2016年广州市天河区中考数学一模试卷含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年广东省广州市天河区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1 2 的绝对值是（ ） A 2 B 2 C D 2下列 “慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行 ”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（ ） A B C D 3下面角的图示中，能与 30角互补的是（ ） A B C D 4甲、乙、丙、丁四位同学在三次 数学测验中，他们成绩的平均分都是 85 分，方差分别是S 甲 2=S 乙 2=S 丙 2=S 丁 2=成绩最稳定的是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 5下列运算正确的是（ ） A x4+（ 3=（ x y） 2= x3x=如图是由 8 个小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（ ） A B C D 7一次函数 y= x+1 的图象不经过的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 8下列三个命题中，是真命题的有（ ） 对角线相等的四边形是矩形； 三个角是直角的四边形是矩形； 有一个角是直角的平行四边形是矩形 A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 0 个 9已知 圆的半径是 2 ，则该圆的内接正三角形的面积是（ ） 第 2 页（共 19 页） A 9 B 9 C 6 D 6 10菱形 一条对角线长为 6，边 长为方程 7y+10=0 的一个根，则菱形周长为（ ） A 8 B 20 C 8 或 20 D 10 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 11如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直 尺的一边上，若 1=50，则 2=_ 12某校有数学教师 25 名，将他们的年龄分成 3 组，在 38 45 岁组内有 8 名教师，那么这个年龄组的频率是 _ 13因式分解 4_ 14一条直线经过点（ 2， 1），且与直线 y= 3x+1 平行，则这条直线的解析式为 _ 15如图，已知点 A（ 0， 1）， B（ 0， 1），以点 A 为圆心， 半径作圆，交 x 轴的正半轴于点 C，则 _ 16如图， O 的弦， ，点 C 是 O 上的一个动点，且 5若点 M， B， 中点，则 的最大值是 _ 三、解答题（本大题共 9 小题，共 102 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17解不等式组： 18在 ， C， 上的中线， 点 E求证： 第 3 页（共 19 页） 19先化简，再求值：（ 1+ ） ，其中 a 是小于 3 的正整数 20中学生上学带手机的现象越来越受到社会的关注，为此媒体记者随机调查了某校若干名学生上学带手机的目的，分为四种类型： A 接听电话； B 收发短信； C 查阅资料； D 游戏聊天并将调查结果绘制成图 1 和图 2 的统计图（不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题： （ 1）此次抽样调 查中，共调查了 _名学生； （ 2）将图 1、图 2 补充完整； （ 3）现有 4 名学生，其中 A 类两名， B 类两名，从中任选 2 名学生，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法） 21在我市开展 “五城联创 ”活动中，某工程队承担了某小区 900 米长的污水管道改造任务工程队在改造完 360 米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了 20%，结果共用 27 天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造管道多少米？ 22如图，在平面直角坐标系中，菱形 顶点 C 与原点 O 重合，点 B 在 y 轴的正半轴上，点 A 在反比例函数 y= （ x 0）的图象上，点 D 的坐标为（ 4， 3） （ 1）求 k 的值； （ 2）将这个菱形沿 x 轴正方向平移，当顶点 D 落在反比例函数图象上时，求菱形平移的距离 23如图，在 ， 0， C （ 1）利用尺规，以 直径作 O，交 点 D；（保留作图痕迹，不写作法） （ 2）在（ 1）所作的图形中，求证： D 第 4 页（共 19 页） 24类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形 （ 1）如图 1，四边形 ， 分 B= D求证：四边形 等邻边四边形 （ 2）如图 2， ， 0， ， ，将 平分线 方向平移，得到 ABC，连接 若平移后的四边形 是等邻边四边形，且满足 平移的距离 （ 3）如图 3，在等邻边 四边形 ， D， 0， 四边形对角线， 等边三角形，试探究 数量关系 25如图，抛物线的顶点坐标为 C（ 0， 8），并且经过 A（ 8， 0），点 P 是抛物线上点 A， 端点），过点 P 作直线 y=8 的垂线，垂足为点 F，点 D， E 的坐标分别为（ 0， 6），（ 4， 0），连接 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）猜想并探究：对于任意一点 P， 差是否为固定值？如果是，请求 出此定值；如果不是，请说明理由； （ 3）求： 当 周长最小时的点 P 坐标； 使 面积为整数的点 P 的个数 第 5 页（共 19 页） 2016 年广东省广州市天河区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1 2 的绝对值是（ ） A 2 B 2 C D 【考点】 绝对值 【分析】 根据负数的绝对值等于它的相反数解答 【解答】 解： 2 的绝对值是 2， 即 | 2|=2 故选： A 2下列 “慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行 ”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（ ） A B C D 【考点】 轴对称图形 【分析】 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案 【解答】 解： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误 故选： B 3下面角的图示中，能与 30角互补的是（ ） A B C D 【考点】 余角和补角 【分析】 先求出 30的补角为 150，再测量度数等于 150的角即可求解 【解答】 解： 30角的补角 =180 30=150，是钝角， 结合各图形，只有选项 D 是钝角， 所以，能与 30角互补的是选项 D 故选： D 4甲、乙、丙、丁四位同学在三次数学测验中，他们成绩的平均分都是 85 分，方差分别是S 甲 2=S 乙 2=S 丙 2=S 丁 2=成绩最稳定的是（ ） 第 6 页（共 19 页） A甲 B乙 C丙 D丁 【考点】 方差 【分析】 由题意易得 s 乙 2 s 甲 2 s 丁 2 S 丙 2，根据方差的意义（方差反映一组数据的波动大小，方差越小，波动越小，越稳定）即可得到答案 【解答】 解： S 甲 2=S 乙 2=S 丙 2=S 丁 2= s 乙 2 s 甲 2 s 丁 2 S 丙 2， 成绩最稳定的是乙 故选 B 5下列运算正确的是（ ） A x4+（ 3=（ x y） 2= x3x=考点】 幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式 【分析】 A：根据合并同类项 的方法判断即可 B：根据幂的乘方的运算方法判断即可 C：根据完全平方公式的计算方法判断即可 D：根据同底数幂的乘法法则判断即可 【解答】 解： x4+ 选项 A 不正确； （ 3= 选项 B 不正确； （ x y） 2=2xy+ 选项 C 不正确； x3x= 选项 D 正确 故选： D 6如图是由 8 个小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（ ） A B C D 【考点】 简单组合体的三视图 【分析】 根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案 【解答】 解：从上边看第一层是三个小正方形，第二层有两个小正方形，第三层一个小正方形， 故选 D 第 7 页（共 19 页） 7一次函数 y= x+1 的图象不经过的象限是（ ） A第一象限 B第二象 限 C第三象限 D第四象限 【考点】 一次函数图象与系数的关系 【分析】 根据一次函数 y= x+1 中 k= 0， b=1 0，判断出函数图象经过的象限，即可判断出一次函数 y= x+1 的图象不经过的象限是哪个 【解答】 解： 一次函数 y= x+1 中 k= 0， b=1 0， 此函数的图象经过第一、二、四象限， 一次函数 y= x+1 的图象不经过的象限是第三象限 故选： C 8下列三个命题中，是真命题的有（ ） 对角线相等的四边形是矩形； 三个角是直角的四边形是矩形； 有一个角是直角的平行四边形是矩形 A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 0 个 【考点】 命题与定理；矩形的判定 【分析】 利用矩形的判定定理对三个命题进行判断后即可确定正确的选项 【解答】 解： 对角线相等 的平行四边形四边形是矩形，故错误，是假命题； 三个角是直角的四边形是矩形，正确，是真命题； 有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，是真命题， 真命题有 2 个， 故选 B 9已知圆的半径是 2 ，则该圆的内接正三角形的面积是（ ） A 9 B 9 C 6 D 6 【考点】 三角形的外接圆与外心 【分析】 首先根据题意画出图形，连接 D，则 0， D， 0，由含 30角的直角三角形的性质得出 勾股定理求出 出 据 面积 =3S 算即可 【解答】 解：如图所示， 连接 D， 则 0， D， 0， ， =3， ， 面积 =3S 6 =9 ， 第 8 页（共 19 页） 故选 B 10菱形 一条对角线长为 6，边 长为方程 7y+10=0 的一个根，则菱形周长为（ ） A 8 B 20 C 8 或 20 D 10 【考点】 菱形的性质；解一元二次方程 【分析】 边 长是方程 7y+10=0 的一个根，解方程求得 x 的值，根据菱形 ，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形 周长 【解答】 解： 解方程 7y+10=0 得： y=2 或 5 对角线长为 6， 2+2 6，不能构成三角形； 菱形的边长为 5 菱形 周长为 4 5=20 故选 B 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 11如图，把一块直角三角板的直角顶点 放在直尺的一边上，若 1=50，则 2= 40 【考点】 平行线的性质 【分析】 由两直线平行，同位角相等，可求得 3 的度数，然后求得 2 的度数 【解答】 解：如图， ， 1=50， 3= 1=50， 2=90 50=40 故答案为： 40 12某校有数学教师 25 名，将他们的年龄分成 3 组，在 38 45 岁组内有 8 名教师，那么这个年龄组的频率是 【考点】 频数与频率 【分析】 根据题意可得总人数与该组的频数，由频数、频率的关系，可得这个小组的频率 【解答】 解：根据题意， 38 45 岁组内的教师有 8 名， 即频数为 8，而总数为 25； 第 9 页（共 19 页） 故这个小组的频率是 = 故答案为： 13因式分解 4（ 2m+n）（ 2m n） 【考点】 因式分解 【分析】 原式利用平方差公式分解即可 【解答】 解：原式 =（ 2m+n）（ 2m n） 故答案为：（ 2m+n）（ 2m n） 14一条直线经过点（ 2， 1），且与直线 y= 3x+1 平行，则这条直线的解析式为 y=3x+5 【考点】 待定系数法求一次函数解析式 【分析】 设所求直线解析式为 y=kx+b，根据两条直线平行问题得到 k= 3，然后把点（ 2， 1）代入 y= 3x+b 可求出 b 的值，从而可确定所求直线解析式 【解答】 解：设所求直线解析式为 y=kx+b（ k 0）， 直线 y=kx+b 与直线 y= 3x+1 平行， k= 3， 把（ 2， 1）代入 y= 3x+b 得 4+b= 1，解得 b=5， 所求直线解析式为 y= 3x+5 故答案是： y= 3x+5 15如图，已知点 A（ 0， 1）， B（ 0， 1），以点 A 为圆心， 半径作圆，交 x 轴的正半轴于点 C，则 【考点】 锐角三角函数的定义；圆周角定理 【分析】 求出 过余弦函数即可得出答案 【解答】 解： A（ 0， 1）， B（ 0， 1）， ， ， ， ， 在 ， = ， 0， = = ， 故答案为 第 10 页（共 19 页） 16如图， O 的弦， ，点 C 是 O 上的一个动点，且 5若点 M， B， 中点，则 的最大值是 3 【考点】 三角形中位线定理；等腰直角三角形；圆周角定理 【分析】 根据中位线定理得到 最大时， 大，当 大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值 【解答】 解： 点 M， N 分别是 中点， 当 得最大值时， 取得最大值， 当 直径时，最大， 如图， D=45， ， ， 故答案为： 3 三、解答题（本大题共 9 小题，共 102 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17解不等式组： 【考点】 解一元一次不等式组 【分析】 先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可 【解答】 解： 解不等式 得： x 1， 解不等式 得： x 3， 原不等式组解集为 1 x 3 18在 ， C， 上的中线， 点 E求证： 第 11 页（共 19 页） 【考点】 等腰三角形的性质 【分 析】 根据等腰三角形的性质得出 0，再根据 C 为公共角即可得 【解答】 证明： C， 上的中线， 又 0， C= C=90 19先化简，再求值：（ 1+ ） ，其中 a 是小于 3 的正整数 【考点】 分式的化简求值 【分析】 先把括号内通分， 再把分子分母因式分解，接着把除法运算化为乘法运算后约分得到原式 =a+2，然后根据 a 是小于 3 的正整数和分式有意义的条件得到 a=1，再把 a 的值代入计算即可 【解答】 解：原式 = =a+2， a 是小于 3 的正整数， a=1 或 a=2， a 2 0， a=1， 当 a=1 时，原式 =1+2=3 20中学生上学带手机的现象越来越受到社会的关注，为此媒体记者随机调查了某校若干名学生上学带手机的目的， 分为四种类型： A 接听电话； B 收发短信； C 查阅资料； D 游戏聊天并将调查结果绘制成图 1 和图 2 的统计图（不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题： （ 1）此次抽样调查中，共调查了 200 名学生； （ 2）将图 1、图 2 补充完整； （ 3）现有 4 名学生，其中 A 类两名， B 类两名，从中任选 2 名学生，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法） 第 12 页（共 19 页） 【考点】 列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图 【分析】 （ 1）用 A 类的人数除以该类所占的百分比即可得到总人 数； （ 2）分别计算出 B、 D 两类人数和 C、 D 两类所占百分比，然后补全统计图； （ 3）先画树状图展示所有有 12 种等可能的结果数，再找出两名学生为同一类型的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】 解：（ 1） 100 50%=200， 所以调查的总人数为 200 名； 故答案为 200； （ 2） B 类人数 =200 25%=50（名）； D 类人数 =200 100 50 40=10（名）； C 类所占百分比 = 100%=20%， D 类所占百分比 = 100%=5%， 如图： （ 3）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中两名学生为同一类型的结果数为 4， 所以这两名学生为同一类型的概率 = = 21在我市开展 “五城联创 ”活动中，某工程队承担了某小区 900 米长的污水管道改造任务工程队在改造完 360 米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了 20%，结果共用 27 天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造管道多少米？ 【考点】 分式方程的应用 第 13 页（共 19 页） 【分析】 首先设原来每天改造管道 x 米，则引进新设备前工程队每天改造管道（ 1+20%） 题意得等量关系：原来改造 360 米管道所用时间 +引进了新设备改造 540 米所用时间=27 天，根据等量关系列出方程，再解即可 【解答】 解：设原来每天改造管道 x 米，由题意得： + =27， 解得： x=30， 经检验： x=30 是原分式方程的解， 答：引进新设备前工程队每天改造管道 30 米 22如图，在平面直角坐标系中，菱形 顶点 C 与原点 O 重合，点 B 在 y 轴的正半轴上，点 A 在反比例函数 y= （ x 0）的图象上，点 D 的坐标为（ 4， 3） （ 1）求 k 的值； （ 2）将这个菱形沿 x 轴正方向平移，当顶点 D 落在反比例函数图象上时，求菱形平移的距离 【考点】 反比例 函数图象上点的坐标特征；菱形的性质 【分析】 （ 1）根据点 D 的坐标为（ 4， 3），即可得出 长以及 长，即可得出 A 点坐标，进而求出 k 的值； （ 2）根据 DF的长度即可得出 D点的纵坐标，进而利用反比例函数的性质求出 长，即可得出答案； 【解答】 解：（ 1）作 x 轴于点 F， 点 D 的坐标为（ 4， 3）， ， ， ， ， A 点坐标为：（ 4， 8）， 8=32， k=32； （ 2） 将菱形 右平移，使点 D 落在反比例函数 y= （ x 0）的图象上， ， DF=3， D点的纵坐标为 3， 3= ， x= ， 第 14 页（共 19 页） ， 4= ， 菱形 右平移的距离为： 23如图，在 ， 0， C （ 1）利用尺规，以 直径作 O，交 点 D；（保留作图痕迹，不写作法） （ 2）在（ 1）所作的图形中，求证： D 【考点】 作图 复杂作图；圆周角定理；相似三角形的判定与性质 【分析】 （ 1）作 垂直平分线得到 中点 O，然后以 O 为圆心， 半径作圆交 D； （ 2）先利用圆周角定理得到 可判断 后利用相似比得到 D： 根据比例的性质即可得到结论 【解答】 （ 1）解：如图， （ 2）证明：连接 图， 直径， 0， C= C， D： D 24类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形 第 15 页（共 19 页） （ 1）如图 1， 四边形 ， 分 B= D求证：四边形 等邻边四边形 （ 2）如图 2， ， 0， ， ，将 平分线 方向平移，得到 ABC，连接 若平移后的四边形 是等邻边四边形，且满足 平移的距离 （ 3）如图 3，在等邻边四边形 ， D， 0， 四边形对角线， 等边三角形，试探究 数量关系 【考点】 几何变换综合题 【分析】 （ 1）先判断 到 D，即可； （ 2）根据平移得特征，得到 AB ABC= 0， CB=，用勾股定理列出方程求解即可； （ 3）先判断出 等边三角形，再说明 后用勾股定理即可 【解答】 解：（ 1） B= D， C， D， 四边形 等邻边四边形 （ 2）如图，延长 CB交 点 D， ABC由 移得到， AB ABC= 0， CB=， BD 分 B5， 即 BD= BD=BD=x， CD=1+x， ， ， 1+x） 2=4， 解得 ， （不合题意，舍去）， 等腰 中， x= ， （ 3） 理由：如图，过 A 作 B，连接 第 16 页（共 19 页） 0， 又 0， 等边三角形， 0， B， D， D， 等边三角形， D， 0 D， D， E E， 0， 25如图，抛物线的顶点坐标为 C（ 0， 8），并且经过 A（ 8， 0），点 P 是抛物线上点 A， 端点），过点 P 作直线 y=8 的垂线，垂足为点 F，点 D， E 的坐标分别为（ 0， 6），（ 4， 0），连接 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）猜想并探究：对于任意一点 P， 差是否为固定值？如果