2021年人教版高中数学选择性必修第一册提高练习1.1《空间向量及其运算》（解析版）

1、1.1 空间向量及其运算-提高练一、选择题1（2020辽宁葫芦岛市高二期末）在下列结论中：若向量共线，则向量所在的直线平行；若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；若三个向量两两共面，则向量共面；已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得.其中正确结论的个数是()A0B1C2D3【答案】A【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故错两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故错，三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥中，两两共面，但它们不是共面向量，故错根据空间向量基本定理，需不共面，故错综上，选A2（2020

2、广东湛江市高二期末）如图，在平行六面体中，与的交点为，点在上，且，则下列向量中与相等的向量是（ ）ABCD【答案】C【解析】因为，所以，在平行六面体中，故选：C3（2020江西宜春市高二期中）在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ）ABCD【答案】B【解析】在四面体中，点在上，且，为中点，所以，即.故选：B.4己知，是空向单位向量，且满足，若向量，.则在方向上的投影的最大值为（ ）ABCD【答案】D【解析】易得是空间中两两夹角为60的单位向量.如下图，构造棱长为1的正四面体，使得，在射线上取点，使得设，则，由三点共线知在直线上.由定义知在方向上的投影=作点在平面上的射影.由最小角定理，当且

3、仅当向量与向量同向时，最小，最大.即.故选：D.5（多选题）下列命题是真命题的是（ ）A若，则的长度相等而方向相同或相反B空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面C若两个非零向量与满足，则D若空间向量，满足，且与同向，则【答案】BC【解析】A. 若，则的长度相等，它们的方向不一定相同或相反，所以该选项错误；B.根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以该选项正确；C. 若两个非零向量与满足，则，所以，所以该选项正确；D. 若空间向量，满足，且与同向，与也不能比较大小，所以该选项错误.故选：BC6（多选题）（2020福建莆田一中高二期末

4、）如图所示，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ） A平面平面B不是定值C三棱锥的体积为定值D【答案】ACD【解析】A.因为是正方体，所以平面，平面，所以平面平面，所以A正确；B.，故，故B不正确；C.，的面积是定值，平面，点在线段上的动点，所以点到平面的距离是定值，所以是定值，故C正确；D.，所以平面，平面，所以，故D正确.故选：ACD二、填空题7如图在四面体中，、分别是、的中点，若记，则_.【答案】【解析】在四面体中，、分别是、的中点，则.8在正四面体中，分别为棱、的中点，设，则异面直线与所成角的余弦值为_.【答案】 . 【解析】画出对应的正四面体,设棱

5、长均为1则.,又.又.设异面直线与所成角为则 .9已知空间向量，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为.点为的重心，若，则_；_.【答案】1; . 【解析】取的中点，又，空间向量，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为，10（2020上海复旦附中高二期中）已知正三棱锥的侧棱长为2020，过其底面中心作动平面交线段于点，交的延长线于两点，则的取值范围为_【答案】【解析】设.则,.由为底面中心, 又因为四点共面,所以且.所以，即即.三、解答题11试证：若坐标平面内的三点，共线，为坐标原点，则存在三个均不为零的实数，使得，且，反之也成立.【答案】见解析【解析】证明：若，则，.又，三点共线.若，三点共线，则存在常数，使，令，则由且，知，不为零，且.12.（2020山东泰安实验中学高二月考）如图，四棱锥的底面是矩形，且底面.（1）求向量在向量上的投影；（2）若线段上存在异于的一点，使得，求