2020-2021学年八年级下册数学北师大版教案 第四章因式分解

1、第四章因式分解1因式分解1理解因式分解的概念和意义2认识因式分解与整式乘法的相互关系重点理解因式分解的概念难点理解因式分解与整式乘法的相互关系一、复习导入出示问题：漂亮的长兴龙山公园有许多漂亮的花坛，其中有一块如图所示，你能用不同的方法求出花坛的面积吗？ 学生讨论回答：花坛的面积Sa(mn)或Saman.由此可知：a(mn)aman；amana(mn)引导学生分析这两个等式的不同：等式的左边是整式的积，右边是多项式 (整式乘法)等式的左边是多项式，右边是整式的积二、探究新知1探究因式分解的定义(1)课件出示：想一想：99399能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流小明是这样做的：99399

2、9999299 1 99(9921) 99(991)(991) 9910098.所以， 99399能被100整除小明在判断99399能否被100整除时是怎么做的？99399还能被哪些正整数整除？解：小明将99399通过分解因数的方法，说明99399是100的倍数，故99399能被100整除还能被98，99，49，11等正整数整除归纳：在这里，解决问题的关键是把一个数化成几个数的积的形式(2)课件出示：现在你能尝试把a3a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流处理方式：鼓励学生类比数的分解将a3a分解学生分组讨论，解决问题解：a3aaa2a1a(a21)a(a1)(a1)(3)课件出示：观察下面

3、拼图过程，写出相应的关系式. 处理方式：学生仔细观察拼图，自主完成解：mambmc m(abc)x2xx1 (x1)(x1)(4)引导学生分析99399 9910098，a3aa(a1)(a1)，mambmc m(abc)，x2xx1 (x1)(x1) 的共同之处，归纳出因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解因式分解也可称为分解因式2探究因式分解与整式乘法的关系课件出示：第一组：计算下列各式：(1)(m4)(m4)_；(2)(y3)2_；(3)3x(x1)_；(4)m(abc)_第二组：根据上面的算式填空：(1)3x23x()()；(2)m216()()；(3

4、)mambmc()()；(4)y26y9()()师：通过以上两组练习的演练，你认为这两组练习之间有什么关系？第一组是把多项式乘多项式展开整理之后的结果，第二组是把多项式写成了几个因式的积的形式，它们之间恰好是一个互逆的关系三、举例分析例多项式x2mx5因式分解得(x5)(xn)，则m_，n_处理方式：学生思考，小组讨论试着去发现解题的方法教师巡视，收集学生解题思路，对有困难的小组给予指导四、练习巩固1计算：8728713的值2若x101，y99，求x22xyy2的值3根据下图，写出一个因式分解的等式 五、课堂小结通过这节课的学习，你有什么收获？六、课外作业1教材第93页“随堂练习”第1、2题2

5、教材第94页习题4.1第15题本节课以学生的思维进程发展为主线，采用逐步渗透、螺旋式类比的方法进行教学在概念引入时，先从分解因数到分解因式的类比，到概念强化阶段，又以整式乘法与分解因式的过程类比，因式分解过程中正反两例的类比，逐渐加深学生的认识，主要体现在从一开始一连串的知识性问题引入，到后来环节中多次提出思考性的问题，启发、引导学生做进一步的猜想、探究，这种循序渐进的思维进程有助于学生理解接受新知识2提公因式法第1课时公因式为单项式的因式分解1了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式2在具体问题中，能确定多项式中各项的公因式重点掌握因式分解的概念及提公因式法分解因式难点正确找出多项

6、式中各项的公因式一、复习导入1什么是因式分解？2计算1592 采用什么方法？依据是什么？二、探究新知1提公因式法的概念(1)多项式 abac中，各项有相同的因式吗？多项式 3x2x呢？多项式mb2nbb呢？(2)教师利用多媒体动画深入讲解公因式、提公因式法因式分解有关概念 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式这种因式分解的方法，叫做提公因式法2提公因式的方法多项式2x26x3中各项的公因式是什么？那多项式2x2y6x3y2中各项的公因式又是什么？结论：(1)各项系数是整数，系数的最

7、大公约数是公因式的系数；(2)各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；(3)公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式三、举例分析例将下列各式分解因式：(1)3xx3；(2)7x321x2；(3)8a3b212ab3cab；(4)24x312x228x.处理方式：教师板书示范第(1)题，然后选3名代表板演，其余同学做在练习本上；然后师生共同纠错；最后教师展示解题过程想一想：提公因式法因式分解有哪些步骤？用提公因式法因式分解应注意哪些问题？提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系？引导学生得出：提公因式法因式分解的步骤：第一步，找出公因式；第二步，提公因式；第三步，将多项

8、式化成两个因式乘积的形式用提公因式法因式分解应注意的问题：公因式要提尽；小心勿漏项；多项式的首项取正号提公因式法因式分解与单项式乘多项式之间是互逆过程四、练习巩固1多项式6ab218a2b212a3b2c的公因式是()A. 6ab2cBab2C. 6ab2D. 6a3b2c2分解4x38x216x的结果是()Ax(4x28x16)B. x(4x28x16)C4(x32x24x)D4x(x22x4)3把下列各式因式分解：(1)3x2y6xy ；(2)4m316m226m .五、课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？六、课外作业1教材第96页“随堂练习”2教材第9697页习题4.2第13题由于因

9、式分解的主要目的是对多项式进行恒等变形，它的作用更多的是应用于多项式的计算和化简，比如在以后将要学习的分式运算、解分式方程、二次根式化简等中都要用到因式分解的知识因此应该注重因式分解的概念和方法的教学本节运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握. 第2课时公因式为多项式的因式分解1进一步理解公因式和提公因式法的意义，掌握确定公因式的方法2掌握公因式为多项式的因式分解3渗透类比、化归思想，培养学生的观察能力和类比推理能力重点掌握公因式为多项式的因式分解难点准确找出公因式，并能正确进行因式分解一、复习导入问题1：什么是多项式的公因式？如何确定公因式？问题2：

10、什么是提公因式法？其依据是什么？用提公因式法因式分解的步骤有哪些？问题3：把下列各式因式分解：(1)2am3m；(2)m2nmn2mn；(3)2x2y4xy22xy.问题4：如何利用提公因式法对多项式a(x3)2b(x3)进行因式分解呢？二、探究新知1课件出示教材第97页例2.处理方式：教师引导学生小组讨论，类比公因式为单项式的多项式因式分解方法，分析如何对其进行因式分解，学生代表说出分析过程，教师点评并书写解题过程解：(1) a(x3)2b(x3)(x3)(a2b)(2) y(x1)y2(x1)2y(x1)1y(x1)y(x1)(xyy1)注意：公因式可以是单项式，也可以是多项式，是多项式时

11、应整体考虑直接提出；写因式分解的结果时，单项式要写在多项式的前面；提取公因式后，如果多项式中有同类项，要合并同类项2课件出示：如何利用提公因式法对多项式a(xy)b(yx)进行因式分解？处理方式：引导学生观察多项式的特点，类比例2在小组间展开讨论，教师参与小组讨论，小组代表分析解题过程并在黑板上板书，教师针对学生的回答及时点评解： a(xy)b(yx) a(xy)b(xy) (xy)(ab)3课件出示：把下列各式因式分解：(1)2(a3)2a3；(2)6(mn)312(nm)2.处理方式：进一步引导学生分析，教师针对学生的分析及时点评，板书解题过程解：(1)2(a3)2a32(a3)2(a3)

12、(a3)2(a3)1(a3)(2a61)(a3)(2a7)(2)6(mn)312(nm)26(mn)312(mn)26(mn)312(mn)26(mn)2(mn2) .三、举例分析例请在下列各式等号右边的括号前填入“”或“”，使等式成立：(1)2a_(a2)；(2)ba_(ab)；(3)(ba)2_(ab)2；(4)mn_(mn)；(5)s2 t2_(s2 t2)；(6)(pq)3_(qp)3； 师：通过练习你有什么发现？处理方法：学生自主完成，完成后同桌之间相互交流，比较异同，学生代表发言，教师点评矫正归纳总结：(1)n为整数，(yx)n(xy)n.(2)当n为偶数时，(yx)n(xy)n；

13、当n为奇数时， (yx)n(xy)n.(3)当n为偶数时，(yx)n(xy)n；当n为奇数时， (yx)n(xy)n.四、练习巩固1说出下列各多项式中各项的公因式：(1)3m(xy)9m2(yx)2；(2)8(ab)26(ba)3；(3)5m(xy)210m2(yx)2；(4)12a3(mn)310a2(nm)3.2把下列各式因式分解：(1) 2m(ab)3n(ab)；(2)x(a3)y(a3)；(3)7q(pq)2p(pq)；(4)x(ab)y(ab)z(ab); (5)p(a2b2)q(a2b2)r(a2b2)；(6)2a(xyz)3b(xyz)5c(xyz)五、课堂小结通过本节课的学习，

14、你有哪些收获？六、课外作业1教材第98页“随堂练习”2教材第98页习题4.3第13题在本节课的教学中，我发现学生对“分解因式”的基本知识的掌握并不像我所想象的那么好，所以课堂上我采用“低起点、多归纳、勤练习、快反馈”的教学方法讲解、提问、练习、学生小结、教师归纳等形式交替出现，这样既调节了学生的注意力，又使学生大量参与课堂学习活动，教学效果显著3公式法第1课时利用平方差公式因式分解1理解和掌握平方差公式的特点，会运用平方差公式分解因式2经历通过平方差公式逆向运算的推导得出用公式分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力重点应用平方差公式分解因式难点准确理解和掌握公式的结构特征，灵活应用

15、公式法和提取公因式法分解因式一、复习导入问题1：看谁算得又快又准：(1)642362 _；(2)2 01522 0142_问题2：能说一下你的方法吗？ 师：逆用平方差公式可以帮助我们简便运算，那么能否帮助我们进行分解因式呢？ 二、探究新知1课件出示：(1)观察多项式x225，9x2y2，它们有什么共同特征？(2)尝试将它们分别写成两个因式的乘积，并与同伴交流师生共同分析：多项式x225和9x2y2都可以写成两个式子的平方差的形式：x225x252, 9x2y2 (3x)2y2.把乘法公式(ab)(ab)a2b2反过来，就得到a2b2(ab)(ab)，于是有：x225x252(x5)(x5)，

16、9x2y2 (3x)2y2(3xy)(3xy) 归纳总结：a2b2 (ab)(ab)特点：(1)公式左边：(是一个将要被分解因式的多项式)被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成()2()2的形式(2) 公式右边：(是分解因式的结果)分解的结果是两个底数的和乘两个底数的差的形式2课件出示：判断下面多项式能否用平方差公式来分解因式？ x21; x2y2 ; x2 y2；x2y2； m24n2； (ab)2(cd)2.处理方式：学生观察、思考，并总结运用平方差公式分解因式的前提条件3课件出示教材第99页例1.处理方式：学生对比公式，明确公式中的a与b在此例中分别是什么，从而直接利用平方差公

17、式因式分解(1)(2)两道题目较简单，考查学生对公式的直接应用能力，为后面公式的灵活应用做铺垫三、举例分析例把下列各式分解因式：(1)9(mn)2(mn)2; (2)2x38x .处理方式：学生积极动手尝试分解因式，并小组交流，然后展示注意：在平方差公式a2b2(ab)(ab)中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式，同时向学生渗透换元的思想方法；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式归纳：公式中的a，b无论表示数、单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解四、练习巩固1判断下列分解因式是否正确：(1)4a

18、29b2(2a3b)(2a3b)；(2)925a2(325a)(325a)；(3)(ab)2c2a22abb2c2；(4)a41(a2)21(a21)(a21)2把下列各式分解因式：(1)a2b2m2; (2) 4a2 1；(3)(ma)2(nb)2 ; (4)3x3y12xy.五、课堂小结这节课我们主要学习了什么知识？六、课外作业1教材第100页“随堂练习”第1、3题2教材第100101页习题4.4第1、2、3题本节课的教学设计借助于学生已有的整式乘法运算的基础，给学生留有充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到分解因式的转换过程，并能用符号合理地表示出分解因式的关系式，同时感受到

19、这种互逆变形的过程和数学知识的整体性在教学中充分发挥小组之间的互助作用和教学评价的导向作用，以学习评价促进学生的发展第2课时利用完全平方公式因式分解1能够正确识别符合用公式法分解的多项式，会运用完全平方公式分解因式2经历探索运用完全平方公式因式分解的过程，体会逆向思维在数学中的应用，同时了解换元的思想方法3探索多项式因式分解的步骤与方法，体会化归思想的应用重点用完全平方公式进行分解因式难点根据多项式的特点，恰当地安排步骤，灵活地选用不同方法进行因式分解一、复习导入问题1：我们学习了哪些因式分解的方法？问题2：把下列各式分解因式：(1)ax49ay2; (2)x416.问题3：整式乘法中，我们除

20、了学过平方差公式外，还学过了哪个乘法公式？师：我们能够利用平方差公式分解因式，那么能不能用完全平方公式分解因式呢？本节课我们就一起探究这个问题二、探究新知1课件出示：类比利用平方差公式因式分解，把乘法公式(ab)2a22abb2，(ab)2a22abb2反过来，就得到a22abb2(ab)2，a22abb2(ab)2.请结合a22abb2(ab)2，a22abb2(ab)2，完成以下探究问题：(1)完全平方公式的特点：左边：_；右边： _(2)形如a22abb2，a22abb2的式子我们称为_处理方式：类比利用平方差公式分解因式，让学生以小组讨论、合作交流的方式探讨完全平方公式的特点及完全平方

21、式的概念，小组展示结论，教师依据学生回答中出现的问题点评并强调公式a22abb2(ab)2与a22abb2(ab)2叫做因式分解的完全平方公式；a22abb2，a22abb2叫做完全平方式师：通过对a22abb2(ab)2，a22abb2(ab)2和a2b2(ab)(ab)的学习，结合整式乘法，你能说说什么是因式分解的公式法吗？由分解因式与整式乘法的关系可以看出，我们可以利用乘法公式把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法2课件出示：把下列完全平方式分解因式：(1) x214x49; (2)(mn)26(mn)9.处理方式：让学生观察例题两式的特点，引导学生对照完全平方公式，明确公式中的a，b在x214x49与(mn)26(mn)9中分别是什么(a，b可以是单项式，也可以是多项式)，并尝试用语言表述加以理解，如x227x72是x与7两数的平方和加上这两数积的2倍小组讨论后由学生分别口述解题过程，教师借助多媒体展示解题过程，让学生进一步理解并规范如何使用完全平方公式进行因式分解解：(1) x214x49x2 2x7 72 (x 7)2. a2 2ab b2(a b