算法时间复杂度计算示例

1、基本计算步骤示例一：(1) int nu ml, nu m2;(2) for(int i=0; in; i+)(3) numl += 1;(4) for(int j=1;j=n; j*=2 )(5) num2 += nu ml;分析步骤Stepl.分析各条语句执行时间，得到算法（实际）复杂性语句int num1, num2;的频度为1 ；语句i=0;的频度为1 ；语句 in; i+; num1+=1; j=1;的频度为 n ;语句 j=n; j*=2; num2+=num1;的频度为 n*log 2n ；算法（实际）复杂性：T（n） = 2 + 4n + 3n *log 2nstep2.计算渐

2、进复杂性 忽略掉T(n)中的常量、低次幕和最高次幕的系数，得到f(n) = n*log 2n可省略：lim(T(n)/f(n) = (2+4n+3n*log2n) / (n*log 2n)=2*(1/n)*(1/log 2n) + 4*(1/log 2n) + 3当n趋向于无穷大，1/n趋向于0, 1/log 2n趋向于0 ,极限等于3。 T(n) = O(n *log 2n)简化的计算步骤num2 +=再来分析一下，可以看出，决定算法复杂度的是执行次数最多的语句，这里是 num1，一般也是最内循环的语句。并且，通常将求解极限是否为常量也省略掉？于是，以上步骤可以简化为：1.找到执行次数最多的

3、语句2计算语句执行次数的数量级3.用大O来表示结果继续以上述算法为例，进行分析：1.执行次数最多的语句为 n um2 += num12. T(n) = n*log 2n f(n) = n*log 2n3. / lim(T( n)/f(n) = 1T(n) = 0(n*log 2n)一些补充说明最坏时间复杂度算法的时间复杂度不仅与语句频度有关，还与问题规模及输入实例中各元素的取值有关。一般不特别说明，讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这就保证了算法的运行时间不会比任何更长。求数量级即求对数值(log)，默认底数为10，简单来说就是 一个数用标准科学计数法表示后，10的指数”例如，500

4、0=5x10 3 (Iog5000=3)，数量级为3。另外，一个未知数的数量级为其 最接近的数量级，即最大可能的数量级。复杂度与时间效率的关系：c log 2n n n*log 2n n2 n3 2 n 3n n! (c 是一个常量)较好一般较差复杂情况的分析以上都是对于单个嵌套循环的情况进行分析，但实际上还可能有其他的情况，下面将例举说明。1.并列循环的复杂度分析将各个嵌套循环的时间复杂度相加。例如：for (i=1; i=n; i+)x+;for (i=1; i=n; i+)for (j=1; j2函数调用的复杂度分析例如：public void prin tsum(i nt coun t

5、)int sum = 1;for(int i= 0; in; i+)sum += i;System.out.pri nt(sum);分析：记住，只有可运行的语句才会增加时间复杂度，因此，上面方法里的内容除了循环之外，其 余的可运行语句的复杂度都是0(1)。所以printsum 的时间复杂度=for的O(n)+O(1)= 忽略常量 =O(n)*这里其实可以运用公式num = n*( n+1)/2，对算法进行优化，改为：public void prin tsum(i nt coun t)int sum = 1;sum = count * (co un t+1)/2;System.out.pri n

6、t(sum);这样算法的时间复杂度将由原来的0(n)降为0(1)，大大地提高了算法的性能。3.混合情况(多个方法调用与循环)的复杂度分析例如：public void suixia ngMethod(i nt n)prin tsum( n);/1.1for(int i= 0; in; i+)prin tsum( n); /1.2for(int i= 0; i忽略常数 和 非主要项 =0(n2)示例2. 0(1)交换i和j的内容temp=i;i=j；j=temp;以上三条单个语句的频度为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=0(1)。如果算法的

7、执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是0(1)。示例 3. 0(n2)sum=0 ；/*执行次数1 */for(i=1;i=n ;i+)for(j=1;j=n ;j+)sum+ ；/*执行次数 n2 */解：T(n) = 1 + n 2 = 0(n2)for (i=1;i n;i+) y=y+1;for (j=0;j=(2* n);j+)x+;解：语句1的频度是n-12-n-1语句2的频度是(n-1)*(2n+1) = 2n T(n) = 2n 2-n-1+(n-1) = 2n 2-2 f(n) = n 2lim(

8、T( n)/f(n) = 2 + 2*(1/ n 2) = 2 T(n) = 0(n 2).示例4. 0(n)a=0;b=1;for (i=1;i=n ;i+)s=a+b;b=a;a=s;解：语句1的频度：2,语句2的频度：n,语句3的频度：n,语句4的频度：n,语句5的频度：n,T(n) = 2+4nf(n) = nlim(T( n)/f(n) = 2*(1/n) + 4 = 4T( n) = 0(n).示例 5. O(log 2n)i=1;while (i=n)i=i*2;解：语句1的频度是1,设语句2的频度是t,贝U: nk=n; t=log 2n考虑最坏情况，取最大值 t=log 2 n,T(n) = 1 + log 2nf(n) = log 2nlim(T( n)/f(n) = 1/log 2n + 1 = 1T(n) = O(log 2n)示例 6. O(n3)for(i=0;i n ;i+)for(j=0;ji;j+)for(k=0;kj;k+)x=x+2;所以这里最解：当i=m, j=k的时候，内层循环的次数为k。当i=m时,j可以取0,1,.,m-1 ,内循环共进行了O