2020_2021学年新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.2第1课时函数的表示法学案含解析新人教A版必修第一册20200917217.doc
2020_2021学年新教材高中数学全一册学案含解析打包57套新人教A版必修第一册
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3.1.2函数的表示法第1课时函数的表示法学 习 目 标核 心 素 养1.掌握函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法(重点)2会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数(难点)1.通过函数表示的图象法培养直观想象素养2通过函数解析式的求法培养运算素养.(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值380千米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y300x来表示，其中y300x叫做该函数的解析式(2)如图是我国人口出生率变化曲线：(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表污染源距离50100200300500氰化物浓度0.6780.3980.1210.050.01问题：根据初中所学知识，请判断问题(1)、(2)、(3)分别是用什么法表示函数的？提示：解析法、图象法和列表法函数的表示法思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？提示：不一定并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如d(x)列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)任何一个函数都可以用解析法表示()(2)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线()答案(1)(2)2已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于()x1x222x4f(x)123a.1b2c3 d不存在c当2x4时，f(x)3，f(3)3.3已知函数yf(x)的图象如图所示，则其定义域是_2,3由图象可知f(x)的定义域为2,34若f(x)x2bxc，且f(1)0，f(3)0，则f(1)_.8f(x)x2bxc，且f(1)0，f(3)0，解得f(x)x24x3，f(1)1438.函数的三种表示方法【例1】某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来解列表法如下：x(台)12345y(元)3 0006 0009 00012 00015 000x(台)678910y(元)18 00021 00024 00027 00030 000图象法：如图所示解析法：y3 000x，x1,2,3，10列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示在用三种方法表示函数时要注意：解析法必须注明函数的定义域；列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；图象法中要注意是否连线1(1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是()abcd(2)由下表给出函数yf(x)，则f(f(1)等于()x12345y45321a.1b2c4 d5(1)d(2)b(1)结合题意可知，该生离校的距离先快速减少，又较慢减少，最后到0，故选d.(2)由题意可知，f(1)4，f(4)2，f(f(1)f(4)2，故选b.图象的画法及应用【例2】作出下列函数的图象并求出其值域(1)yx，x0,1，2,3；(2)y，x2，)；(3)yx22x，x2,2)解(1)列表x0123y0123函数图象只是四个点(0,0)，(1，1)，(2,2)，(3，3)，其值域为0，1,2，3(2)列表x2345y1当x2，)时，图象是反比例函数y的一部分，观察图象可知其值域为(0,1(3)列表x21012y01038画图象，图象是抛物线yx22x在2x1，或x1，或x1)是抛物线yx22x去掉1x1之间的部分后剩余曲线如图.函数解析式的求法探究问题已知f(x)的解析式，我们可以用代入法求f(g(x)，反之，若已知f(g(x)，如何求f(x)提示：若已知f(g(x)的解析式，我们可以用换元法或配凑法求f(x)【例3】(1)已知f(1)x2，则f(x)_；(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x)4x8，则f(x)_；(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)2f(x)12x，则f(x)_.思路点拨(1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3)用方程组法求解(1)x24x3(x1)(2)2x或2x8(3)x1(1)法一(换元法)：令t1，则t1，x(t1)2，代入原式有f(t)(t1)22(t1)t24t3，f(x)x24x3(x1)法二(配凑法)：f(1)x21443(1)24(1)3，因为11，所以f(x)x24x3(x1)(2)设f(x)axb(a0)，则f(f(x)f(axb)a(axb)ba2xabb.又f(f(x)4x8，所以a2xabb4x8，即解得或所以f(x)2x或f(x)2x8.(3)由题意，在f(x)2f(x)12x中，以x代x可得f(x)2f(x)12x，联立可得消去f(x)可得f(x)x1.1(变条件)把本例(2)的题干改为“已知函数f(x)是二次函数，且f(0)1，f(x1)f(x)2x.”求f(x)的解析式解设f(x)ax2bxc，由f(0)1得c1.又f(x1)a(x1)2b(x1)1，f(x1)f(x)2axab.由2axab2x，得解得a1，b1.f(x)x2x1.2(变条件)把本例(3)的题干改为“2ff(x)x(x0)”，求f(x)的解析式解f(x)2fx，令x，得f2f(x).于是得关于f(x)与f的方程组解得f(x)(x0)求函数解析式的四种常用方法(1)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可(2)换元法：设tg(x)，解出x，代入f(g(x)，求f(t)的解析式即可(3)配凑法：对f(g(x)的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性1掌握3个知识点(1)函数的表示法；(2)函数图象的画法；(3)函数解析式的求法2会用3种方法(1)待定系数法；(2)换元法；(3)数形结合法3规避2个易错点(1)求函数解析式时易忽视函数的定义域(2)作函数图象必须要让作出的图象反映出图象的伸展方向，与x轴、y轴有无交点，图象有无对称性，并标明特殊点1已知函数f(x)的图象如图所示，其中点a，b的坐标分别为(0,3)，(3,0)，则f(f(0)()a2b4c0 d3c结合图形可知f(0)3，则f(f(0)f(3)0.2已知函数f(x1)3x2，则f(x)的解析式是()af(x)3x1 bf(x)3x1cf(x)3x2 df(x)3x4a令x1t，则xt1，f(t)3(t1)23t1.f(x)3x1.3已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x456f(x)131x123g(x)454则g(f(5)_；f(g(2)_.43由题表可知f(5)3，g(3)4，g(f(5)g(3)4.又g(2)5，f(5)3，f(g(2)f(5)3.4已知f(x)为二次函数，且f(x1)f(x1)2x24x，则f(x)_.x22x1设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x1)f(x1)a(x1)2b(x1)ca(x1)2b(x1)c2ax22bx2a2c
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