D86二元函数的极值

作业讲评,(1),机动目录上页下页返回结束,主要问题,记号混乱,(2),求全导数时用y=f(x)代入后按一元函数求导.,没错,但不符合要求.,解:,记号,如:,而,将,混淆;,使用各种各样的不当,13(3),求,14(2),解:,机动目录上页下页返回结束,设,其中f具有二阶连续偏导数,求,(因f具有二阶连续偏导数,所以,看清题目要求,不要少做题.,第八章,第六节,二元函数的极值,一、二元函数的极值,二、条件极值,机动目录上页下页返回结束,三、最小二乘法,本节的教学要求,掌握二元函数的极值判别条件,会求解简单的二元函数极值问题了解条件极值概念和拉格朗日乘数法了解最小二乘法的原理,机动目录上页下页返回结束,重点,回顾一元函数的极值,(一)二元函数的极值,机动目录上页下页返回结束,f(x)在x=x0可导,x=x0为极值点,f(x0)=0.,f(x)在x=x0的两侧异号,f(x0)=0,f”(x0)0或f”(x0)0,y0.,由,得驻点,根据实际问题可知，S一定存在最小值，,所以,是使S取得最小值的点,即当x=y=z=,时,函数S取得最小值,亦即当箱子的长、宽、高,相等时,所用的材料最少.,则有,则V=xyz,例6,求两种产品各生产多少,工厂可取得最大利润?,机动目录上页下页返回结束,与9元,生产x单位的产品I与生产y单位的产品II的总,解:,(元),设L(x,y)表示产品与分别生产x与y单位时所,得驻点(120,80).,某工厂生产两种产品与,出售单价分别为10元,费用是:,得的总利润.,由,因为总利润等于总收入减去总费用,所以,驻点(120,80).,机动目录上页下页返回结束,再由,由题意知,生产120件产品,80件产品时所得利润,而,最大.,所以,当x=120和y=80时,L(120,80)=320是极大值.,机动目录上页下页返回结束,无条件极值,条件极值,（二）条件极值和拉格朗日乘数法,如例6的生产问题,此时无极值.,一定受到生产能力的限制,自变量不受条件约束时的极值,自变量受条件约束时的极值,受约束,故实际中多数情况是条件极值问题.,如果产量不,求收益最大时的产量就是无条件极值问题,因为实际中,产量,当然这不符合实际,包括资金、人力、固定,设备等的约束.,产量越高,收益越大,第一步作拉格朗日函数,求解条件极值问题的一种方法.,拉格朗日乘数法,机动目录上页下页返回结束,称为拉格朗日乘数.,求函数,步骤:,得点,第二步求解,消去,解出x,y，,第三步判别,此点为可能极值点.,由问题的具体性质判断),在约束条件,下的极值.,问题:,(用充分条件或,是否为极值点.,求三元函数,机动目录上页下页返回结束,(约束条件一般应少于未知量的个数)下的极值的方法：,判断它是否为极值点.,消去,解出x,y,z,得点,作拉格朗日函数,由,在约束条件,为拉格朗日乘数；,例7,机动目录上页下页返回结束,用拉格朗日乘数法求本节例6中容积一定的长方,消去,解出,即求函数,条件,解:,体表面积最小值。,在约束,下的最小值。,方程组一般为非线性方程组,常常难于求得解析解.,机动目录上页下页返回结束,的最短距离。,解:,例8,的距离r满足,到平面,到任一点,应满足条件为,求由一定点,点,点,令,得,则,机动目录上页下页返回结束,经验公式,之间的数学关系式.,（三）最小二乘法,最小二乘法是建立经验公式的一种方法.,将这些数据作为平面上点的坐标,出这些点.,用实验或调查得到的数据,如何确定a,b?,为了确定变量x和y之间的相依关系,为x与y之间存在线性关系,n次测量或调查,建立的各个量,我们对它们进行,得到n对数据,在直角坐标系中描,若这些点几乎分布在一条直线上,我们就认,直线的方程为,a,b应使直线与这n个点“最接近”,如何确定a,b?,机动目录上页下页返回结束,最小.,个函数的极值的问题。,接近”最合理的表述应该是使,把S看成a,b的函数,“最,求方程中a,b值的问题就是求这,测量值点,直线上的点,a,b取何值能使,机动目录上页下页返回结束,最小?,其中,解出a,b就得到最小二乘法公式：,例9,机动目录上页下页返回结束,如表所列。,代入公式得,试利用表中数据建立变量依赖于变量的线性关系.,解:列表计算各和数(i=1,2,6),两个相依的量与,由确定,经6次测试,得数据,变量依赖于变量的线性关系是,课堂练习,1.求下列函数的极值,又,所以,机动目录上页下页返回结束,解:,因此函数在点(4,1)取得极小值,由,得驻点,2.欲围一个面积为60米2的矩形场地,正面所用材料每米造价10元,其余三面每米造价5元,求场地长宽各为多少米时,所用材料费最少.,材料费为z元.,消去,解得,机动目录上页下页返回结束,解:,设长、宽各为x,y米,设,显然存在最小值,所以长宽各为,米