） （解析版） 一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共 14 小题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填写对得 4 分，否则一律不得分 . 1设集合 M=x|x2=x， N=x|0，则 M N= 2已知虚数 1+2i 是方程 x2+ax+b=0（ a， b R）的一个根，则 a+b= 3在报名的 5 名男生和 4 名女生中，选取 5 人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为 （结果用数值表示） 4 已知复数 z 在复平面内对应的点在曲线 y= 上运动，则 |z|的最小值为 5已知函数 f（ x）的对应关系如表： x 2 1 0 1 2 f（ x） 3 2 1 5 m 若函数 f（ x）不存在反函数，则实数 m 的取值集合为 6在正项等比数列 ， ， a2+，则 （ a1+= 7已知 f（ x） =2 0）在 0， 单调递增，则实数 的最大值为 8若行列式 中的元素 4 的代数余子式的值等于 ，则实数 x 的取值集合为 9二项式（ 2x ） n 展开式中的第 5 项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为 10已知 A， B 是球 O 的球面上两点， 0， C 为该球面上的动点，若三棱锥 O积的最大值为 ，则球 O 的表面积为 11如图， A， B 为椭圆 + =1（ a b 0）的两个顶点，过椭圆的右焦点 F 作 x 轴的垂线，与其交于点 C，若 O 为坐标原点），则直线 斜率为 12若经过抛物线 x 焦点的直线 l 与圆（ x 4） 2+ 相切，则直线 l 的方程为 13假设某 10 张奖券中有一等奖 1 张奖品价值 100 元；有二等奖 3 张，每份奖品价值 50元；其余 6 张没有奖现从这 10 张奖券中任意抽取 2 张，获得奖品的总价值 不少于其数学期望 14已知对任意的 x （ ， 0） （ 0， +）， y 1， 1，不等式 2 a 0 恒成立，则实数 a 的取值范围为 二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共 4 小题，每小题有且只有一个正确答案，考生应再答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得 5 分，否则一律得 0 分 . 15 “a=3“是 “直线（ 2a） x+y=0 和直线 3x+y+1=0 平行 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 16已知抛物线 x 的焦点 F 恰好是椭圆 + =1（ a b 0）的右焦点，且两条曲线 点的连线过点 F，则椭圆 长轴长等于（ ） A +1 B 2 C 2 +2 D 4 17在 ， a， b， c 分别是内角 A， B， C 的对边，若 S （其中S 示 面积），且（ + ） =0，则 形状是（ ） A有一个角是 30的等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 18已知点列 n N*）均为函数 y=a 0， a 1）的图象上，点列 n，0）满足 |，若数列 任意连续三项能构成三角形的三边，则 a 的取值范围为（ ） A（ 0， ） （ ， +） B（ ， 1） （ 1， ） C（ 0， ） （ ， +） D（ ， 1） （ 1， ） 三、解答题（本大题共 5 小题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤 19在锐角 ， +B） B） （ 1）求角 A 的值； （ 2）若 =12，求 面积 20如图，在四棱锥 P ，已知 平面 四边形 直角梯形， 0， D=， （ 1）求点 A 到平面 距离； （ 2）若点 Q 为线段 中点，求直线 平面 成角的大小 21已知函数 f（ x） = ）满足 f（ 2） =1，其中 a 为实常数 （ 1）求 a 的值，并判定函数 f（ x）的奇偶性； （ 2）若不等式 f（ x） （ ） x+t 在 x 2， 3上恒成立，求实数 t 的取值范围 22已知直线 y=2x 是双曲线 C： =1 的一条渐近线，点 A（ 1， 0）， M（ m， n）（ n 0）都在双曲线 C 上，直线 y 轴相交于点 P，设坐标原点为 O （ 1）求双曲线 C 的方程，并求出点 P 的坐标（用 m， n 表示）； （ 2）设点 M 关于 y 轴的对称点为 N，直线 y 轴相交于点 Q，问：在 x 轴上是否存在定点 T，使得 存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由 （ 3）若过点 D（ 0， 2）的直线 l 与双曲线 C 交于 R， S 两点，且 | + |=| |，试求直线 l 的方程 23设数列 前 n 项和为 （ 1） 2=n N*） （ 1）求出 值，并求出 数列 通项公式； （ 2）设 1） n+1（ an+）（ n N*），求数列 前 n 项和 （ 3）设 n+1） n N*），在数列 取出 m（ m N*且 m 3）项，按照原来的顺序排列成一列，构成等比数列 若对任意的数列 均有 d1+M，试求 2016 年上海市虹口区高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共 14 小题，只要求在答题纸相 应题号的空格内直接填写结果，每个空格填写对得 4 分，否则一律不得分 . 1设集合 M=x|x2=x， N=x|0，则 M N= 0， 1 【分析】 求出 M 中方程的解确定出 M，求出 N 中不等式的解集确定出 N，找出两集合的并集即可 【解答】 解：由 M 中方程变形得： x（ x 1） =0， 解得： x=0 或 x=1，即 M=0， 1， 由 N 中不等式变形得： 0= 0 x 1， N=（ 0， 1， 则 M N=0， 1， 故答案为： 0， 1 【点评】 此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的 定义是解本题的关键 2已知虚数 1+2i 是方程 x2+ax+b=0（ a， b R）的一个根，则 a+b= 3 【分析】 根据实系数的一元二次方程 x2+ax+b=0 的两个虚数根互为共轭复数，再利用根与系数的关系，即可求出 a、 b 的值 【解答】 解：虚数 1+2i 是方程 x2+ax+b=0 的一个根， 共轭虚数 1 2i 也是此方程的一个根， a=（ x1+=（ 1+2i+1 2i） = 2； b= 1+2i）（ 1 2i） =5； a+b= 2+5=3 故答案为： 3 【点评】 本题考查了实系数的一元二 次方程两个虚数根互为共轭复数以及根与系数关系的应用问题，是基础题 3在报名的 5 名男生和 4 名女生中，选取 5 人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为 125 （结果用数值表示） 【分析】 根据题意，运用排除法分析，先在 9 名中选取 5 人，参加志愿者服务，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有男生的情况，即可得答案 【解答】 解：根据题意，报名的 5 名男生和 4 名女生，共 9 名学生， 在 9 名中选取 5 人，参加志愿者服务，有 26 种； 其中只有男生 种情况； 则男、女生都有的选取 方式的种数为 126 1=125 种； 故答案为： 125 【点评】 本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算 4已知复数 z 在复平面内对应的点在曲线 y= 上运动，则 |z|的最小值为 2 【分析】 设 z=x+ i（ x R， x 0），利用复数模的计算公式、基本不等式的性质即可得出 【解答】 解：设 z=x+ i（ x R， x 0）， 则 |z|= =2，当且仅当 x= 时取等号， 故答案为： 2 【点评】 本题考查了复数的模的计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 5已知函数 f（ x）的对应关系如表： x 2 1 0 1 2 f（ x） 3 2 1 5 m 若函数 f（ x）不存在反函数，则实数 m 的取值集合为 2， 1， 3， 5 【分析】 由已知可得： f（ 2） =3， f（ 1） = 2， f（ 0） =1， f（ 1） =5， f（ 2） =m，利用反函数的定义及其性质即可得出 【解答】 解：由已知可得： f（ 2） =3， f（ 1） = 2， f（ 0） =1， f（ 1） =5， f（ 2） =m， 函数 f（ x）不存在反函数， 则 m 的值只可以为： 2， 1， 3， 5，否则存在反函数 实数 m 的取值集合为 2， 1， 3， 5 故答案为： 2， 1， 3， 5 【点评】 本题考查了反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 6在正项等比数列 ， ， a2+，则 （ a1+= 【分析】 由题中的条件求出 q= ， ，利用等比数列的前 n 项和公式求出 a1+利用数列极限的运算法则求出结果 【解答】 解：由 即 ， 得 解得 q= ， ，（数列是正项数列） 则 a1+a2+= （ a1+= 故答案为： 【点评】 本题考查数列极限的运算法则，等比数列的前 n 项和公式求出 q= ， ，求出是解题的关键，是中档题 7已知 f（ x） =2 0）在 0， 单调递增，则实数 的最大值为 【分析】 由条件利用正弦函数的单调性可得 ，由此求得实数 的最大值 【解答】 解： f（ x） =2 0）在 0， 单调递增， ， 求得 ， 则实数 的最大值为 ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查正弦函数的增区间，属于基础题 8若行列式 中的元素 4 的代数余子式的值等于 ，则实数 x 的取值集合为 【分析】 根据余子式的定义求出元素 4 的代数余子式的表达式，列出关于 x 的 方程化简，利用余弦函数的性质求出实数 x 的取值集合 【解答】 解：由题意得， f（ x） = =+x） 1 2 （ 1） = = ， 解得 ，则 ， 所以实数 x 的取值集合是 ， 故答案为： 【点评】 本题考查了三阶矩阵的代数余子式的定义，余弦函数的性质，属于基础题 9二项式（ 2x ） n 展开式中的第 5 项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为 64 【分析】 = 2n 46，令 n 6=0，解得 n再利用展开式中各项的二项式系数 之和为 2n，即可得出 【解答】 解： = 2n 46， 令 n 6=0，解得 n=6 展开式中各项的二项式系数之和为 26=64 故答案为： 64 【点评】 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 10已知 A， B 是球 O 的球面上两点， 0， C 为该球面上的动点，若三棱锥 O积的最大值为 ，则球 O 的表面积为 64 【分析】 当点 C 位于垂直于面 直径端点时，三棱锥 O 体积最大，利用三棱锥 O 积的最大值为 ，求出半径，即可求出球 O 的表面积 【解答】 解：如图所示，当点 C 位于垂直于面 直径端点时，三棱锥 O 体积最大，设球 O 的半径为 R，此时 C = = ， 故 R=4，则球 O 的表面积为 44， 故答案为： 64 【点评】 本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点 C 位于垂直于面 直径端点时，三棱锥 O 体积最大是关键 11如图， A， B 为椭圆 + =1（ a b 0）的两个顶点，过椭圆的右焦点 F 作 x 轴的垂线，与其交于点 C，若 O 为坐标原点），则直线 斜率为 【分析】 由已知得 C（ c， ）， A（ a， 0）， B（ 0， b），从而得到 ，即 b=c，由此能求出直线 斜率 【解答】 解： A， B 为椭 圆 + =1（ a b 0）的两个顶点， 过椭圆的右焦点 F 作 x 轴的垂线，与其交于点 C， O 为坐标原点）， C（ c， ）， A（ a， 0）， B（ 0， b）， ， bc= b=c， a2=b2+ a= = ， 直线 斜率 k= = 故答案为： 【点评】 本题考查直线方程的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用 12若经过抛物线 x 焦点的直线 l 与圆（ x 4） 2+ 相切，则直线 l 的方程为 y= 【分析】 求出抛物线的焦点坐标，设出 l 的点斜式方程，利用切线的性质列方程解出 k 【解答】 解：抛物线的焦点为 F（ 1， 0），设直线 l 的方程为 y=k（ x 1），即 y k=0， 直线 l 与圆（ x 4） 2+ 相切， =2，解得 k= 直线 l 的方程为： y= （ x 1） 故答案 为： y= （ x 1） 【点评】 本题考查了抛物线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题 13假设某 10 张奖券中有一等奖 1 张奖品价值 100 元；有二等奖 3 张，每份奖品价值 50元；其余 6 张没有奖现从这 10 张奖券中任意抽取 2 张，获得奖品的总价值 不少于其数学期望 【分析】 根据题意可得： 的所有可能值为： 0， 50， 100， 150，（元），再根据古典概型的概率公式分别求出其概率，进 而列出 的分布列与其期望，即可求出获得奖品的总价值 不少于其数学期望 【解答】 解：根据题意可得： 的所有可能值为： 0， 50， 100， 150，（元） 所以 P（ =0） = = ， P（ =50） = = ， P（ =100） = = ， P（ =150）= = ， 所以 的分布列为： 0 50 100 150 P 所以 的数学期望为： +50 +100 +150 =50， 获得奖品的总价值 不少于其数学期望 = ， 故答案为： 【点评】 本题考查古典概 型、排列组合、离散型随机变量的分布列和期望，及利用概率知识解决问题的能力 14已知对任意的 x （ ， 0） （ 0， +）， y 1， 1，不等式 2 a 0 恒成立，则实数 a 的取值范围为 【分析】 设 y= 0， 可得： = +），可得 a 2 ，令 t= ，即可得出 【解答】 解：设 y= 0， =| +）， a 2 ，令 t= ， ， a 2t=（ t 1） 2 1， a 8 4 实数 a 的取值范围为 故答案为： 【点评】 本题考查了三角函数换元方法、三角函数的单调性、基本不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题 二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共 4 小题，每小题有且只有一个正确答案，考生应再答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得 5 分，否则一律得 0 分 . 15 “a=3“是 “直线（ 2a） x+y=0 和直线 3x+y+1=0 平行 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 本题考查的知识点是充要条件的定义及直线平行的充要条件，我们可以先判断 “a=3”“直线（ 2a） x+y=0 和直线 3x+y+1=0 互相平行 ”的真假，再判断 “直线（ 2a） x+y=0和直线 3x+y+1=0 互相平行 ”“a=3”的真假，进而根据兖要条件的定义，得到结论 【解答】 解：当 “a=3”时，直线（ 2a） x+y=0 的方程可化为 3x+y=0， 此时 “直线（ a） x+y=0 和直线 3x+y+1=0 互相平行 ” 即 “a=3”“直线（ 2a） x+y=0 和直线 3x+y+1=0 互相平行 ”为真命题； 而当 “直线（ 2a） x+y=0 和直线 3x+y+1=0 互相平行 ”时， 2a 3=0，即 a=3 或 a= 1，此时 “a=3”不一定成立， 即 “直线（ 2a） x+y=0 和直线 3x+y+1=0 互相平行 ”“a=3”为假命题； 故 “a=3”是 “直线（ 2a） x+y=0 和直线 3x+y+1=0 互相平行 ”的充分不必要条件 故选： A 【点评】 判断充要条件的方法是： 若 pq 为 真命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题q 的充分不必要条件； 若 pq 为假命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件； 若 pq 为真命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件； 若 pq 为假命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件 判断命题p 与命题 q 所表示的范围，再根据 “谁大谁必要，谁小谁充分 ”的原则，判断命题 p 与命题 16已知抛物线 x 的焦点 F 恰好是椭圆 + =1（ a b 0）的右焦点，且两条曲线 点的连线过点 F，则椭圆 长轴长等于（ ） A +1 B 2 C 2 +2 D 4 【分析】 由已知椭圆 + =1（ a b 0）的右焦点 F（ 1， 0）， ，由此能求出椭圆 长轴长 【解答】 解： 抛物线 x 的焦点 F 恰好是椭圆 + =1（ a b 0）的右焦点， 椭圆 + =1（ a b 0）的右焦点 F（ 1， 0）， 两条曲线 点的连线过点 F（ 1， 0）， ， c=1， 又 a2=b2+ a= ， 椭圆 长轴长 2a=2 故选： C 【点评】 本题考查椭圆的长轴长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线、椭圆的性质的合理运用 17在 ， a， b， c 分别是内角 A， B， C 的对边，若 S （其中S 示 面积），且（ + ） =0，则 形状是（ ） A有一个角是 30的等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 【分析】 可作 ，从而可作出平行四边形 且该四边形为菱形，且有 ，根据条件即可得出 而便可得出 C，即 b=c，这样即可 求得 ，而根据条件可得 ，从而有，进一步即可得到 c2=b2+样便可得出 形状 【解答】 解：如图，在边 分别取点 D， E，使 ，以 E 为邻边作平行四边形 ： 四边形 菱形，连接 ； ； ； 又 E； C，即 b=c； 延长 中点于 O，则： ， b=c； ； ； 4a2= c2=b2+ 0，且 b=c； 形状为等腰直角三角形 故选： D 【点评】 考查向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，菱形的对角线互相垂直，以及向量垂直的充要条件，等腰三角形的高线也是中线，以及三角形的面积公式，直角三角形边的关系 18已知点列 n N*）均为函数 y=a 0， a 1）的图象上，点列 n，0）满足 |，若数列 任意连续三项能构成三角形的三边，则 a 的取值范围为（ ） A（ 0， ） （ ， +） B（ ， 1） （ 1， ） C（ 0， ） （ ， +） D（ ， 1） （ 1， ） 【分析】 根据题意，得出 解析式，讨论 a 1 和 0 a 1 时，满足的条件，从而求出 a 的取值范围 【解答】 解：由题意得，点 n， 0）， 足 |， 由中点坐标公式，可得 的中点为（ n+ ， 0）， 即 an=n+ ， ； 当 a 1 时，以 1， 为边长能构成一个三角形， 只需 1+ 1 ， 即 + ， 即有 1+a， 解得 1 a ； 同理， 0 a 1 时，解得 a 1； 综上， a 的取值范围是 1 a 或 a 1， 故选： B 【点评】 本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，也考查了数列递推公式的应用问题，考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目 三、解答题（本大题共 5 小题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤 19在锐角 ， +B） B） （ 1）求角 A 的值； （ 2）若 =12，求 面积 【分析】 （ 1）根据两角和差的正弦公式便可以得出= ，从而可由 得出 ，这样即可得到 A= ； （ 2）可由 及 便可得出 的值，这样根据三角形的面积公式即可求出 面积 【解答】 解：（ 1）在 ， = = = = ； 又 A 为锐角； ； （ 2） ； ； = 【点评】 考查 两角和差的正弦公式， ，已知三角函数值求角，以及向量数量积的计算公式，三角形的面积公式： 20如图，在四棱锥 P ，已知 平面 四边形 直角梯形， 0， D=， （ 1）求点 A 到平面 距离； （ 2）若点 Q 为线段 中点，求直线 平面 成角的大小 【分析】 （ 1）以 A 为原点， 以 坐标轴建立空间直角坐标系，求出平面 计 平面 成的角的正弦值，即可得出 A 到平面 距离； （ 2）证明 平面 为平面 一个法向量，计算 | |即为直线 平面 成角的正弦值 【解答】 解：（ 1）以 A 为原点，以 坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则 A（ 0， 0， 0）， P（ 0， 0， 2）， C（ 2， 1， 0）， D（ 0， 2， 0） =（ 0， 0， 2）， =（ 2， 1， 0）， =（ 0， 2， 2） 设平面 法向量为 =（ x， y， z），则 ， ，令 z=1 得 =（ ， 1， 1） =2， = = 设 平面 成角为 ，则 A 到平面 距离为 |AP| = （ 2） B， Q 是 中点， 又 平面 面 又 面 面 D=A， 平面 =（ 2， 0， 2）为平面 一个法向量 又 Q（ 1， 0， 1）， C（ 2， 1， 0）， =（ 1， 1， 1） =4， = = 直线 平面 成角为 【点评】 本题考查了空间向量的应用，空间距离与空间 角的计算，多采用向量法来解决问题，属于中档题 21已知函数 f（ x） = ）满足 f（ 2） =1，其中 a 为实常数 （ 1）求 a 的值，并判定函数 f（ x）的奇偶性； （ 2）若不等式 f（ x） （ ） x+t 在 x 2， 3上恒成立，求实数 t 的取值范围 【分析】 （ 1）根据 f（ 2） =1，构造方程，可得 a 的值，结合奇偶性的宝义，可判定函数f（ x） 的奇偶性； （ 2）若不等式 f（ x） （ ） x+t 在 x 2， 3上恒成立，则 t ）（ ）x 在 x 2， 3上恒成立，构造函数求出最值，可得答案 【解答】 解：（ 1） 函数 f（ x） = ）满足 f（ 2） =1， ） =1， = ， 解得： a= 1， f（ x） = ）的定义域（ ， 1） （ 1， +）关于原点对称； 又 f（ x） = ） = ） = ） = f（ x）， 故函数 f（ x）为奇函数； （ 2）若不等式 f（ x） （ ） x+t 在 x 2， 3上恒成立， 则 t ）（ ） x 在 x 2， 3上恒成立， 设 g（ x） = ）（ ） x， 则 g（ x）在 2， 3上是增函数 g（ x） t 对 x 2， 3恒 成立， t g（ 2） = 【点评】 本题主要考查函数奇偶性的应用，单调性的证明以及不等式恒成立问题，构造函数，利用参数分离法是解决函数恒成立问题的基本方法 22已知直线 y=2x 是双曲线 C： =1 的一条渐近线，点 A（ 1， 0）， M（ m， n）（ n 0）都在双曲线 C 上，直线 y 轴相交于点 P，设坐标原点为 O （ 1）求双曲线 C 的方程，并求 出点 P 的坐标（用 m， n 表示）； （ 2）设点 M 关于 y 轴的对称点为 N，直线 y 轴相交于点 Q，问：在 x 轴上是否存在定点 T，使得 存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由 （ 3）若过点 D（ 0， 2）的直线 l 与双曲线 C 交于 R， S 两点，且 | + |=| |，试求直线 l 的方程 【分析】 （ 1）求得双曲线的渐近线方程，可得 b=2a，由题意可得 a=1， b=2，可得双曲线的方程，求出直线 方程，可令 x=0，求得 P 的坐标； （ 2）求得对称点 N 的坐标，直线 程，令 x=0，可得 N 的坐标，假设存在 T，运用两直线垂直的条件：斜率之积为 1，结合 M 在双曲线上，化简整理，即可得到定点 T； （ 3）设出直线 l 的方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理，由向量数量积的性质，可得向量 数量积为 0，化简整理，解方程可得 k 的值，检验判别式大于 0 成立，进而得到直线 l 的方程 【解答】 解：（ 1）双曲线 C： =1 的渐近线为 y= x， 由题意可得 =2， a=1，可得 b=2， 即有双曲线的方程为 =1， 又 方程为 y= （ x 1）， 令 x=0，可得 P（ 0， ）； （ 2）点 M 关于 y 轴的对称点 为 N（ m， n）， 直线 方程为 y= （ x 1）， 令 x=0，可得 Q（ 0， ）， 假设 x 轴存在点 T（ t， 0），使得 即有 1， 即为 = 1， 可得 ， 由（ m， n）满足双曲线的方程，可得 =1， 即有 =4， 可得 ，解得 t= 2， 故存在点 T（ 2， 0），使得 （ 3）可设过点 D（ 0， 2）的直线 l： y=，