二次方程根的分布情况归纳(完整版)

1、二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 2 1、一元二次方程ax bx c 0根的分布情况 设方程ax2 bx c 0 a 0的不等两根为X|,x2且论 x2，相应的二次函数为 f x ax2 bx c 0，方程的 根即为二次函数图象与 x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分布情况 两个负根即两根都小于0 x10, x20 两个正根即两根都大于0 X 0, x20 一正根一负根即一个根小于0, 一个大于0捲 0 x2 得出的结论 b 2a b 2a 0 得出的结论 b 2a f 0 b 2a f 0 综合结论不

2、讨论a b 2a b 2a 表二：（两根与k的大小比较） 分布情况 两根都小于k即 一个根小于k，一个大于k即 x-ik, x2k o 大致图象 a 两根都大于k即 Xi k x2 得出的结论 b 2a f k b 2a f k o 大致图象 a 得出的结论 b 2a b 2a 综合结论不讨论a b 2a b 2a 表三：（根在区间上的分布） 分布情况 两根都在m, n内 两根有且仅有一根在 m, n内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在m,n内，另一根在 p,q 内，m n p q o 大致图象 a 得出的结论 o 大致图象0 1 fx = ax2= 0 itx 0 i X min X

3、max X max X min max f n , f m b 2a X min X max 对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论: (1)若 b 2a m,n，则 f x max max f m , f 2a fn， f x min min f m , f 2a fn (2)若 m,n，则 f x 2a 当二次函数开口向上时, max max f m , f n f x min min f m , f n 自变量的取值离开 另外， 时，自变量的取值离开 X轴越远，则对应的函数值越小。 X轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下 二次函数在闭

4、区间上的最值练习 二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题 各代表一种情况。 例1、函数f x ax2 2ax 2 b a 0在2,3上有最大值5和最小值2,求a, b的值。 解：对称轴 Xo1 2,3 ，故函数f x在区间2,3上单调。 卒丄f X f 3 3a b 2 5 a 1 (1) 当 a 0时， 函数f X在区间 2,3上是增函数，故 max f X min f 2 2 b 2 b 0 f X f 2 b 2 5 a 1 (2) 当 a 0时， 函数f X在区间 2,3上是减函数，故 max f X min f 3 3a

5、b 2 2 b 3 2 例2、求函数f x x 2ax 1, x 1,3的最小值。 解：对称轴x0 a 2 (1)当 a 1 时，ymin f 12 2a (2)当 1 a 3时，yminf a 1 a ；(3)当 a 3时，yminf 3 10 6a 改：1.本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？ 解：(1)当 a 2 时，f x f 3 10 6a ； max? (2)当 a 2 时，f X max f 12 2a。 2本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行? 例3、求函数y 解：（1）当 1 a 1时，f x max f 3 10 6a， f x i min f 1 2 2a ；

6、（2）当 当1 a 2时， f x f 3 10 6a，f x f a 1 a2 ； max min （3）当 当2 a 3时, f x f 1 2 2a，f x f a 1 a2 ； max min （4）当 当a 3时，f :x max f 1 2 2a， f x ?min f 3 10 6a。 2 x 4x 3在区间t,t 1上的最小值。 解：对称轴x02 1 ； (1)当 2 t 即 t 2 时，ymin t t2 4t 3 ； (2)当 t 2 t 1 即 1 t 2 时，ymin (3)当 2 1时, y min t2 2t 例4、讨论函数f x 1的最小值。 解：f x x2 2 x 2 x 1