2016年山东省淄博市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年山东省淄博市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1复数 z 满足 z（ 2 i） =|1+2i|，则 z 的虚部为（ ） A B C 1 D i 2设集合 A=x|x（ x 2） 0， B=x|x 1） 0，则 AB=（ ） A 1， 2 B（ 0， 2 C（ 1， 2 D（ 1， 2） 3正项等比数列 前 n 项和为 +12，则公比 q 等于（ ） A B 2 C D 4 4下列说法正确的是（ ） A “p q 为真 ”是 “p q 为真 ”的充分不必要条件 B若 a， b 0， 1，则不等式 a2+成立的概率是 C已知随机变量 X N（ 2， 2），且 P（ X 4） = P（ X 0） =已知空间直线 a， b， c，若 a b， b c，则 a c 5已知直线 y=m（ 0 m 2）与函数 f（ x） =2x+）（ 0）的图象相邻的三个交点依次为 A（ 1， m）， B（ 5， m）， C（ 7， m），则 =（ ） A B C D 6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A B C D 7定义在 R 上的函数满足以下三个条件： 对任意的 x R，都有 f（ x+4） =f（ x）； 对任意的 0， 2且 有 f（ f（ 函数 f（ x+2）的图象关于 y 轴对称， 则下列结论正确的是（ ） A f（ f（ 7） f（ B f（ 7） f（ f（ C f（ 7） f（ f（ f（ f（ f（ 7） 第 2 页（共 21 页） 8已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别是 直 x 轴的直线与双曲线 C 的两渐近线的交点分别是 M、 N，若 正三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 2+ 9当 a 0 时，函数 f（ x） =（ 图象大致是（ ） A B C D 10若 x， y 满足约束条件 ，目标函数 z=y 仅在点（ 1， 0）处取得最小值，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 1， 2） B（ 4， 2） C（ 4， 0 D（ 2， 4） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11若 f（ x） =1 2x，则不等式 |f（ x+1） +4| 3 的解集为 _ 12执行如图的程序框图，则输出的 S=_ 13过圆 x2+4x+ 上一点 P（ 1， 1）的切线方程为 _ 14正方形 边长为 2， P， Q 分别是线段 的点，则 的最大值为_ 15给定函数 f（ x）和 g（ x），若存在实常数 k， b，使得函数 f（ x）和 g（ x）对其公共定义域 D 上的任何实数 x 分别满足 f（ x） kx+b 和 g（ x） kx+b，则称直线 l： y=kx+b 为函数 f（ x）和 g（ x）的 “隔离直线 ”给出下列四组函数： f（ x） = +1， g（ x） = 第 3 页（共 21 页） f（ x） =g（ x） = ； f（ x） =x+ ， g（ x） = f（ x） =2x 其中函数 f（ x）和 g（ x）存在 “隔离直线 ”的序号 是 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 16函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， | ）在某一周期内图象最低点与最高点的坐标分别为 （ ）求函数 f（ x）的解析式； （ ）设 三内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 f（ A） = ， a=3，求 17如图，在梯形 ， ，四边形 矩形，平面 平面 G 是 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 A D 的平面角的余弦值 18某射击游戏规则如下： 射手共射击三次：； 首先射击目标甲； 若击中，则继续射击该目标，若未击中，则射击另一目标； 击中目标甲、乙分别得 2 分、 1 分，未击中得 0 分已知某射手击中甲、乙目标的概率分别为 ，且该射手每次射击的结果互不影响 （ ）求该射手连续两次击中目标且另一次未击中目标的概率； （ ）记该射手所得分数为 X，求 X 的分布列和数学期望 19已知 各项均为正数的等比数列，且 a1+（ + ）， a2+a3+4（ + ） （ ）求数列 通项公式； （ ）令 （ 1） 等式 2016（ 1 k 100， k N*）的解集为 M，求所有k M）的和 20已知函数 f（ x） = （ ）求函数 f（ x）的单调区间： （ ）设 0 0 1，若 1 ） x2=e，证明： f（ +（ 1 ） f（ e 第 4 页（共 21 页） 21已知椭圆 经过点 ，离心率 为 ，过椭圆的右焦点F 作互相垂直的两条直线分别交椭圆于 A， B 和 C， D，且 M， N 分别为 中点 （ ）求椭圆的方程； （ ）证明：直线 定点，并求出这个定点； （ ）当 斜率存在时，求 积的最大值 第 5 页（共 21 页） 2016 年山东省淄博市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1复数 z 满足 z（ 2 i） =|1+2i|， 则 z 的虚部为（ ） A B C 1 D i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 z，则 z 的虚部可求 【解答】 解：由复数 z 满足 z（ 2 i） =|1+2i|， 可得 z= = ， 则 z 的虚部为： 故选： A 2设集合 A=x|x（ x 2） 0， B=x|x 1） 0，则 AB=（ ） A 1， 2 B（ 0， 2 C（ 1， 2 D（ 1， 2） 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B，找出两集合的交集即可 【解答】 解：由 A 中的不等式组解得： 0 x 2，即 A=0， 2， 由 B 中的不等式变形得： x 1） 0=到 0 x 1 1， 解得： 1 x 2，即 B=（ 1， 2， 则 AB=（ 1， 2 故选： C 3正项等比数 列 前 n 项和为 +12，则公比 q 等于（ ） A B 2 C D 4 【考点】 数列的求和 【分析】 利用 2+14 =+7 ，即可求出公比 q 【解答】 解：由题意， 2+14 =+7 ， ， q 0， q= 故选： A 4下列说法正确的是（ ） A “p q 为真 ”是 “p q 为真 ”的充分不必要条件 第 6 页（共 21 页） B若 a， b 0， 1，则不等式 a2+成立的概率是 C已知随机变量 X N（ 2， 2），且 P（ X 4） = P（ X 0） =已知空间直线 a， b， c，若 a b， b c，则 a c 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 A根据复合命题真假关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断 B根据几何概型的概率公式进行计算即可 C根据正态分布的性质进行求解 D根据直线垂直的性质进行判断 【解答】 解： A当 p 真 q 假时，满足 p q 为真，但 p q 为假，即充分性不成立， 若 p q 为真，则 p 真 q 真，则 p q 为真即必要性成立，即 “p q 为真 ”是 “p q 为真 ”的必要不充分条件，故 A 错误， B若 a， b 0， 1，则不等式 成立的概率是 如图故B 错误 C因为正态分布的对称轴为 x=2，所以 P（ 0） =P（ 4） =1 P（ 4） =1 C 正确， D空间直线 a， b， c，若 a b， b c，则 a c 或 a， c 相交或 a， c 是异面直线，故 D 错误， 故选： C 5已知直线 y=m（ 0 m 2）与函数 f（ x） =2x+）（ 0）的图象相邻的三个交点依次为 A（ 1， m）， B（ 5， m）， C（ 7， m），则 =（ ） A B C D 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由题意可得函数 f（ x）的相邻的两条对称轴分别为 x=3， x=6，可得函数的周期为2（ 6 3） = ，由此求得 的值 【解答】 解： 直线 y=m（ 0 m 2）与函数 f（ x） =2x+）（ 0）的图象相邻的 三个交点依次为 A（ 1， m）， B（ 5， m）， C（ 7， m）， 第 7 页（共 21 页） 故函数 f（ x）的相邻的两条对称轴分别为 x= =3， x= =6， 故函数的周期为 2（ 6 3） = ，求得 = ， 故选： A 6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 判断三视图复原的几何体的形状 ，利用三视图的数据求解即可 【解答】 解：三视图复原的几何体是圆锥，底面半径为： ，高为： 1，圆锥的母线长为：2， 圆锥的表面积为： =（ 3+2 ） 故选： D 7定义在 R 上的函数满足以下三个条件： 对任意的 x R，都有 f（ x+4） =f（ x）； 对任意的 0， 2且 有 f（ f（ 函数 f（ x+2）的图象关于 y 轴对称， 则下列结论正确的是（ ） A f（ f（ 7） f（ B f（ 7） f（ f（ C f（ 7） f（ f（ f（ f（ f（ 7） 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 错误： 函数 f（ x+2）的图象关于 Y 轴对称，应该是： 函数 f（ x+2）的图象关于 y 轴对称 由条件可得，函数 f（ x）是周期等于 4 的周期函数，且函数在 0， 2上是增函数，在 2，4上是减函数 根据 f（ =f（ f（ 7） =f（ 1）， f（ =f（ 再利用函数在 0， 2上是增函数可得结论 【解答】 解：由 可得函数的图象关于直线 x=4 对称；，由 可得函数在 0， 2上是增函数； 由 可得函数 f（ x+2）为偶函数，故 f（ 2 x） =f（ 2+x），故函数 f（ x）的图象关于直线x=2 对称 第 8 页（共 21 页） 综上可得，函数 f（ x）是周期等于 4 的周期函数，且函数在 0， 2上是增函数，在 2， 4上是减函数 再由 f（ =f（ f（ 7） =f（ 3） =f（ 2+1） =f（ 2 1） =f（ 1）， f（ =f（ =f（ 2+=f（ 2 =f（ 故有 f（ f（ 7） f（ 故选 A 8已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别是 直 x 轴的直线与双曲线 C 的两渐近线的交点分别是 M、 N，若 正三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 2+ 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出双曲线 C 的两渐近线方程，利用 正三角形，建立三角形，即可求出该双曲线的离心率 【解答】 解：双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的渐近线方程为 ， x=c 时， y= ， 正三角形， 2c= ， a= b， c= b， e= = 故选： A 9当 a 0 时，函数 f（ x） =（ 图象大致是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 利用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象 【解答】 解：由 f（ x） =0，解得 ，即 x=0 或 x=a， a 0， 函数 f（ x）有两个零点， A， C 不正确 设 a=1，则 f（ x） =（ x） 第 9 页（共 21 页） f（ x） =（ x2+x 1） 由 f（ x） =（ x2+x 1） 0，解得 x 或 x 由 f（ x） =（ 1） 0，解得： x ， 即 x= 1 是函数的一个极大值点， D 不成立，排除 D 故选： B 10若 x， y 满足约束条件 ，目标函数 z=y 仅在点（ 1， 0）处取得最小值，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 1， 2） B（ 4， 2） C（ 4， 0 D（ 2， 4） 【考点】 简单线性规划 【分析】 先根据约束条件画出可行域，设 z=y，再利用 z 的几何意义求最值，只需利用直线之间的斜率间的关系，求出何时直线 z=y 过可行域内的点（ 1， 0）处取得最小值，从而得到 a 的取值范围即可 【解答】 解：可行域为 图， 当 a=0 时，显然成立 当 a 0 时，直线 y z=0 的斜率 k= 1， a 2 当 a 0 时， k= a 4 综合得 4 a 2， 故选 B 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11若 f（ x） =1 2x，则不等式 |f（ x+1） +4| 3 的解集为 0， 3 【考点】 绝对值不等式的解法 【分析】 由题意可得 f（ x+1） = 2x 1，不等式即 | 2x+3| 3，即 3 2x 3 3，由此求得它的解集 【解答】 解： f（ x） =1 2x， f（ x+1） =1 2（ x+1） = 2x 1， 不等式 |f（ x+1） +4| 3，即 | 2x+3| 3， 3 2x 3 3， 0 x 3， 故答案为： 0， 3 第 10 页（共 21 页） 12执行如图的程序框图，则输出的 S= 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 S， n 的值，当 n=5 时不满足条件 n 4，退出循环，输 出 S 的值，即可得解 【解答】 解：模拟执行程序，可得 n=1， S=0 满足条件 n 4，执行循环体，可得： S=1， n=2 满足条件 n 4，执行循环体，可得： S=1+ ， n=3 满足条件 n 4，执行循环体，可得： S=1+ + ， n=4 满足条件 n 4，执行循环体，可得： S=1+ + + ， n=5 不满足条件 n 4，退出循环，输出 S 的值 由于： S=1+ + + = 故答案为： 13过圆 x2+4x+ 上一点 P（ 1， 1）的切线方程为 x 2y+1=0 【考点】 圆的切线方程 【分析】 求出圆的方程，求出圆心与已知点确定直线方程的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为 1 求出过此点切线方程的斜率，即可确定出切线方程 【解答】 解： 圆 x2+4x+ 上一点 P（ 1， 1）， 可得 1+1 4+m=0，解得 m=2，圆的圆心（ 2， 1），过（ 1， 1）与（ 2， 1）直线斜率为 2， 过（ 1， 1）切线方程的斜率为 ， 则所求切线方程为 y 1= （ x 1），即 x 2y+1=0 第 11 页（共 21 页） 故答案为： x 2y+1=0 14正方形 边长为 2， P， Q 分别是线段 的点，则 的最大值为 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据条件可知线段 相垂直且平分，从而可分别以这两线段所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，进而可求出 A， B， C， D 四点坐标，并设 P（ 0， y）， Q（ x，0），且由 题意知 x， y ，这样便可求出向量 的坐标，进行向量数量积的坐标运算便可求出 ，而配方即可得出 的最大值 【解答】 解：正方形 对角线 相垂直平分， 分别以这两线段所在直线为 x， y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则： ； 设 P（ 0， y）， Q（ x， 0）， ； ； = ； 时， 取最大值 故答案为： 15给定函数 f（ x）和 g（ x），若存在实常数 k， b，使得函数 f（ x）和 g（ x）对其公共定义域 D 上的任何实数 x 分别满足 f（ x） kx+b 和 g（ x） kx+b，则称直线 l： y=kx+b 为函数 f（ x）和 g（ x）的 “隔离直线 ”给出下列四组函数： f（ x） = +1， g（ x） = f（ x） =g（ x） = ； 第 12 页（共 21 页） f（ x） =x+ ， g（ x） = f（ x） =2x 其中函数 f（ x）和 g（ x）存在 “隔离直线 ”的序号是 【考点】 函数的值域 【分析】 画出图象，数形结合即得答案 【解答】 解： f（ x） = +1 与 g（ x） =公共定义域为 R， 显然 f（ x） 1，而 g（ x） 1，故满足题意； f（ x） = g（ x） = 的公共定义域为：（ ， 0） （ 0， +）， 当 x （ ， 0）时， f（ x） 0 g（ x）， 当 x （ 0， +）时， g（ x） 0 f（ x），故不满足题意； f（ x） =x+ 与 g（ x） =象如右图， 显然满足题意； 函数 f（ x） =2x 的图象如图， 显然不满足题意； 故答案为： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 第 13 页（共 21 页） 16函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， | ）在某一周期内图象最低点与最高点的坐标分别为 （ ）求函数 f（ x）的解析式； （ ）设 三内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 f（ A） = ， a=3，求 【考点】 正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 （ ）由正弦函数的性质，求得 A 及 T 的值， = ，求得 ，将（ ， ）代入求得 的值，即可求得函数表达式； （ ）根据正弦定理求得角 A 值， b、 c 关系， L=a+b+c=6B+ ） +3，根据正弦函数最值，求得 L 的取值范围 【解答】 解：（ 1） 由题意得： A= ， = =2， T=4， = ， 由 +） = ， 可得： +=2， | ， = ， 函数表达式： f（ x） = x+ ）， （ ） f（ A） = A+ ） = ， A+ ） =1， A （ 0， ）， A+ （ ， ），可得： A+ = ，解： A= ， 由正弦定理得： = =2 ， 三角形的周长 L=a+b+c=b+c+ =2 ， =2 B） +3， =2 （ +3， =2 （ B） +3， =6B+ ） +3， 0 B ， B+ ） 1， 第 14 页（共 21 页） 6 6B+ ） +3 9， 长的取值范围（ 6， 9 17如图，在梯形 ， ，四边形 矩形，平面 平面 G 是 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 A D 的平面角的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）取 中点 H，连结 导出四边形 平行四边形，从而而 平面 中位线，得 平面 而平面平面 此能证明 平面 （ ）以 C 为原点， 在直线分别为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 A D 的平面角的余弦值 【解答】 证明： （ ）取 中点 H，连结 ， C， 四边形 平行四边形， 面 面 平面 点 G 是 中点， H 是 中点， 中位线， 面 面 平面 又 H=H， 平面 平面 面 平面 （ ） ， 四边 形 等腰梯形， H 是 点， 四边形 菱形， 又 平面 平面 线为 平面 四边形 矩形， 以 C 为原点， 在直线分别为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系， D（ ， ， 0）， E（ ， 0， 1）， F（ 0， 0， 1）， =（ ， ， 1）， =（ ， 0， 0）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 第 15 页（共 21 页） 则 ，取 y=2，得 =（ 0， 2， 1）， 平面 法向量 =（ 0， 1， 0）， = = ， 二面角 A D 的平面角的余弦值为 18某射击游戏规则如下： 射手共射击三次：； 首先射击目标甲； 若击中，则继续射击该目标，若未击中，则射击另一目标； 击中目标甲、乙分别得 2 分、 1 分，未击中得 0 分已知某射手击中甲、乙目标的概率分别为 ，且该射手每次射击的结果互不影响 （ ）求该射手连续两次击中目标且另一次未击中目标的概率； （ ）记该射手所得分数为 X，求 X 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）分别记 “该射手击中目标甲、乙 ”为事件 A， B， “连续两次击中目标且另一次未击中目标 ”为事件 C，则 P（ A） = ， P（ B） = ，由事件的独立性和互斥性，由此能求出该射手连续两次击中目标且另一次未击中目标的概率 （ ） X 的所有可能取值为 0， 1， 2， 3， 4， 6，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 【解答】 解：（ ）分别记 “该射手击中目标甲、乙 ”为事件 A， B， “连续两次击中目标且另一次未击 中目标 ”为事件 C， 则 P（ A） = ， P（ B） = ， 由事件的独立性和互斥性，得： P（ C） = = +P（ ） P（ B） P（ B） = + = （ ） X 的所有可能取值为 0， 1， 2， 3， 4， 6， 第 16 页（共 21 页） P（ X=0） =P（ ） =P（ ） P（ ） P（ ） = = ， P（ X=1） = = = ， P（ X=2） =P（ A + + ） = + + = ， P（ X=3） =P（ ） = = ， P（ X=4） = = = ， P（ X=6） =P（ = = ， X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 6 P +3 +4 +6 = 19已知 各项均为正数的等比数列，且 a1+（ + ） ， a2+a3+4（ + ） （ ）求数列 通项公式； （ ）令 （ 1） 等式 2016（ 1 k 100， k N*）的解集为 M，求所有k M）的和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ I）设等比数列的公比为 q，由 a1+（ + ）， a2+a3+4（ + + ），即可求出首项和公比，即可求出通项公式； （ （ I）可得由（ I）可得： （ 1） （ 2） k，分当 n 为偶数和 n 为奇数可以判断数列 k M）组成首项为 211，公比为 4 的等比数列利用其前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：（ ）设等 比数列的公比为 q，由 a1+（ + ），得到 a1+（ + ）， 由 a2+a3+4（ + + ）得到 q+q2+= （ + + ）， 由 构成方程组，化简后得 ， 解得 ， q=2， n， 第 17 页（共 21 页） （ ）由（ I）可得： （ 1） （ 2） k， 当 n 为偶数， 2k 2016，即 2k 2015，不成立 当 n 为奇数， +2k 2016，即 2k 2015， 210=1024， 211=2048， M=11， 13， 15， ， 99， 数列 k M）组成首项为 211，公比为 4 的等比数列，且项数为 45， 则所有 k M）的和为 = 20已知函数 f（ x） = （ ）求函数 f（ x）的单调区间： （ ）设 0 0 1，若 1 ） x2=e，证明： f（ +（ 1 ） f（ e 【考点】 利用导数研究函数的单调性；不等式的证明 【分析】 （ ）先对函数 y=f（ x）进行求导，然后令导函数大于 0（或小于 0）求出 x 的范围，根据 f（ x） 0 求得的区间是单调增区间， f（ x） 0 求得的区间是单调减区间，即可得到答案 （ ）令 F（ x） =f（ +（ 1 ） f（ f 1 ） 求出 F（ x）的导数，证出结论即可 【解答】 解：（ ） f（ x） =ln x+1， f（ x） 0，得 x ； f（ x） 0，得 0 x ， f（ x）的单调递增区间是（ ， +），单调递减区间是（ 0， ）； （ ） 1 ） x2=e， f（ e） =e，得： f 1 ） e，