三垂线定理一

三垂线定理一教学目的：知识目标：三垂线定理及其逆定理的形成和论证三垂线定理及其逆定理的简单应用 能力目标：利用投影、计算机模拟运动，增强直观性，激励学生的学习动机，培养学生的空间想象能力和转化的数学思想方法。 德育目标：通过定理的论证和练习的训练渗透化繁为简的思想和转化的思想 教学重点：掌握三垂线定理及逆定理。 教学难点：两个定理的证明及应用 教学疑点及解决方法（1）三垂线定理及其逆定理，揭示了平面内的直线与平面的垂线、斜线及斜线在平面内的射影这三条直线的垂直关系，其实质是平面内的一条直线与平面的一条斜线（或斜线在平面内的射影）垂直的判定定理（2）本节课的两个定理，涉及的直线较多，学生在认识和理解上都会存在困难，为了加深印象并说明复杂的直线位置关系，可以采用一些教具，或者让学生准备三根竹签，按照教师的要求摆放在学生感性认识的基础上，进行理性的证明和记忆，有助于定理的掌握（3）三垂线定理是先有直线a垂直于射影AO的条件，然后得到a垂直于斜线PO的结论；而其逆定理则是已知直线a垂直于斜线PO，再推出a垂直于射影AO在引用时容易引起混淆，解决的办法是，构造一个同时使用这两个定理的问题，引导学生分清（4）教学核心是定理的形成教学，教学的指导思想是：遵循由具体探究抽象、由简单到复杂的认识规律，启发学生反复思考，不断内化成为自己的认知结构授课类型：新授课教学模式：讲练结合 启发引导 自学指导 发现教学法 偿试指导法 启发、诱导发现教学.教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：复习旧知，揭示课题例1（引例）在正方体ABCDA1B1C1D1中， 找平面AC的斜线BD1的射影 BD1与AC的位置关系如何？BD1与AC成多少度的角？ 通过回忆斜线、射影、直线与直线的位置关系，揭示这节课所要学的内容与原来所学的知识之间的内在联系，也就是提醒学生这节课的目的是利用所学过的数学知识去总结结论，发现定理，从而为定理的证明打下了基础。二、讲解新课： 1三垂线定理：定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。已知：分别是平面的垂线和斜线，是在平面内的射影，且求证：；证明：，又平面，说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式：2三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。（证明略）推理模式： 练习：在平面内，于点，请指出图形中的直角三角形。说明：（1）定理的证明，体现了“由线面垂直证明线线垂直”的方法；（2）上述命题反映了平面内的直线、平面的斜线和斜线在平面内的射影这三条直线之间的垂直关系，这就是著名的三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（3）改变定理的题设和结论，得到逆命题：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直可以用同样的方法证明，这就是三垂线定理的逆定理（请学生简要说明其证明方法和步骤）（4）定理中包含了三个垂直关系：PA，AOa，POa，看出三垂线定理名称的来由（5）从定理的条件看，关键的是直线和平面的相对位置关系，而与平面本身是否水平放置无关；在平面内的直线a与斜线或斜线的射影的位置关系关键在于垂直；这样直线a的如下四种位置关系，都是三垂线定理及其逆定理常见的情形HDCBA（6）从定理的结论看，三垂线定理及其逆定理是判断直线垂直的重要命题3例题分析：例1、在空间四边形ABCD中，ABCD，AH平面BCD， 求证：BHCD 例2已知：点是的垂心，垂足为，求证：证明：点是的垂心，又，垂足为，所以，由三垂线定理知，例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的角平分线上。已知：在平面内，点，垂足分别为，求证：证明：，（三垂线定理逆定理），又，例3如图，道路两旁有一条河，河对岸有电塔，高，只有量角器和皮尺作测量工具，能否测出电塔顶与道路的距离？解：在道路边取点，使与道路边所成的水平角等于，再在道路边取一点，使水平角，测得的距离等于，是在平面上的射影，且（三垂线定理）因此斜线段的长度就是塔顶与道路的距离，在中得，答：电塔顶与道路距离是OCBAP4、归纳应用定理证明“ab”的一般程序“一垂二射三证明”找平面及平面的垂线找射影线，用定理去证明a，b垂直三、巩固与练习已知：点O是ABC的垂心，OP平面ABC，求证：PABC在正方体ABCDA1B1C1D1中，求BD1与B1C成多少度的角？四、小 结：1射影和斜线的有关概念；2三垂线定理及其逆定理。五、课后作业：课本第24页练习第2题，补充：