2020_2021学年新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程不等式第2课时一元二次不等式的应用学案含解析新人教A版必修第一册20200917214.doc
2020_2021学年新教材高中数学全一册学案含解析打包57套新人教A版必修第一册
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第2课时一元二次不等式的应用学 习 目 标核 心 素 养1.掌握一元二次不等式的实际应用(重点)2.理解三个“二次”之间的关系.3.会解一元二次不等式中的恒成立问题(难点)1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养.2.借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲0.1x0.01x2，s乙0.05x0.005x2.问题：如何判断甲、乙两车是否超速？提示：由题意知，对于甲车，有0.1x0.01x212，即x210x1 2000，解得x30或x40(不符合实际意义，舍去)这表明甲车的车速超过30 km/h，但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.对于乙车，有0.05x0.005x210，即x210x2 0000，解得x40或x50(不符合实际意义，舍去)这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速1分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式0(0)(其中a，b，c，d为常数)法一：或法二：(axb)(cxd)0(0)0(0)法一：或法二：k(其中k为非零实数)先移项通分转化为上述两种形式思考1：0与(x3)(x2)0等价吗？将0变形为(x3)(x2)0，有什么好处？提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式2(1)不等式的解集为r(或恒成立)的条件不等式ax2bxc0ax2bxc0b0，c1的解集为xax2bxc(a0)恒成立时，可转化为求解yax2bxc的最小值，从而求出m的范围()提示(1)1100x|0xax2bxc(a0)恒成立转化为m大于yax2bxc的最大值，故(2)错答案(1)(2)2若集合ax|12x13，b，则ab等于()ax|1x0bx|0x1cx|0x2 dx|0x1bax|1x1，bx|0x2，abx|0x13不等式5的解集是_原不等式0解得0x.4若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h与时间t满足关系hv0tgt2，其中g10 m/s2.一名同学以初速度v012 m/s竖直上抛一排球，排球能够在抛出点2 m以上的位置最多停留的时间为_s(精确到0.01 s)2.04依题意得12t10t22，即5t212t20，解得t.2.04.分式不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)0；(2)1.解(1)0(x3)(x2)02x3，原不等式的解集为x|2x3(2)1，10，0，即0.此不等式等价于(x4)0且x0，解得x或x4，原不等式的解集为.1对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零2对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解1解下列不等式：(1)0；(2)3.即知原不等式的解集为x|x1或x3(2)不等式3可改写为30，即0.可将这个不等式转化成2(x1)(x1)0，解得1x1.所以原不等式的解集为x|1x1一元二次不等式的应用【例2】一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位：辆)与创造的价值y(单位：元)之间有如下的关系：y20x22 200x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60 000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，得20x22 200x60 000.移项整理，得x2110x3 0000.对于方程x2110x3 0000，1000，方程有两个实数根x150，x260.画出二次函数yx2110x3 000的图象如图所示，结合图象得不等式x2110x3 0000的解集为x|50x60，从而原不等式的解集为x|50x60因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在5159辆时，这家工厂能够获得60 000元以上的收益求解一元二次不等式应用问题的步骤2国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)为了减轻农民负担，制定积极的收购政策根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.解设税率调低后“税收总收入”为y元y2 400m(12x%)(8x)%m(x242x400)(0x8)依题意，得y2 400m8%78%，即m(x242x400)2 400m8%78%，整理，得x242x880，解得44x2.根据x的实际意义，知x的范围为00恒成立，如何求实数a的取值范围？提示：若a0，显然y0不能对一切xr都成立所以a0，此时只有二次函数yax22x2的图象与直角坐标系中的x轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则解得a.2若函数yx2ax3对3x1上恒有x2ax30成立，如何求a的范围？提示：要使x2ax30在3x1上恒成立，则必使函数yx2ax3在3x1上的图象在x轴的下方，由y的图象可知，此时a应满足即解得a2.故当a2时，有y0在3x1上恒成立3若函数yx22(a2)x4对任意3a1时，y0恒成立，如何求x的取值范围？提示：由于本题中已知a的取值范围求x，所以我们可以把函数y转化为关于自变量是a的函数，求参数x的取值问题，则令y2xax24x4.要使对任意3a1，y0恒成立，只需满足即因为x22x40的解集是空集，所以不存在实数x，使函数yx22(a2)x4对任意3a1，y0恒成立【例3】已知yx2ax3a，若2x2，x2ax3a0恒成立，求a的取值范围思路点拨对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解解设函数yx2ax3a在2x2时的最小值为关于a的一次函数，则(1)当对称轴x4时，g(a)(2)2(2)a3a73a0，解得a，与a4矛盾，不符合题意(2)当22，即4a4时，g(a)3a0，解得6a2，此时4a2.(3)当2，即a4时，g(a)222a3a7a0，解得a7，此时7a0的解集为r”，求a的取值范围解法一：不等式x22xa230的解集为r，函数yx22xa23的图象应在x轴上方，44(a23)2或a0的解集为r，则a满足y最小值a240，解得a2或a0，得a2x22x3，即a2(x1)24，要使该不等式在r上恒成立，必须使a2大于(x1)24的最大值，即a24，
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