湖北省监利县第一中学高中数学 4.2数学归纳法（二）导学案（无答案）新人教版选修4-5

42数学归纳法（二）【学习目标】1会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式，特别是绝对值不等式、平均值不等式和柯西不等式2了解贝努利不等式，学会贝努利不等式的简单应用【重点难点】利用数学归纳法证明不等式【学习过程】一、自主学习要点1贝努利不等式：设x1，且x0，n为大于1的自然数，则 .要点2贝努利不等式的更一般形式：当为实数，并且满足1或者0时，有(1x)1x(x1)；当为实数，并且满足01时，有(1x)1x(x1)二、合作，探究，展示，点评题型一用数学归纳法证明绝对值不等式【例1】 设x1，x2，xn为实数，证明：|x1x2xn|x1|x2|xn|.【变式1】 证明不等式|sin n|n|sin | (nN)题型二用数学归纳法证明不等式【例2】 在数列an中，a12，an1an2n1(nN*)(1)求证an2n为等差数列；(2)设数列bn满足bn2log2(an1n)【变式2】 设数列an满足a12，an1an(n1，2，)(1)证明：an对一切正整数n都成立；(2)令bn(n1,2,3，)，判断bn与bn1的大小，并说明理由题型三数学归纳法与数列的综合问题【例3】 在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nN*)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：.【变式3】 数列an满足a11，且8an1an16an12an50(n1)，bn(n1)(1)求b1，b2，b3，b4的值；(2)求数列bn的通项公式及数列anbn的前n项和Sn.能力训练：数学归纳法在不等式中的应用【示例】 (2020山东高考)等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nN*)，证明：对任意的nN*，不等式成立三、知识小结数学归纳法（二）课时作业一、选择题1用数学归纳法证明：11)，第二步证明从“k到k1”，左端增加的项数是()A2k1 B2k C2k1 D2k12用数学归纳法证明不等式1成立时，起始值n0至少应取()A7 B8 C9 D103xR，不等式x2，x3，可推广为xn1，则a的值为()A2n Bn2 C22(n1) Dnn4如果命题P(n)对nk成立，则它对nk2亦成立，又若P(n)对n2成立，则下列结论正确的是()AP(n)对所有正整数n成立BP(n)对所有正偶整数n成立CP(n)对所有正奇整数n成立DP(n)对所有比1大的自然数n成立二、填空题5用数学归纳法证明：11)，第一步要证明的不等式是_6用数学归纳法证明cos cos 3cos(2n1)(kZ*，k，nN)，在验证n1时，左边计算所得的项是_7用数学归纳法证明：2n1n2n2 (nN*)时，第一步应验证_8用数学归纳法证明不等式1n(nN，且n1)时，第一步应验证不等式为_三、解答题9用数学归纳法证明：1 (n1，nN*)10设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxa