第十三讲定积分与微积分基本定理

1、第二章函数、导数及其应用第十三讲定积分与微积分基本定理【考纲速读吧】1了解定积分的实际背景、基本思想，了解定积分的概念2了解微积分基本定理的含义 【要点集结号】1个必会关键由微积分基本定理可知，求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算2个必记关系1当对应的曲边梯形位于x轴上方时定积分的取值为正，位于x轴下方时定积分的取值为负2当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零3项必须注意1利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数当图形的边界不同时，要分不同情况讨论2加速度对时间积分为速度，速度对时间积分是路程3定积分在物理

2、中应用的不同类型的计算方法，可类比平面图形面积的计算【课前自主导学】011定积分的几何意义F（x）F（x）dx的几何意义F（x）0表示由直线_，_，y0及曲线yF（x）所围成的曲边梯形的面积F（x）0表示由直线_，_，y0及曲线yF（x）所围成的曲边梯形的面积的相反数F（x）在a，b上有正有负表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积填一填（1）F（x）是奇函数，且F（x）dx6，则5F（x）dx_（2）1dx的值是_2定积分的性质性质11dx_性质2kF（x）dx_（其中k为常数）性质3F1（x）F2（x）dxF1（x）dxF2（x）dx性质4F（x）dxF（x）dxF

3、（x）dx（其中acb）填一填（1）已知F（x）dx2，F（x）dx3，则F（x）dx_（2）计算下列定积分：1x（x1）dx_（ex2x）dx_dx_3微积分基本定理一般地，如果函数F（x）是区间a，b上的连续函数，并且F（x）F（x），那么F（x）dx_，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式，可以把F（b）F（a）记作_，即F（x）dx_填一填一质点运动时速度和时间的关系为V（t）t2t2，质点作直线运动，则此物体在时间1,2内的位移为_【自我校对】1xaxbxaxb填一填：（1）0（2）2bakF（x）dx填一填：（1）1（2）eln23F（b）F（a）F（x）|F（x）|

4、F（b）F（a）填一填：提示：（t2t2）dtt3t22t【核心要点研究】02【考点一】定积分的运算例1（1）【2012江西卷】计算定积分1（x2Sinx）dx_（2）【2013浙江丽水】函数F（x）xmax的导函数为F（x）2x1，则F（x）dx的值等于（）ABCD【审题视点】计算F（x）dx的关键是找到满足F（x）F（x）的函数F（x），其中F（x）可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到【解析】（1）1（x2Sinx）dx（x3coSx）（2）由于F（x）xmax的导函数为F（x）2x1，所以F（x）x2x，于是F（x）dx（x2x）dx（x3x2）【答案】（1）（2）A【师说点拨】（1）

5、对被积函数，要先化简，再求积分（2）求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和（3）对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分并注明变量的取值范围【变式探究】计算以下积分：（1）（2x2）dx；（2）|1x|dx解：（1）被积函数y2x2的一个原函数是yx3lnx，所以（2x2）dx（x3lnx）（ln2）（ln1）ln2（2）若1x0，则x1，若1x1，于是|1x|dx（1x）dx（x1）dx（xx2）（x）1另解：x0,2时，y|1x|，如图，关于x1对称，|1x|dx2（1x）dx2（x）1【考点二】定积分几何意义的应用例2若定积分2dx，则m

6、等于（）A1B0C1D2【审题视点】被积函数y的原函数不易直接求出，其图象与圆有关，故可用定积分的几何意义求解【解析】根据定积分的几何意义知，定积分2dx的值，就是函数y的图象与x轴及直线x2，xm所围成图形的面积，y是一个半径为1的半圆，其面积等于，而2dx，即在区间2，m上该函数图象应为的圆，于是得m1故选A【答案】A【师说点拨】（1）当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分（2）利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小【变式探究】用定积分的几何意义求值： Sinxdx解：由于函数ySinx在区间，上是一个奇函数，图象关于原点成

7、中心对称，在x轴上方和下方面积相等，故该区间上定积分的值为面积的代数和，等于0，即Sinxdx0【考点三】利用定积分面积例3【2012山东卷】设a0，若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a，则a_【审题视点】由于x0，a0，所以曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积就是函数y以x为积分变量在区间0，a上的定积分，也可以以y为积分变量在区间0，上的定积分【解析】解法一Sdxx|aa，解得a解法二S0（ax）dy0（ay2）dy（ayy3）aaa，即1，所以a【答案】【奇思妙想】本例变为“曲线y，直线yx2及y轴所围成的图形的面积”，如何求解？解：y与yx2以及y轴所围成的图形为如图

8、所示的阴影部分，联立得交点坐标为（4,2），故所求面积为S（x2）dxx【师说点拨】利用定积分求曲边梯形面积的步骤（1）画出曲线的草图（2）借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限（3）将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差（4）计算定积分，写出答案【变式探究】【2013山东潍坊模拟】由抛物线yx21，直线x2，y0所围成的图形的面积是_答案：解析：抛物线yx21与x轴的交点为（1,0）和（1,0），如图，所求面积S（x21）dx1（1x2）dx（x3x）|【考点四】定积分在物理中的应用例42012年7月2日，美国费米国家加速器实验室宣布，接近发现“上帝粒子”的存在，再

9、次把人们的目光聚集在微观世界按万有引力定律，两质点间的吸引力Fk，k为常数，m1，m2分别为两质点的质量，r为两质点间的距离，若两质点起始距离为a，质点m1沿直线移动至离质点m2的距离为b处，则吸引力所做的功（ba）为_【审题视点】本题考查的是定积分的物理意义，物体在变力F（x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与F（x）相同的方向从xa移动到xb（a1），则a的值是（）A2B3C4D6答案：A解析：（2x）dx（x2lnx）a2lna（12ln1）a21lna且（2x）dx3ln2a21lna3ln2，a2，故选A6【2013汕头模拟】设f（x）则f（x）dx等于（）ABCD不存在答案：C解析

10、：本题画图求解，更为清晰，如图，f（x）dxx2dx（2x）dxx3（2xx2）（422）二、填空题7【2013金版原创】已知f（a）（2ax2a2x）dx，则f（a）的最大值为_答案：解析：f（a）（2ax2a2x）dx（ax3a2x2）aa2，当a时，f（a）取最大值，最大值为8已知f（x）3x22x1，若1f（x）dx2f（a），则a_答案：或1解析：1f（x）dx1（3x22x1）dx（x3x2x）42f（a），f（a）3a22a12，3a22a10，a1，或a9【2013通化模拟】曲线y2x2e2x，直线x1，xe和x轴所围成的区域的面积是_答案：e2e解析：由题意得，所求面积为（2

11、x2e2x）dx（2x）dx（2e2x）dxlnxx2e2x（10）（e21）（e2ee2）e2e三、解答题10【2013郑州模拟】已知函数f（x）x3ax2bxc的图象如图，直线y0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域（阴影）面积为，求f（x）解：由f（0）0得c0，f（x）3x22axb由f（0）0得b0，f（x）x3ax2x2（xa），由f（x）dx得a3f（x）x33x211 已知f（x）为二次函数，且f（1）2，f（0）0，f（x）dx2，（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在1,1上的最大值与最小值解：（1）设f（x）ax2bxc（a0），则f（x）2axb由f（1）2，f（0）0，得，即，f（x）ax22a又f（x）dxax22adxax3（2a）x2a2，a6，从而f（x）6x24（2）f（x）6x24，x1,1当x0时