2020_2021学年新教材高中数学第5章三角函数5.5三角恒等变换5.5.1第3课时两角和与差的正切公式学案含解析新人教A版必修第一册20200917251.doc
2020_2021学年新教材高中数学全一册学案含解析打包57套新人教A版必修第一册
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第3课时两角和与差的正切公式学 习 目 标核 心 素 养1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明(重点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用(难点)1.通过利用公式进行化简、证明等问题，培养逻辑推理素养.2.借助公式进行求值，提升数学运算素养.根据同角三角函数的商数关系tan ，怎样由sin()以及cos()的公式将tan()用tan ，tan 来表示？如何将tan()用tan ，tan 来表示？提示：tan()，tan()tan().两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切t()tan()，k(kz) 且tan tan 1两角差的正切t()tan()，k(kz) 且tan tan 11思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)存在，r，使tan()tan tan 成立()(2)对任意，r，tan()都成立()(3)tan()等价于tan tan tan()(1tan tan )()提示(1).当0，时，tan()tantan 0tan ，但一般情况下不成立(2).两角和的正切公式的适用范围是，k(kz)(3).当k(kz)，k(kz)，k(kz)时，由前一个式子两边同乘以1tan tan 可得后一个式子答案(1)(2)(3)2已知tan tan 2，tan()4，则tan tan 等于()a2b1c. d4ctan()4，且tan tan 2，4，解得tan tan .3求值：tan .2tantantan2.4已知tan 3，则tan .2tan2.两角和与差的正切公式的正用【例1】(1)已知，均为锐角，tan ，tan ，则 .(2)如图，在abc中，adbc，d为垂足，ad在abc的外部，且bdcdad236，则tanbac .思路点拨(1)先用公式t()求tan()，再求.(2)先求cad，bad的正切值，再依据tanbactan(cadbad)求值(1)(2)(1)tan ，tan ，tan()1.，均为锐角，(0，)，.(2)adbc且bdcdad236，tanbad，tancad，tanbactan(cadbad).1公式t()的结构特征和符号规律：(1)结构特征：公式t()的右侧为分式形式，其中分子为tan 与tan 的和或差，分母为1与tan tan 的差或和(2)符号规律：分子同，分母反2利用公式t()求角的步骤：(1)计算待求角的正切值(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息(3)根据角的范围及三角函数值确定角1(1)已知tan，则tan .(2)已知角，均为锐角，且cos ，tan()，则tan .(1)(2)3(1)因为tan，所以tan tan.(2)因为cos ，为锐角，所以sin ，tan ，所以tan tan()3.两角和与差的正切公式的逆用【例2】(1) .(2) .思路点拨注意特殊角的正切值和公式t()的结构，适当变形后逆用公式求值(1)(2)1(1)原式tan(4515)tan 60.(2)原式tan(3075)tan 451.公式t()的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.如等.要特别注意 2已知、均为锐角，且sin 22sin 2，则()atan()3tan()btan()2tan()c3tan()tan()d3tan()2tan()asin 22sin 2，sin()()2sin()()，sin()cos()cos()sin()2sin()cos()2cos()sin()，sin()cos()3cos()sin()，两边同除以cos()cos()得tan()3tan()两角和与差的正切公式的变形运用探究问题1两角和与差的正切公式揭示了tan tan 与哪些式子的关系？提示：揭示了tan tan 与tan tan ，tan tan 与tan tan 之间的关系2若tan 、tan 是关于x的方程ax2bxc0(a0，b24ac0)的两个根，则如何用a、b、c表示tan()?提示：tan().【例3】(1)tan 67tan 22tan 67tan 22 .(2)已知abc中，tan btan ctan btan c，且tan atan btan atan b1，试判断abc的形状思路点拨(1)看到tan 67tan 22与tan 67tan 22想到将tan(6722)展开变形，寻找解题思路(2)先由关于角a，b的等式求出tan(ab)得角ab，然后求角c并代入关于角b，c的等式求角b，最后求角a，判断abc的形状(1)1tan 67tan 22tan(6722)(1tan 67tan 22)tan 45(1tan 67tan 22)1tan 67tan 22，tan 67tan 22tan 67tan 221tan 67tan 22tan 67tan 221.(2)解tan atan btan atan b1，(tan atan b)tan atan b1，tan(ab).又0ab，ab，c.tan btan ctan btan c，tan c，tan btan b，tan b，b，a，abc为等腰钝角三角形1将例3(1)中的角同时增加1结果又如何？解tan 45tan(6823)，1tan 68tan 23tan 68tan 23，即tan 68tan 23tan 68tan 231.2能否为例3(1)和探究1归纳出一个一般结论？若能，试证明解一般结论：若45(，k18090，kz)，则tan tan tan tan 1.证明：tan 45tan()，1tan tan tan tan ，即tan tan tan tan 1.1整体意识：若化简的式子中出现了“tan tan ”及“tan tan ”两个整体，常考虑tan()的变形公式2熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：(1)tan tan tan()(1tan tan )；(2)1tan tan ；(3)tan tan tan tan tan()tan()；(4)tan tan 1.提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式1牢记2个公式t()、t()公式t()与s()、c()的一个重要区别，就是前者角、都不能取k (kz)，而后两者、r，应用时要特别注意这一点2关注4个变形注意公式的变形应用如：tan tan tan()(1tan tan )，1tan tan ，tan tan tan()(1tan tan )，1tan tan 等3规避1个易错注意公式中的符号1若tan 3，tan ，则tan()等于()a3b3c. dctan().2若tan 3，tan()2，则tan
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