2020_2021学年新教材高中数学第5章三角函数5.4三角函数的图象与性质5.4.1正弦函数余弦函数的图象学案含解析新人教A版必修第一册20200917245.doc
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5.4 三角函数的图象与性质5.4.1正弦函数、余弦函数的图象学 习 目 标核 心 素 养1.了解由单位圆和正、余弦函数定义画正弦函数、余弦函数图象的步骤，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法(重点)2正、余弦函数图象的简单应用(难点)3正、余弦函数图象的区别与联系(易混点)1. 通过做正弦、余弦函数的图象，培养直观想象素养2借助图象的综合应用，提升数学运算素养.如图，将一个漏斗挂在架子上，做一个简易的单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，这就是简谐运动的图象物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”问题：通过上述实验，你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象？提示：正、余弦函数的图象是“波浪起伏”的连续光滑曲线1正弦曲线正弦函数ysin x，xr的图象叫正弦曲线2正弦函数图象的画法(1)几何法：利用单位圆画出ysin x，x0,2的图象；将图象向左、右平行移动(每次2个单位长度)(2)五点法：画出正弦曲线在0,2上的图象的五个关键点(0,0)，(，0)，(2，0)，用光滑的曲线连接；将所得图象向左、右平行移动(每次2个单位长度)3余弦曲线余弦函数ycos x，xr的图象叫余弦曲线4余弦函数图象的画法(1)要得到ycos x的图象，只需把ysin x的图象向左平移个单位长度即可(2)用“五点法”画余弦曲线ycos x在0,2上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，(，1)，(2，1)，再用光滑的曲线连接思考：ycos x(xr)的图象可由ysin x(xr)的图象平移得到的原因是什么？提示：因为cos xsin，所以ysin x(xr)的图象向左平移个单位可得ycos x(xr)的图象1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)正弦函数ysin x的图象在x2k，2k2(kz)上的图象形状相同，只是位置不同()(2)正弦函数ysin x(xr)的图象关于x轴对称()(3)余弦函数ycos x(xr)的图象关于原点成中心对称()提示由ysin x(xr)图象可知(1)正确，(2)错误；由ycos x(xr)图象可知(3)错误答案(1)(2)(3)2函数ycos x与函数ycos x的图象()a关于直线x1对称b关于原点对称c关于x轴对称 d关于y轴对称c由解析式可知ycos x的图象过点(a，b)，则ycos x的图象必过点(a，b)，由此推断两个函数的图象关于x轴对称3请补充完整下面用“五点法”作出ysin x(0x2)的图象时的列表x02sin x100 ； ； .01用“五点法”作ysin x(0x2)的图象的五个关键点为(0,0)，(，0)，(2，0)故为，为0，为1.4函数ycos x，x0,2的图象与直线y的交点有 个2由图象可知：函数ycos x，x0,2的图象与直线y有两个交点正弦函数、余弦函数图象的初步认识【例1】(1)下列叙述正确的是()ysin x，x0,2的图象关于点p(，0)成中心对称；ycos x，x0,2的图象关于直线x成轴对称；正、余弦函数的图象不超过直线y1和y1所夹的范围a0b1个c2个 d3个(2)函数ysin|x|的图象是()(1)d(2)b(1)分别画出函数ysin x，x0,2和ycos x，x0,2的图象，由图象(略)观察可知均正确(2)ysin|x|结合选项可知选b.1解决正、余弦函数的图象问题，关键是要正确的画出正、余弦曲线2正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到3正、余弦曲线的对称性对称中心对称轴ysin x(xr)(k，0)，kzxk，kzycos x(xr)，kzxk，kz提醒：对称中心处函数值为0，对称轴处函数值为1或1.1关于三角函数的图象，有下列说法：ysin x1.1的图象与x轴有无限多个公共点；ycos(x)与ycos |x|的图象相同；y|sin x|与ysin(x)的图象关于x轴对称；ycos x与ycos(x)的图象关于y轴对称其中正确的序号是 对，ycos(x)cos x，ycos |x|cos x，故其图象相同；对，ycos(x)cos x，故其图象关于y轴对称；作图(略)可知均不正确用“五点法”作三角函数的图象【例2】(教材p199例1改编)用“五点法”作出下列函数的简图(1)y1sin x(0x2)；(2)y1cos x(0x2)思路点拨解(1)取值列表如下：x02sin x010101sin x10121描点连线，如图所示.(2)取值列表如下：x02cos x101011cos x01210描点连线，如图所示用“五点法”画函数yasin xb(a0)或yacos xb(a0)在0,2上简图的步骤(1)列表：x02sin x(或cos x)0(或1)1(或0)0(或1)1(或0)0(或1)yb(或ab)ab(或b)b(或ab)ab(或b)b(或ab)(2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y1)，(，y3)，(2，y5)，这里的yi(i1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦函数yasin xb(yacos xb)(a0)的图象提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，x轴、y轴上尽量统一单位长度2用“五点法”画出函数ysin x，x0,2的图象解取值列表如下：x02sin x01010sin x描点，并将它们用光滑的曲线连接起来(如图)正弦(余弦)函数图象的应用探究问题1方程sin xx的实根个数有多少个？提示：在同一坐标系内分别作出ysin x，yx图象(略)可知在x0,1内，sin x1时不会相交，所以方程只有一个实根为0.2函数f(x)cos x在0，)内有多少个零点？提示：令f(x)0，所以cos x，分别作出y，ycos x的图象(略)，可知两函数只有一个交点，所以f(x)在0，)内只有一个零点【例3】(1)函数y的定义域为 (2)在同一坐标系中，作函数ysin x和ylg x的图象，根据图象判断出方程sin xlg x的解的个数思路点拨(1)(2)(1)由2sin x10得sin x，画出ysin x的图象和直线y.可知sin x的解集为.(2)解建立平面直角坐标系xoy，先用五点法画出函数ysin x，xr的图象描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到ylg x的图象，如图所示由图象可知方程sin xlg x的解有3个1本例(1)中的“sin x”改为“cos x”，应如何解答？解由2cos x10得cos x，画出ycos x的图象和直线y.观察图象可知cos x的解集是.2本例(1)中函数改为ylg，应如何解答？解要使原函数解析式有意义，必须满足sin x.首先作出ysin x在0,2上的图象，如图所示，作直线y，根据特殊角的正弦值，可知该直线与ysin x，x0,2的交点横坐标为和；作直线y，该直线与ysin x，x0,2的交点横坐标为和.观察图象可知，在0,2上，当x或x时，不等式sin x成立，所以sin x的解集为或.1用三角函数的图象解sin xa(或cos xa)的方法(1)作出ya，ysin x(或ycos x)的图象(2)确定sin xa(或cos xa)的x值(3)确定sin xa(或cos xa)的解集2利用三角函数线解sin xa(或cos xa)的方法(1)找出使sin xa(或cos xa)的两个x值的终边所在的位置(2)根据变化趋势，确定不等式的解集1掌握1种画法五点法(1)作正、余弦函数的图象可以借助单位圆，用几何法作出，也可以用“五点法”作出简图(2)“五点法”是一种作图思想或策略，它不只限于画正弦函数、余弦函数的简图，也可用于画复合型正、余弦函数的简图2掌握1种思想数形结合由三角函数图象求三角不等式的解集，是另一种数形结合的思想方法，它常化归为三角函数图象位于某直线上方(或下方)的问题结合图象就可以写出其规律3规避1个易错利用“五点法”作图时，注意五点的正确选取1函数ysin(x)，x0,2的简图是()bysin(x)sin x与ysin x关于x轴对称2函数ysin x，x0，的图象与直线y0.99的交点有()a1个b2个c3个 d4个b观察图象(略)易知：有两个交点3要得到ycos x，x
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