高一数学函数的图象人教

用心 爱心 专心 高一数学高一数学 函数函数的图象的图象人教版人教版)sin(xAy 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容： 函数的图象)sin(xAy 二. 重点、难点： 重点：用五点法画函数的简图及三角函数的图象变换。)sin(xAy 难点：三角函数的图象变换。 【典型例题典型例题】 例 1 作出函数在一个周期内的简图。) 3 2sin(2 xy 分析：分析：已知一般的正弦型函数的解析式作函数的图象有两种方kxAy)sin( 法较常用，一种是“五点法”即在一个周期内先描出五个特殊点，即始点 P1，峰点 P2，拐 点 P3，谷点 P4和末点 P5，然后用平滑的曲线就可描出图象，另一种作图方法是利用图象的 平移变换和伸缩变换由变为的图象。xysinkxAy)sin( 解：解：函数的周期列表，有) 3 2sin(2 xy 2 2 T x 6 12 5 3 2 12 11 6 7 3 2 x 0 2 2 3 2 ) 3 2sin(2 xy 02020 描点作图，得 y 6 5 12 11 12 6 7 2 3 0 x 另解：另解：利用图象变换由得的途径有两种。xysin) 3 2sin(2 xy （1）先平移 先把图象上所有的点向右平移个单位长度，得到的图象，xysin 3 ) 3 sin( xy 再把所得各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象，再 2 1 ) 3 2sin( xy 把所得图象上各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变），得到的) 3 2sin(2 xy 图象。 用心 爱心 专心 （2）先伸缩 先把图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到xysin 2 1 的图象，再把所得图象上各点向右平移个单位长度，得到xy2sin 6 的图象，再把所得各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍，便得函数) 3 2sin( xy 的图象。) 3 2sin(2 xy 例 2 如图为函数（）在一个周期内的简图，)sin(xAy 2 |, 0, 0 A 求其相应的函数表达式，并说明它是经过怎样的变换得到的。xysin x y 0 12 6 5 12 11 12 -2 2 分析：分析：求函数解析式，即确定解析式中 A、K 这四个KxAy)(sin 常数，方法有： （1）求振幅 A：)( 2 1 42 yyA （2）求周期 T：或或 15 xxT)(2 13 xxT)(4 12 xxT （3）求：)0( T 2 （4）求：或或或或 1 x 2 2 x 3 x 2 3 4 x 2 5 x （5）求纵向位移 B： 531 yyyK y x0 P1 P2 P3 P4 x1 y1 y2 x2x3 P5 x4 x5 解：解：周期，故 ) 12 ( 12 11 T2 22 T 易见振幅 A=2 用心 爱心 专心 将点代入，得)0, 12 ( )2sin(2xy0) 6 sin( ，又，得)( 6 Zkk 2 | 6 另法： 6 ) 12 (2) 12 ( 故有函数表达式为) 6 2sin(2 xy 利用图象变换，由图象向左平移个单位长度得到图象，再xysin 6 ) 6 sin( xy 把所得各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得图象，再把所得 2 1 ) 6 2sin( xy 各点纵坐标伸长到原来的 2 倍，即得函数的图象。) 6 2sin(2 xy 例 3 已知函数图象上每个点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来)(),(xfxfy 的 2 倍，然后再将整个图象沿 x 轴向左平移个单位，得到曲线与图象相同， 2 xysin 2 1 则的表达式为)(xfy （A）（B）) 22 1 sin( 2 1 xy) 2 (2sin 2 1 xy （C）（D）) 22 1 sin( 2 1 xy) 2 2sin( 2 1 xy 分析：分析：此题为由复杂函数经过变换得出简单函数的问题，思路有两种：一是从简单函 数出发实施相反逆运算即可得复杂函数的解析式；二是直接从出发进行变换。)(xfy 解法解法 1 1：的图象向右平移个单位长度得到图象，再把xysin 2 1 2 ) 2 sin( 2 1 xy 该图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，即得到函数的图象，此即 2 1 ) 2 2sin( 2 1 xy 的解析式。)(xfy 解法解法 2 2：把依题设要求先得图象，再得的图象，)(xfy ) 2 ( x fy ) 2 ( 2 1 ( xfy 故xxfsin 2 1 ) 2 ( 2 1 ( 设，则，则) 2 ( 2 1 xt 2 2 tx 故) 2 2sin( 2 1 )( ttf) 2 2sin( 2 1 )( xxf 解法解法 3 3：设，依题设条件先得的图象，再得)sin()(xAxf) 2 sin( xAy 的图象，由于) 2 ( 2 sin xAyxxAsin 2 1 ) 2 ( 2 sin 用心 爱心 专心 比较系数，得 0 2 1 2 2 1 A 即，故函数表达式为 2 , 2, 2 1 A) 2 2sin( 2 1 xy 例 4 函数的图象的一条对称轴的方程是（ ）) 2 5 2sin( xy A. B. 2 x 4 x C. D. （91 全国高考） 8 x 4 5 x 分析：分析：对于函数，它有无穷多对称轴，即BxAy)sin( )(, 2 Zkkx 有无穷多对称中心，其坐标为),(B k 解：解：)( 22 5 2Zkkx 2 22 k x kx 取，得，故选 A。1k 2 x 另法：另法：xxxy2cos) 2 2sin() 2 5 2sin( 对于函数它的对称轴方程为BxAy)cos()(Zkkx 它的对称中心为)()0, 2 (Zk k 由，得kx 2)( 2 Zk k x 取，得对称轴，取 A1k 2 x 例 5 函数的图象的一条对称轴的方程是（ ）) 2 2cos( xy A. B. C. D. （上海 93 高 2 x 4 x 8 xx 考） 解：解：由xx2sin) 2 2cos( 用心 爱心 专心 令 422 2 k xkx 取，得1k 4 x 例 6 函数在区间上是增函数，且，)0)(sin()(xMxf,baMaf)( ，则在上（ ）Mbf)()cos()(xMxg,ba A. 是增函数B. 是减函数 C. 可以取得最大值 MD. 可以取得最小值 （99 全国高考）M 解法解法 1 1：取，则有0, 1M ，取，此时在（即xxgxxfcos)(,sin)( 2 , 2 ba)(xg,ba ）上既不是增函数也不是减函数，且取得最大值 1，因而排除 A、B、D 而得 C。 2 , 2 解法解法 2 2：由在上是增函数，故，即，且)(xf,ba)()(bfafMM 0M 又由，则MbfMaf)(,)( ， 2 2 ka)( 2 2Zkkb 又，当时，0,bax 2 2, 2 2 kkx)(Zk 对于，当时，有最大值，故,bax)(2Zkkx)cos()(xMxg 选 C。 0 x M -M y=Mcos(x+) y=Msin(x+) ab 【模拟试题模拟试题】 1. 关于函数，有以下命题：)() 3 2sin(4)(Rxxxf （1）可得必是的整数倍；0)()( 21 xfxf 21 xx （2）的表达式可改写为；)(xfy ) 6 2cos(4 xy （3）的图象关于点对称；)(xfy )0, 6 ( （4）的图象关于直线对称。其中正确命题的序号是 。)(xfy 6 x 2. 已知函数的图象上有一个最低点，将图象上每点纵cxbxaycossin) 1, 6 11 ( 坐标不变，横坐标缩小到原来的倍，然后向左平移 1 个单位得到的图象，且 3 )(xfy 用心 爱心 专心 的所有正根依次为一个公差为 3 的等差数列，求的解析式，最小正周期和3)(xf)(xf 单减区间。 试题答案试题答案 1. 解： （1）取，有，但即 3 , 6 21 xx0)()( 21 xfxf 236 21 xx x 的整数倍，故（1）错 （2）) 3 2( 2 cos4) 3 2sin(4)( xxxf ，故（2）正确) 6 2cos(4)2 6 cos(4 xx （3）令得，取，则，即关于)( 26 2Zkkx 32 k x1k 6 x 点对称。故（3）正确。)0, 6 ( （4）对称轴为，得，) 3 2sin(4)( xxf)( 23 2Zkkx 122 k x 不论 k 取何整数，x 均不等于，（4）不正确。 6 综上（2）、（3）正确。 2. 解：，其中，且与点同象限，由cxbay)sin( 22 a b tan),(ba 是图象上最低点，故) 1, 6 11 ( 1 2 2 6 11 22 cba k 1 )(, 3 7 2 22 cba Zkk 故，即ckxcy) 3 7 2sin() 1(cxcy) 3 sin() 1( 图象横坐标缩小倍，得 3 cxcy) 33 sin() 1( 再向左平移 1 个单位得cxcy 3 ) 1( 3 sin) 1( 即，故cxcxfy 3 sin) 1()( 6T 由的所有正根依次等差，即曲线与直线相邻交点距离都相等，3)(xf)(xfy 3y 由三角函数性质，直线要么过曲线拐点，要么与相加，即过最高点3y)(xfy )(xf 或最低点，注意到是图象上最低点，故当与曲线在最高点相交，) 1, 6