华师大版九年级数学上册第22章一元二次方程典型例题解析(学生用)

1、【培优提高训练】华师大版九年级数学上册 第22 章一元二次方程典型例题解析一、解答题1巳知关于x的方程二0二2) + 2二口 +匚(1+合)=0有两个相等的实数根，试证明以a、b、c为三边的 三角形是直角三角形。2 .在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路(团中阴影部分)，余下的部分种上草坪.要使 草坪的面枳为540m2 ,求道路的宽.3 如团，等边三角形abc的边长为6cm,点p百点b出发，以lcm/s的速度向终点c运动；点q百点c 出发，以lcm/s的速度向终点a运动.若p, q两点分别同时从b, c两点出发，问经过多少时间apcq 的面积是2 v5 cm2?4 .巳知关于x

2、的一元二次方程mx2+x+l=0.(1)当该方程有一个根为1时，确定m的值；(2)当该方程有两个不相等的实数根时，确定m的取值范围.5 .为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽 于每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者 利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%,请你利用所学知识帮助越市给该品牌粽子 定价，使超市每天的销售利润为800元.6 .如图，某小区规划在一个长40米，宽为26米的矩形场地abcd上，修建三条同样宽的道路，使其中两 条与ab平行，另一条与ad平行，

3、其余部分种草，若使每块草坪的面积都为144平方米，求道路的宽7 .如果方程r+px+qh)有两个实数根xi , x2 ,那么x1+x2=-p, xix2=q,请根据以上结论，解决下列 问题：(1)巳知a、b是方程x2+15x+5=o的二根，则三+三=?(2)巳知a、b c满足a+b+c=o, abc=16,求正数c的最小值.(3)结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：巳知二二和二二2是关于x, y的方程组 i- - t - -2二2二，二;。的两个不相等的实数解.问：是否存在实数k,使得山丫2-三一|三2?若存在，求出的k 值，若不存在，请说明理由.8 .如图所示，某工人师传要在一个面枳为1

4、5m2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的泉面, 且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1m.求裁剪后剩下的阴影部分的面9 .小明家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠培修建一 个矩形花圃，他买回了 32米长的不锈钢管准备作为花园的围栏(如图所示)，花圜的一边ad (垂直围墙 的边)究竟应为多少米才能使花圉的面枳最大？10 .某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件,每件获利40元。为了迎接“六一” 儿童节和扩大销售，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件亶装每降价 1元，则平均每天可多售出2

5、件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，并且尽快减少库存，那么 每件童装应降价多少元？11 .如图，四边形 abcd 中，ad/7bc, za=90, ad=lcm, ab=3cm, bc=5cm,动点 p 从点 b 出发以 icnvs的速度沿bc的方向运动，动点q从点c出发以2cnvs的速度沿cd方向运动，p、q两点同时出发， 当q到达点d时停止运动，点p也隋之停止，设运动的时间为is (t0)(1)求线段cd的长；(2) t为何值时，线段pq将四边形abcd的而枳分为1: 2两部分?二、综合题(1) 7x (5x+2) =6 (5x+2)(2)关于x的一元二次方程x2+3x+m-l

6、=o有两个实数根，求m的取值范围.13 .巳知关于x的方程口？ 一(匚+ i)二一 0上。.(1)求证：无论k取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的一根为2,试求出k的值和另一根.14 .曲靖市某楼竟准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房 者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价 开盘销售.(1)求平均每次下调的百分率.(2)其人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：打 9.9折销售；不打折，送两年物业管理铃，物业管理费是每平方米每月1.4

7、元，请问哪种方案更优惠？ 15.我市某社会团体组织人员参观皇窑瓷展，主办方对团体购票实行优惠：在原定票价的基础上，每张降价 40元，则按原定票价需花费6000元购买门票，现在只花了 4000元.(1)求每张门票原定的票价；(2)在展览期间，平均每天可售出个人票2019张，现主办方决定对个人购票也采取优惠措施，发现原定 票价每降低2元，平均每天可多售出个人票40张，若要使平均每天的个人票收入达到241500元，且能有 效控制游览人数，则票价应降低多少元？16 .某商场经营a种品牌的玩具，购进时间的单价是30元，但据市场调笠，在一段时间内，销售单价是40 元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元

8、，就会少售出1。件玩具.(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元(x40),请用含x的代数式表示该玩具的销售量；(2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于450件的销售任务，求商场销 售该品牌玩具获得的最大利润是多少？(3)该商场计划将(2)中所得的利润的一部分资金采购一批b种玩具并转手出售，根据市场调查并准备 两种方案，方案：如果月初出售，可获利15%,并可用本和利再投褥c种玩具，到月末又可获利10%； 方案：如果只到月末出售可直接获利30%,但要另支付他库保管费350元，请问商场如何使用这空资金， 采用哪种方案获利较多？17 .某租赁公司拥有汽车100辆.据统计，

9、每辆车的月租金为4000元时，可全部租出.每辆车的月租金每 增加100元，米租出的车将增加1辆.租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车每辆每月只需维 护费100%.(1)当每辆车的月租金为4600元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益(租金收入扣除维护 费)是多少万元？(2)规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益(租金收 入扣除维护费)可达到40.4万元？第3页/共12页18 .如图，a、b、c、d为矩形的四个顶点，ab=16cm, ad=6cm,动点p、q分别从点a、c同时出发,点p以3cm/s的速度向点b移动，一直到达b为止，点q

10、以2cm/s的速度向d移动.(1) p、q两点从出发开始到几秒？四边形pbcq的面枳为33cm2;(2) p、q两点从出发开始到几秒时？点p和点q的距离是10cm.19 .如图s2 - 2,在r/2abc中，zc=90, ac=20 cm , bc= 15a儿现有动点p从点a出发，沿ac 向点c方向运动，动点q从点c出发，沿线段cb向点b方向运动.如果点p的速度是4a/s,点q的 速度是2o/s,它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.设运动的时间为is,求：第11页/共12页(1)用含t的代数式表示朋cpq的面积s;(2)当t = 3秒时，这时，p、q两点之间的距客是多少？(

11、3)当t为多少秒时，s=-saabc?“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而耒。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的 老师。说文解字中有注r： “师教人以道者之称也。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传 授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语 义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老” “师”连用最初见于史记，有“荀卿最为老师” 之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今 日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称， 星能

12、从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识， 更重于传播知识。20 .巳知：如图所示，缸 abc中,zb=90, ab=5cm, bc=7cm,点p从点a开始沿ab边向点b以lcm/s 的速度移动，点q从点b开始沿bc边向点c以2cnvs的速度移动.(1)如果p, q分别从a, b同时出发，那么几秒后，apbq的面枳等于4cm2?(2)如果p, q分别从a, b同时出发，那么几秒后，apbq中pq的长度等于5cm?(3)在(1)中，当p, q出发几秒时，apbq有最大面积？21 .为了落实国务院的指示精神，英地方政府出台了 一系列“三农”优惠政策，

13、使农民收入大幅度增加.某农 户生产经销一种农产品，巳知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千 克)与销售价x(元/千克)有如下关系：y=-2x+80.诙这种产品每天的销售利润为w元.(1)求w与x之间的函数关系式；(2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润， 销僧价应定为每千克多少元？22 .满洲里市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购 房者持币观望.为了加快资金周转，房地产开发商讨价格经

14、过两次下调后，决定以每平方米4050元的均 价开竞销售.(1)求平均每次下调的百分率；(2)某人准备以开荒均价购买一套100平方米的房子.开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：打23 8折销售；不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月l5元，请问哪种方案更优惠？答案解析部分一、解答题1.【答案】证明：a (1-x2) +2bx+c (1+x2) =0去括号，整理为一般形式为：(c-a) x2+2bx+a+c=0,关于x的一元二次方程a (1-x2) +2bx+c (1+x2) =0有两个相等的实数根。/.=0,即4=(2b) 2-4 (c-a) (a+c) =4 (b2+c2-a2)

15、 =0,/. b2+c2-a2=o,即 b2+c2=a2o.以a、b、c为三边的三角形是直角三角形。2 .【答案】解：说道路的宽为xm,根据题意得：(32-x) (20-x) =540,解得：xi=2, x2=50 (不合题意，合去)，答:道路的宽是2m.3 .【答案】解：谀经过xsapcq的面枳是2火cn ,由题意得；(6-x) x = x=2解得：xi=2, x2=4,等：经过2s或4sa pcq的面积是2 3 cnr .4 .【答案】解：(1)把x=l代入mx2+x+l=0,得111+1 + 1=0,解得m=-2;(2)由题意得：=l-4m0,.解得mv：.4义 m=0.所以m的取值范围

16、是：n】v?且n熄).5 .【答案】解：说每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元.根据题意，得(x-3) (500-10xx-4二)=800,0.1解得xi=7, x2=5.售价不能超过进价的200%,工建3x200%.即烂6.x=5.谷：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元6 .【答案】解：说道路的宽为x米， 由题意得：40x26-2x26x-40x+2x2= 144x6化简得：x2-46x+88=o解得:x=2, x=44当x=44时，道路的宽就超过了矩形场地的长和宽，因此不合题意舍去.谷：道路的宽为2米7 .【答案】解：(1);a、b是方程x?+15x+5=0的二根，a+b

17、= - 15, ab=5, + 三=(二十二)2-2 二二一(t5)、2x5_43 5枚卷案是：43；(2) va+b+c=o, abc=16,.a+b=-c, ab= ,，a、b是方程x2+cx-h?=0的解,.c2-4-0, c2-0,c是正数，.c3 -430, c343 , c4,正数c的最小值是4.存在，当k= - 2时，匚通-三-三=2 .一 2由 x? - y+k=o 变形得:y=x2+k,由 x y二l 变形得：y=x-l,把 y=x1 代入y=x?+k,并整理得：x2-x+k+l=o,由题意思可知，x , x2是方程x2-x+k+l=0的两个不相等的实数根，故有：（- 1）2

18、 4仁+ 1） 0 二 i + 二 2=1 二二，=二+ 1 ,二户2 =（二d。一1）咨=2根据题意得：x （2x-l） =15,- 二/ 二2/_ nz- 7、（二/+ 二2）, 2-h-h= （-/一，）（一2 一】）-一 2 -19即:二-9（于 + 2d = 0 解得：k= 2.8 .【答案】解：设大正方形的边长xm,则小正方形的边长为（x-l） m, 解得：xi=3, x2=一三（不合题意舍去）， 小正方形的边长为（x-1） =3-1=2, 裁剪后剩下的阴影部分的面枳=15-2?-32=2 （m?）, 谷：裁剪后剩下的阴影部分的面积2m29 .【答案】解：说ab的长为x米，矩形的面

19、积为y平方米， y=x-1（x-16）2+128,v0x40,，x2=10 舍去.谷：每件重装应降价20元.11 .【答案】（1）解：如图1,作de_lbc于e,则四边形adeb是矩形.abe=ad=1, de=ab=3, .ec=bc-be=4, 在 rs dec 中,de2+ec2=dc2 ,dc=，二% 二2 =5 厘米;(2)解：点p的速度为1厘米/秒，点q的速度为2厘米/秒，运动时间为t秒,，bp=t 厘米,pc= (5-t)厘米，cq=2t 厘米，qd= (5-2t)星米，且 ovts2.5,作qhlbc于点h,，deqh,azdec=zqhc,v zc=zc, aadecaqhc

20、, ,.三二三，即上=二， ,.qh= 1 t,asapqc= i pcqh= ； (5-t) t=-t2+3t,s：g电形abcd= 7 (ad+bc) *ab= (1+5) x3=9, 一 分两种情况讨论：当sapqc： s过形abcd=1 ： 3时，一 1t2+3t= j x9,即 t2-5t+5=0,解得匕手，t2=半(舍去)； sapqc： s 西皮影abcd=2: 3 时，一 t2+3t= j x9,即 t2-51+10=0,va0,13解得，,即m的取值范圉是m学13.【答案】(1)证明：v b2-4ac=- (k + 1 ) 2-4x 1 x(- 6) = (k + 1 ) 2

21、+ 24 24、：.无论 k 的取何实数, 该方程总有两个不相等的实数根(2)解：将0=2代入方程z2-(j + 7)d-6= 0中，22-2(3+ 1)-6= 0 ,即二+ 2 = 0 ,修得：二=一2 .原方程为：口2+二一 0.。，即(二一2)(二+ 3) = 0 ,解得：二=2 , 口2 = -3 .枚k的值为一2 ,方程的另一根为一314 .【答案】(1)解：设平均每次下调的百分率是x,依题意得，4000 (1-x) 2=3240解之得：x=0.1=10% 或x=l9 (不合题意，舍去)所以，平均每次下调的百分率是10%(2)解：方案优惠=100x3240x (1-99%) =324

22、0 元 方案优惠=100x1.4x12x2=3360 元6000 _ 4000 三丁 一弟一40叔选择方案更优惠15 .【替案】(1)解：设每张门票的原定的票价是x元,解得，x=120 经检险x=120是原分式方程的解，即每张门票的原定的票价是120元;(2)解：要使平均每天的个人票收入达到241500元，且能有效控制游览人数，则票价应降低x元，(120-x)(2019+ -x40) =241500,解得，xi=5, x2=15,能有效控制游览人数,，x=5时，购买的人数较少，可以较好的控制，即要使平均每天的个人票收入达到241500元，且能有效控制游览人数，则票价应降低5元.16 .【答案】

23、(1)解：根据题意，得：销售单价为x元时，销售量为600-10 (x-40) =1000-10x (2)解：由题意可得， w= (x-30) 600- (x-40) xlo化简，得 w= - 10x2+1300x - 30000即 w 与 x 的函数关系式是：w= - 10x2+1300x -30000= - 10 (x-65) 2+12250,x44 1000-10x2 450，44455,，当 x=55 时，wmax= 11250(3)解：设取用资金为 a 元，则：y1=a (1+15%) (1+10%) = 1.265a;y2=a (1+30%) - 350=1 .3a-350;当力=丫

24、2时,即1.265a=1.3a-350,解得a=1000,此时获利相同；当力丫2时,即l265al3a-350,解得avlooo,此时获利多;当 y】vy2 时，bp 1.265a 1.3a-350,1000a 11250,此时获利多17.【答案】(1)解：因为月租金4600元，米租出6辆车，租出94辆车； 月收益：94x (4600-500) -6x100=384800 (元),即 38.48 万元(2)解：设上涨 x 个 100 元，由题意得 (4000+100x-500) (100-x) - 100x=404000整理得：x2 - 64x+540=0解得：xi=54, x2=10,因为规

25、定每辆车月租金不能超过7200元，所以取 x=10, 4000+10x100=5000.每：月租金定为5000元单靠“死”记还不行，还得活用，姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来, 揖弃那些假话套话空话，写出自己的真情实感，篇幅可长可短，并要求运用枳累的成语、名言警句等，定 期检查点评，选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样，即巩冏了所学的材料，又锻炼了学生的写作能力， 同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等，达到“一石多鸟”的效果。18.【卷案】(1)解：炎p、q 两点从出发开始到x秒时四边形pbcq的面枳为33cm2 , 则pb= (16-3x) cm, qc=2x

26、cm, 根据梯形的面积公式得1 (16-3x+2x) x6=33,.解之得x=5(2)解：设p, q两点从出发经过t秒时，点p, q间的距离是10cm, 作qe_lab,垂足为e, 则 qe=ad=6, pq=10,vpa=3t, cq=be=2t,ape=ab-ap-be=ll6-5tl,由勾股定理，得(16 - 50 2+62=102 ,解得 ti=4.8, ti=1.6.等：(1) p、q两点从出发开始到5秒时四边形pbcq的面积为33cm2; (2)从出发到1.6秒或4.8秒时， 点p和点q的距离是10cm.我国古代的读书人，从上学之日起，就日诵不辍，一般在几年内就能识记几千个汉字，熟

27、记几百篇文章， 写出的诗文也是字斟句酌，琅琅上口，成为满腹经纶的又人。为什么在现代化教学的今天，我们念了十几 年书的高中毕业生甚至大学生，竞提起作文就头疼，写不出像样的文章呢？目叔湘先生早在1978年就尖锐 地提出:中小学语文教学效果要，中学语又毕业生语文水平低，十几年上课总时数是9160课时，语文 是2749课时，恰好是30%,十年的时间，二千七百多课时，用来学本国语义，却是大多数不过关，岂非 咄咄怪事!寻根究底，其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文，初中水平以上的学生都知道议论文的“三 要素”是论点、论据、论证，也通晓议论文的基本结构:提出问题一一分析问题一一解决问题，但真正动起 桀来就犯难了。知道“是这样“，就是讲不出“为什么”。根本原因还是无“米”下锅”。于是便翻开作文集锦 之类的书大段抄起来，抄人家的名言替旬，抄人家的事例，不参考作文书就很难写出像样的文章。所以， 词汇贪乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病